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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:41 Mi 05.11.2008 | | Autor: | eumel |
| Aufgabe | [mm] G:=SL(2,\IR), H:={z\in\IC : Im(z)>0}. [/mm]
G operiert auf H, sodaß
[mm] \pmat{a&b\\c&d}*z [/mm] := [mm] \bruch{az+b}{cz+d} [/mm] für alle elemente as G und H gilt.
zeigen sie:
der stabilisator von i ist [mm] SO(2,\IR) [/mm] und die Operation ist transitiv. |
nabend :)
um 1 zu zeigen, muss ich doch für
[mm] \bruch{ai+b}{ci+d} [/mm] = i die a,b,c,d bestimmen mit
ad-bc = 1, sodass das gilt oder?
<=> ai+b = i(ci+d) <=> ai+b = di-c <=> i = -(b+c)/(a-d) sinn???
und andererseits krieg ich i raus, wenn a=d=1 oder b=-c=1
also ganz einfach, falls ich die einheitsmatrix drauf operieren lasse... nur wie ich da die gruppe [mm] SO(2,\IR) [/mm] herausbekommen soll ist mir fraglich...
so is zb für a=2, d=1/2 und b=c=0 eine matrix aus [mm] SO(2,\IR) [/mm] aber diese matrix auf i angewandt mit obiger operation ist aber nicht i, sondern 4i....
um zu zeigen, dass die operation transitiv ist (also die obere komplexe halbfläche) erreicht wird, kann ich doch zeigen, wenn ich für bel. [mm] z\in [/mm] H zeige, dass abhängig von der matrix gilt: Im((az+b)/(cz+d)) > 0 oder?
danke schonmal im voraus :)
lg
eumel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:22 Mi 05.11.2008 | | Autor: | andreas |
hi
mach dir erstmal klar, wie [mm] $\textrm{SO}(2, \mathbb{R})$ [/mm] definiert ist.
> um 1 zu zeigen, muss ich doch für
>
> [mm]\bruch{ai+b}{ci+d}[/mm] = i die a,b,c,d bestimmen mit
> ad-bc = 1, sodass das gilt oder?
genau.
> <=> ai+b = i(ci+d) <=> ai+b = di-c <=> i = -(b+c)/(a-d)
> sinn???
warum darfst du im letzten schritt durch $a - d$ teilen? scheinbar führt der letzte schritt ja auch in eine sackgasse. bedenke lieber, dass $1$ und $i$ über [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] linear unabhängig sind und probiere eine gleichung der form [mm] $\lambda_1 [/mm] + [mm] \lambda_2 [/mm] i = 0$ mit [mm] $\lambda_i \in \mathbb{R}$ [/mm] zu erreichen. was erhälst du daraus? was für eine form erhälst, wenn du dieses wissen in $ad - bc = 1$ einsetzt? erinnert dich das an irgendeine beziehung zu [mm] $\cos$ [/mm] und [mm] $\sin$?
[/mm]
> so is zb für a=2, d=1/2 und b=c=0 eine matrix aus
> [mm]SO(2,\IR)[/mm] aber diese matrix auf i angewandt mit obiger
> operation ist aber nicht i, sondern 4i....
diese matrix liegt auch nicht in [mm] $\textrm{SO}(2, \mathbb{R})$.
[/mm]
> um zu zeigen, dass die operation transitiv ist (also die
> obere komplexe halbfläche) erreicht wird, kann ich doch
> zeigen, wenn ich für bel. [mm]z\in[/mm] H zeige, dass abhängig von
> der matrix gilt: Im((az+b)/(cz+d)) > 0 oder?
das ist nur die wohldefiniertheit der operation. überlege dir, dass es reicht zu zeigen: für jedes $z = x + iy [mm] \in [/mm] H$ gibt es ein $A [mm] \in \textrm{SL}(2, \mathbb{R})$ [/mm] mit $A [mm] \cdot [/mm] i = z$. warum? und gib dann ein solches $A$ einfach an.
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:51 Do 06.11.2008 | | Autor: | eumel |
jooo!!! hab wegen [mm] SO(2,\IR) [/mm] nur die bedingung
[mm] A^t [/mm] * A = [mm] E_n [/mm] vergessen....sodass dann
[mm] a^2+b^2=1=c^2+d^2 [/mm] und ac+bd=0....
schönen abend und danke
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