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| Aufgabe | 1)
a) Folgern Sie mit dem Zwischenwertsatz: Eine stetige Funktion, die das kompakte Intervall (a,b) in sich abbildet, hat in (a,b) einen Fixpunkt.
b) Zeigen Sie: Ist die Funktion f: [mm] (a,b)\to [/mm] R kontraktiv auf (a,b), so ist sie auf (a,b) stetig. |
Hallo,
also, ich habe von dieser Aufgabe zwar die Lösung, aber die verstehe ich überhaupt nicht... vielleicht kann mir jemand mal einen Tipp geben, wie man an so etwas überhaupt herangehen könnte. Stetig bedeutet ja, dass wenn sich [mm] x_{2} [/mm] meinetwegen an [mm] x_{1} [/mm] annähert, sich auch [mm] f(x_{2}) [/mm] an [mm] f(x_{1}) [/mm] annähert, oder??
Aber was hat das mit meinen Fixpunkten zu tun, für die doch gelten muss etwa: [mm] f(x_{3})=x_{3}??
[/mm]
Viele Grüße,
Anna
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Hallo!
Zuerst einmal ist (a,b) kein kompaktes Intervall, sondern es muss [a,b] heißen. Bei der ersten Aufgabe würde dir sicher ein kleines Bild sehr helfen:
Zeichne ein Koordinatensystem (der 1. Quadrant reicht aus) und dann a und b auf der x- sowie y-Achse ein. Die Geraden x=a, x=b, y=a und y=b begrenzen damit ein Quadrat im Koordinatensystem.
Überlege dir nun, was es bedeutet, dass die Funktion das Intervall [a,b] in sich abbildet.
Dass eine Funktion auf dem Intervall [a,b] einen Fixpunkt hat, bedeutet anschaulich nichts anderes, als dass sie dort eine Schnittstelle mit der Funktion $g: [mm] [a,b]\to[a,b]\subseteq\mathds{R},\,g(x)=x$ [/mm] hat. Diese zeichnest du am besten auch noch ein. Das könnte dir helfen, die Aufgabe zu verstehen 
Stetigkeit in diesem Zusammenhang bedeutet, dass f die Gerade g(x)=x nicht einfach "überspringen" kann und somit einen Schnittpunkt vermeidet.
Gruß
Johannes
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:19 Sa 27.09.2008 | | Autor: | pelzig |
Ich denke bei Aufgabe b) geht es eher darum, dass Kontraktionen nach Definition Lipschitz-Stetig sind. Damit sind sie erst recht stetig.
Gruß, Robert
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