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| Aufgabe | [mm] \delta [/mm] : [mm] S^{1} [/mm] \ {i} [mm] \to \IR [/mm] mit [mm] \delta(z) [/mm] = [mm] k_{z} \cap [/mm] x-Achse, wobei [mm] k_{z} [/mm] die Gerade durch i=(0,1) und z [mm] \in S^{1} [/mm] ist
zeigen sie, dass [mm] \delta [/mm] bijektiv ist |
Hallo zusammen,
im Zuge eines Seminar über hyperbolische Geometrie muss ich die Riemann-Sphäre einführen. Dazu muss ich u.a. zeigen, dass sich eine Gerade durch Hinzunahme eines Punktes als Kreis darstellen lässt.
Verallgemeinert nutze ich dazu den Einheitskreis ohne i und stellen dadurch, wie oben beschrieben, die x-Achse, also [mm] \IR [/mm] dar.
Wenn ich nun zeige, dass diese Abbildung bijektiv ist kann ich durch [mm] \IR [/mm] den Einheitskreis ohne i darstellen und annehmen, dass ich durch eine Gerade (x-Achse) durch hinzunahme von i den gesamten Einheitskreis darstellen kann.
Die Injektivität stellt dabei kein Problem dar. Sie folgt aus der Eindeutigkeit der [mm] k_{z}
[/mm]
Allerdings habe ich Probleme die Surjektivität zu zeigen, genauer gesagt die Umkehrabbildung zu berechnen.
Deshalb hoffe ich, dass ihr mir weiterhelfen könnt. Zunächst einmal muss ich ja wissen, wie [mm] \delta(z) [/mm] genau aussieht. Das habe ich mir überlegt und bin zu dem Schluss gekommen:
[mm] \delta(z)= \bruch{Re(z)}{1-Im(z)}
[/mm]
Nun definiere ich [mm] \delta(z) [/mm] als w [mm] \in \IR [/mm] und versuche die Gleichung [mm] w=\bruch{Re(z)}{1-Im(z)} [/mm] nach z, also nach Re(z)+Im(z) aufzulösen.
richtig?
[mm] w=\bruch{Re(z)}{1-Im(z)} \gdw w=\bruch{Re(z)+Im(z)-Im(z)}{1-Im(z)}
[/mm]
[mm] \gdw w+\bruch{Im(z)}{1-Im(z)}=\bruch{Re(z)+Im(z)}{1-Im(z)}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] w(1-Im(z))+Im(z)=Re(z)+Im(z)=z
Dies scheint mir keine kluge Lösung zu sein, da mein z immer noch von Im(z) abhängt. Was habe ich vergessen zu bedenken?
Danke schon mal im Voraus und viele Grüße, Patrick
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> [mm]\delta[/mm] : [mm]S^{1}[/mm] \ {i} [mm]\to \IR[/mm] mit [mm]\delta(z)[/mm] = [mm]k_{z} \cap[/mm]
> x-Achse, wobei [mm]k_{z}[/mm] die Gerade durch i=(0,1) und z [mm]\in S^{1}[/mm]
> ist
>
> zeigen sie, dass [mm]\delta[/mm] bijektiv ist
> Hallo zusammen,
>
> im Zuge eines Seminar über hyperbolische Geometrie muss ich
> die Riemann-Sphäre einführen. Dazu muss ich u.a. zeigen,
> dass sich eine Gerade durch Hinzunahme eines Punktes als
> Kreis darstellen lässt.
>
> Verallgemeinert nutze ich dazu den Einheitskreis ohne i und
> stellen dadurch, wie oben beschrieben, die x-Achse, also
> [mm]\IR[/mm] dar.
>
> Wenn ich nun zeige, dass diese Abbildung bijektiv ist kann
> ich durch [mm]\IR[/mm] den Einheitskreis ohne i darstellen und
> annehmen, dass ich durch eine Gerade (x-Achse) durch
> hinzunahme von i den gesamten Einheitskreis darstellen
> kann.
>
> Die Injektivität stellt dabei kein Problem dar. Sie folgt
> aus der Eindeutigkeit der [mm]k_{z}[/mm]
>
> Allerdings habe ich Probleme die Surjektivität zu zeigen,
> genauer gesagt die Umkehrabbildung zu berechnen.
>
> Deshalb hoffe ich, dass ihr mir weiterhelfen könnt.
> Zunächst einmal muss ich ja wissen, wie [mm]\delta(z)[/mm] genau
> aussieht. Das habe ich mir überlegt und bin zu dem Schluss
> gekommen:
>
> [mm]\delta(z)= \bruch{Re(z)}{1-Im(z)}[/mm]
>
> Nun definiere ich [mm]\delta(z)[/mm] als w [mm]\in \IR[/mm] und versuche die
> Gleichung [mm]w=\bruch{Re(z)}{1-Im(z)}[/mm] nach z, also nach
> Re(z)+Im(z) aufzulösen.
>
> richtig?
>
> [mm]w=\bruch{Re(z)}{1-Im(z)} \gdw w=\bruch{Re(z)+Im(z)-Im(z)}{1-Im(z)}[/mm]
>
> [mm]\gdw w+\bruch{Im(z)}{1-Im(z)}=\bruch{Re(z)+Im(z)}{1-Im(z)}[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm] w(1-Im(z))+Im(z)=Re(z)+Im(z)=z
>
> Dies scheint mir keine kluge Lösung zu sein, da mein z
> immer noch von Im(z) abhängt. Was habe ich vergessen zu
> bedenken?
Hallo Patrick,
du fragst ganz richtig - "was habe ich vergessen zu bedenken ?"
Wohl genau das, dass Im(z) und Re(z) miteinander verknüpft
sind durch die Eigenschaft, dass du ja nur Punkte eines be-
stimmten Kreises und nicht beliebige Punkte [mm] z\in\IC [/mm] abbilden
willst. Versuche also noch, die entsprechende Kreisgleichung
ins Spiel zu bringen.
P.S. deine Rechnungen habe ich ansonsten nicht überprüft.
LG Al-Chw.
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Für den reinen Nachweis der Surjektivität sollte wohl
ein einfaches geometrisches Argument genügen:
jede Gerade durch $\ i=(0/1)$ und einen Punkt $\ w=(w/0)$
mit [mm] w\in \IR [/mm] ist nicht parallel zur Tangente an [mm] S^1 [/mm] im
Punkt $\ i$ und schneidet deshalb den Einheitskreis noch
in einem weiteren Punkt $\ z$ mit [mm] z\not=i [/mm] .
Für die Berechnung von $\ z$ könnte man bestimmt auch
die trigonometrische Darstellung $\ z=cos(t)+i*sin(t)$ zu
Rate ziehen !
LG Al
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Di 14.04.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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