spur(M)=0=>M hat beson. Darst. < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:48 Mi 13.01.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Um eine Aufgabe zu lösen müsste ich wissen, ob folgendes stimmt:
Sei M eine $n*n$-Matrix mit Einträgen aus [mm] \IR.
[/mm]
Dann gilt $spur(M)=0$ [mm] \Rightarrow [/mm] M hat die Darstellung $A*B-B*A$, A,B sind auch $n*n$-Matrizen mit Einträgen aus [mm] \IR.
[/mm]
Ich habe ein paar 2*2-Matrizen getestet und komme immer darauf, dass M dann solch eine Darstellung hat, aber ist das allgemeingültig? Oder hat jemand ein Gegenbeispiel?
Vielen Dank.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:08 Do 14.01.2010 | | Autor: | cycore |
hi
hab mir grad mal gedanken gemacht..also ich meine die spur ist eine lin. abb. und innerhalb der spur gehen vertauschungen eh klar..also gilt eher schonmal die rückimplikation: Für [mm] $S,A,B\in\IR^{n\times n}$ [/mm] mit $S=AB-BA$ (oder auch in [mm] $\IC$) [/mm] gilt
$$
spur(S)=spur(AB-BA)=spur(AB)-spur(BA)=spur(AB)-spur(AB)=0
$$
aber über die existenz von A und B vermag ich noch nichts aussagen zu können..aber ich vermute das falls du wenn du ein Gegenbeispiel finden solltest, dieses es nicht in [mm] $\IR^{2\times 2}$ [/mm] sein wird (unbegründet - nur so ein gefühl)
cycore
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:07 Do 14.01.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Teufel!
> Um eine Aufgabe zu lösen müsste ich wissen, ob folgendes
> stimmt:
> Sei M eine [mm]n*n[/mm]-Matrix mit Einträgen aus [mm]\IR.[/mm]
>
> Dann gilt [mm]spur(M)=0[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm] M hat die Darstellung
> [mm]A*B-B*A[/mm], A,B sind auch [mm]n*n[/mm]-Matrizen mit Einträgen aus
> [mm]\IR.[/mm]
>
> Ich habe ein paar 2*2-Matrizen getestet und komme immer
> darauf, dass M dann solch eine Darstellung hat, aber ist
> das allgemeingültig? Oder hat jemand ein Gegenbeispiel?
Ich wuerde sagen, das stimmt.
Dazu: sei $M$ die Abbildung $M : [mm] \IR^{n \times n} \times \IR^{n \times n} \to \IR^{n \times n}$, [/mm] $(A, B) [mm] \mapsto [/mm] A B - B A$. Sei [mm] $A_{ij}$, [/mm] $1 [mm] \le [/mm] i, j [mm] \le [/mm] n$ die Basis von [mm] $\IR^{n \times n}$, [/mm] wobei [mm] $A_{ij}$ [/mm] an der Stelle $(i, j)$ eine 1 hat und sonst nur 0en.
Dann ist $M$ bilinear; es reicht also zu zeigen, dass im Bild von $M$ eine Basis von $V := [mm] \{ A \in \IR^{n \times n} \mid spur(A) = 0 \}$ [/mm] enthalten ist. Beachte, dass [mm] $\dim [/mm] V = [mm] n^2 [/mm] - 1$ ist, da [mm] $\dim \IR^{n \times n} [/mm] = [mm] n^2$ [/mm] ist und $V$ durch eine lineare Bedingung definiert ist.
Nun ist [mm] $A_{ij} A_{k\ell} [/mm] = 0$ falls $j [mm] \neq [/mm] k$ ist und [mm] $A_{ij} A_{j\ell} [/mm] = [mm] A_{i\ell}$. [/mm] Damit folgt [mm] $M(A_{ij}, A_{ji}) [/mm] = [mm] A_{ii} [/mm] - [mm] A_{jj}$, [/mm] und [mm] $M(A_{i1}, A_{1j}) [/mm] = [mm] A_{ij}$ [/mm] fuer $i [mm] \neq [/mm] j$. Aber nun sind [mm] $A_{ii} [/mm] - [mm] A_{11}$, [/mm] $i = 2, [mm] \dots, [/mm] n$ und [mm] $A_{ij}$, [/mm] $i [mm] \neq [/mm] j$ ein linear unabhaengiges System von Matrizen, die alle in $V$ liegen, und dies sind [mm] $n^2 [/mm] - 1$ Matrizen.
Daraus folgt, dass das Bild von $M$ gerade $V$ ist: somit hat jede quadratische Matrix $A$ mit $spur(A) = 0$ eine Darstellung $A = B C - C B$ mit quadratischen Matrizen $B, C$.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:35 Do 14.01.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Danke für die Antworten erstmal.
Leider hatten wir noch keine bilineare Abbildungen, aber ich habe mir das mal angeguckt und geprüft, dass M eine ist.
> es reicht also zu zeigen, dass im Bild
> von [mm]M[/mm] eine Basis von [mm]V := \{ A \in \IR^{n \times n} \mid spur(A) = 0 \}[/mm]
> enthalten ist.
Hier weiß ich nicht, wieso das gilt. Das mit der Dimension ist aber gut, das hatte ich auch raus für den Fall, dass meine Implikation stimmen sollte.
Wie du dann zeigst, dass es [mm] n^2-1 [/mm] linear unabhängige Matrizen gibt im Bildraum gibt, ist mir dann auch wieder klar.
Und bei der Folgerung, das dann M=V gelten muss, hakt es dann auch wieder. Ich glaube, da fehlt mir zu viel Vorwissen.
Aber dennoch vielen Dank erst mal!
Die eigentliche Aufgabe, warum ich diese Implikation beweisen wollte, ist es, dass ich die Dimension des Vektorraums bestimmen soll, der aus quadratischen Matrizen der Form AB-BA besteht.
Und da ich schon M besitzt Darstellung als AB-BA [mm] \Rightarrow [/mm] spur(M)=0 wusste, aber die Rückrichtung nicht, habe ich diese Frage nur ins leben gerufen. Denn wäre ich auch direkt darauf gekommen, dass die Dimension dieses Vektorraums [mm] n^2-1 [/mm] sein muss.
Aber eventuell finde ich noch einen anderen Weg das zu zeigen.
Aber vielleicht hat ja jemand auch noch einen Tipp!
Teufel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 04:08 Fr 15.01.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo Teufel!
> Danke für die Antworten erstmal.
>
> Leider hatten wir noch keine bilineare Abbildungen, aber
> ich habe mir das mal angeguckt und geprüft, dass M eine
> ist.
Man braucht es auch nicht wirklich.
Wichtiger ist es, zu zeigen, dass die Matrizen der Form $a b - b a$ einen Untervektorraum bilden.
> > es reicht also zu zeigen, dass im Bild
> > von [mm]M[/mm] eine Basis von [mm]V := \{ A \in \IR^{n \times n} \mid spur(A) = 0 \}[/mm]
> > enthalten ist.
>
> Hier weiß ich nicht, wieso das gilt. Das mit der Dimension
> ist aber gut, das hatte ich auch raus für den Fall, dass
> meine Implikation stimmen sollte.
Nun: du hast gezeigt, dass das Bild von $M$ in $V$ liegt. Wenn also eine Basis von $V$ in $M$ liegt und $M$ ein Untervektorraum ist, so muss $M = V$ sein.
> Wie du dann zeigst, dass es [mm]n^2-1[/mm] linear unabhängige
> Matrizen gibt im Bildraum gibt, ist mir dann auch wieder
> klar.
>
> Und bei der Folgerung, das dann M=V gelten muss, hakt es
> dann auch wieder. Ich glaube, da fehlt mir zu viel
> Vorwissen.
Siehe oben.
> Die eigentliche Aufgabe, warum ich diese Implikation
> beweisen wollte, ist es, dass ich die Dimension des
> Vektorraums bestimmen soll, der aus quadratischen Matrizen
> der Form AB-BA besteht.
Dann folgt das doch gleich: oben ist gezeigt, dass es eine Basis von $V$ gibt, die aus dieser Form besteht, und du weisst dass jede Matrix solcher Form in $V$ liegt.
> Und da ich schon M besitzt Darstellung als AB-BA
> [mm]\Rightarrow[/mm] spur(M)=0 wusste, aber die Rückrichtung nicht,
> habe ich diese Frage nur ins leben gerufen. Denn wäre ich
> auch direkt darauf gekommen, dass die Dimension dieses
> Vektorraums [mm]n^2-1[/mm] sein muss.
Das versteh ich jetzt nicht ganz?
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:39 Fr 15.01.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi nochmal!
Danke für die Hilfe, jetzt ist der Groschen gefallen. Ich habe gar nicht bedacht, dass wegen spur(AB-BA)=0 schon trivialerweise gilt, dass [mm] $M\subseteq [/mm] V$ gelten muss.
Jetzt ist klar, warum daraus folgt, dass wenn auch die Basisvektoren aus V in M liegen, M=V gelten muss.
Vielen Dank.
Teufel
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