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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:03 Di 27.10.2015 | | Autor: | LGS |
| Aufgabe | Es seien $K $ ein Körper, [mm] $n\in \IN [/mm] $ und $V:= [mm] K^{nxn} [/mm] $
$a) $ Für $A [mm] \in [/mm] V $ und $X [mm] \in [/mm] V $ sei [mm] $\lambda_A(X):=Spur(AX).Zeigen [/mm] Sie,dass [mm] \{\lambda_A|A\in V\}=V^{\*} [/mm] $ ist.
b) Es sei [mm] $U:=\{ X \in V | X_{i,j}=0 für i>j \} [/mm] $ die Menge der oberen Dreicksmatrizen in $ V. $ Berechnen Sie den Annihilator [mm] $U^{0}. [/mm] $
c) Zeigen Sie,dass [mm] $\{ \lambda \in V^{\*}| \lambda(XY)=\lambda(YX) \forall X,Y \in V\} [/mm] $ ein Teilraum von $ [mm] V^{\*} [/mm] $ ist,und geben sie eine Basis dafür an.
d) Zeigen sie ,dass $<XY-YX|X,Y [mm] \in [/mm] V> = {Z [mm] \in [/mm] V| [mm] Spur(Z)=0\} [/mm] $ ist. |
Zeigen Sie,dass [mm] \{\lambda_A|A\in V\}=V^{\*} [/mm] $ ist.
ich habe leider keine ahnung wie ,ich daran gehen kann. Hätte vielleicht irgendjemand einen tipp?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:30 Di 27.10.2015 | | Autor: | fred97 |
> Es seien [mm]K[/mm] ein Körper, [mm]n\in \IN[/mm] und [mm]V:= K^{nxn}[/mm]
>
> [mm]a)[/mm] Für [mm]A \in V [/mm] und [mm]X \in V[/mm] sei
> [mm]\lambda_A(X):=Spur(AX).Zeigen Sie,dass \{\lambda_A|A\in V\}=V^{\*}[/mm]
> ist.
>
> b) Es sei [mm]U:=\{ X \in V | X_{i,j}=0 für i>j \}[/mm] die Menge
> der oberen Dreicksmatrizen in [mm]V.[/mm] Berechnen Sie den
> Annihilator [mm]U^{0}.[/mm]
>
> c) Zeigen Sie,dass [mm]\{ \lambda \in V^{\*}| \lambda(XY)=\lambda(YX) \forall X,Y \in V\}[/mm]
> ein Teilraum von [mm]V^{\*}[/mm] ist,und geben sie eine Basis
> dafür an.
>
> d) Zeigen sie ,dass [mm] = {Z \in V| Spur(Z)=0\} [/mm]
> ist.
> Zeigen Sie,dass [mm]\{\lambda_A|A\in V\}=V^{\*}[/mm] $ ist.
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>
> ich habe leider keine ahnung wie ,ich daran gehen kann.
> Hätte vielleicht irgendjemand einen tipp?
1. Zeige: jedes [mm] \lambda_A [/mm] ist eine lineare Abbildung
2. Zeige: ist f eine Linearform auf V, so ex. ein A in V mit [mm] f=\lambda_A
[/mm]
Fred
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:42 Di 27.10.2015 | | Autor: | LGS |
1.
zu zeigen
$ [mm] \alpha\cdot{}\lambda_A(X)+\lambda_A(Y)=Spur( \alpha\cdot{}AX)+Spur(AY)= Spur(\alpha\cdot{}AX+AY)=\lambda_A( \alpha\cdot{}X+Y) [/mm] $
so richtig?
2. krieg ich irgendwie nicht gebacken..:/
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:57 Di 27.10.2015 | | Autor: | fred97 |
> 1.
>
> zu zeigen
>
> [mm]\alpha\cdot{}\lambda_A(X)+\lambda_A(Y)=Spur( \alpha\cdot{}AX)+Spur(AY)= Spur(\alpha\cdot{}AX+AY)=\lambda_A( \alpha\cdot{}X+Y)[/mm]
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> so richtig?
Ja,zeige das
Fred
>
>
> 2. krieg ich irgendwie nicht gebacken..:/
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:14 Mi 28.10.2015 | | Autor: | LGS |
$ [mm] \alpha\cdot{}\lambda_A(X)+\lambda_A(Y)=Spur( \alpha\cdot{}AX)+Spur(AY)= \alpha\cdot{}\summe_{i=1}^{n} a_ix_i+\summe_{i=1}^{n} a_iy_i=\summe_{i=1}^{n} \alpha*a_ix_i+\summe_{i=1}^{n} a_iy_i =\summe_{i=1}^{n} \alpha*a_ix_i+a_iy_i=Spur(\alpha\cdot{}AX+AY)=\lambda_A( \alpha\cdot{}X+Y) [/mm] $
ist der beweis so gut?
die andere richtung ka..:/
$c)$
$ [mm] \{ \lambda \in V^{*}| \lambda(XY)=\lambda(YX) \forall X,Y \in V\} [/mm] $
wie kann ich hier das [mm] $\lambda(XY)$ [/mm] auswerten?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:33 Fr 30.10.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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