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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:02 So 06.09.2009 | | Autor: | moerni |
| Aufgabe | | Sei A [mm] \in [/mm] SO(3). Es gebe drei verschiedene Vektoren [mm] v_1,v_2,v_3 \in R^3 [/mm] mit [mm] Av_j^t=v_j^t [/mm] und [mm] \parallel v_j \parallel [/mm] = 1 (j=1,2,3). Zeigen Sie: A= [mm] \pmat{1&0&0\\0&1&0\\0&0&1} [/mm] |
Hallo,
hier komme ich gar nicht weiter. Ich habe versucht aus den Voraussetzungen Schlüsse zu ziehen, finde aber nicht auf den Lösungsweg:
[mm] \parallel v_j \parallel [/mm] sagt mir, das die Einträge der Vektoren kleiner oder gleich 1 sein müssen.
Dass die Vektoren verschieden sind, hilft mir nicht weiter, weil verschieden bedeutet ja nicht unbedingt linear unabhängig.
A [mm] \in [/mm] SO(3) heißt, A ist orthogonal, also [mm] AA^t=I [/mm] und alle Eigenwerte sind 1 oder -1. Außerdem ist detA=1. A beschreibt Drehung mit Drehachse Eig(A;1) und A ist ähnlich zu einer Matrix der Form [mm] \pmat{1&0&0\\0&cos\alpha&-sin\alpha\\0&sin\alpha&cos\alpha}
[/mm]
Kann mir jemand weiterhelfen oder einen Hinweis geben?
Über eine hilfreiche Antwort wäre ich sehr dankbar,
moerni
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:24 So 06.09.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei A [mm]\in[/mm] SO(3). Es gebe drei verschiedene Vektoren
> [mm]v_1,v_2,v_3 \in R^3[/mm] mit [mm]Av_j^t=v_j^t[/mm] und [mm]\parallel v_j \parallel[/mm]
> = 1 (j=1,2,3). Zeigen Sie: A= [mm]\pmat{1&0&0\\0&1&0\\0&0&1}[/mm]
>
> Hallo,
> hier komme ich gar nicht weiter. Ich habe versucht aus den
> Voraussetzungen Schlüsse zu ziehen, finde aber nicht auf
> den Lösungsweg:
> [mm]\parallel v_j \parallel[/mm] sagt mir, das die Einträge der
> Vektoren kleiner oder gleich 1 sein müssen.
Das brauchst du nicht.
> Dass die Vektoren verschieden sind, hilft mir nicht
> weiter, weil verschieden bedeutet ja nicht unbedingt linear
> unabhängig.
Genau. Allerdings: sie haben alle die gleiche Laenge. Wenn sie also alle in einem 1-dimensionalen Unterraum von [mm] $\IR^3$ [/mm] liegen, dann muessen zwei davon gleich sein. Damit spannen sie einen mindestens zweidimensionalen Unterraum von [mm] $\IR^3$ [/mm] auf.
Und nach Voraussetzung liegt dieser Unterraum im Eigenraum von $A$ zum Eigenwert 1.
> A [mm]\in[/mm] SO(3) heißt, A ist orthogonal, also [mm]AA^t=I[/mm] und alle
> Eigenwerte sind 1 oder -1.
Das ist Quark: die Eigenwerte koennen beliebige komplexe Zahlen vom Betrag 1 sein!
> Außerdem ist detA=1.
Ja. Und die Determinante ist das Produkt aller drei Eigenwerte.
Also: kann der dritte Eigenwert [mm] $\neq [/mm] 1$ sein?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:19 So 06.09.2009 | | Autor: | moerni |
super, danke! Ich glaube jetzt hab ichs: [mm] v_1,v_2,v_3 [/mm] spannen einen mind 2-dimensionalen Unterraum auf (hab ich bewiesen), der im Eigenraum von
A zum Eigenwert 1 liegt (oder identisch ist). Da A [mm] \in [/mm] SO(3), sind die Spalten von A eine Orthonormalbasis von V, also hat A die Gestalt A= [mm] \pmat{1&0&0\\0&1&0\\0&0&x}. [/mm] Da aber nach vor. detA=1 ist, muss x=1 sein.
Übrigens: vielleicht gibts da ja unterschiedliche Definitionen... wir haben SO(3) in der Vorlesung definiert, als die Menge aller orthogonalen Matrizen (3x3) mit detA=1. Orthogonale Matrizen haben die Eigenwerte 1 oder -1 (und unitäre Matrizen haben Eigenwerte [mm] \lambda [/mm] mit [mm] |\lambda|=1
[/mm]
Danke nochmals, moerni
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:09 So 06.09.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> super, danke! Ich glaube jetzt hab ichs: [mm]v_1,v_2,v_3[/mm]
> spannen einen mind 2-dimensionalen Unterraum auf (hab ich
> bewiesen), der im Eigenraum von
> A zum Eigenwert 1 liegt (oder identisch ist). Da A [mm]\in[/mm]
> SO(3), sind die Spalten von A eine Orthonormalbasis von V,
> also hat A die Gestalt A= [mm]\pmat{1&0&0\\0&1&0\\0&0&x}.[/mm]
Nein, $A$ ist erstmal nur aequivalent zu einer Matrix dieser Gestalt! Das ist ein ziemlich wichtiger Unterschied!
> Da aber nach vor. detA=1 ist, muss x=1 sein.
Ja.
> Übrigens: vielleicht gibts da ja unterschiedliche
> Definitionen... wir haben SO(3) in der Vorlesung definiert,
> als die Menge aller orthogonalen Matrizen (3x3) mit detA=1.
Das ist die uebliche Definition.
> Orthogonale Matrizen haben die Eigenwerte 1 oder -1
Orthogonale Matrizen koennen ebenso echt komplexe Eigenwerte haben! Betrachte z.B. [mm] $\pmat{ 0 & 1 \\ -1 & 0 }$: [/mm] diese Matrix ist orthogonal (sogar in $SO(2)$) und hat die Eigenwerte $i$ und $-i$.
LG Felix
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