stetig auf vs. glm stetig < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo zusammen,
meine Frage ist diese:
Der Unterschied zwischen glm Stetigkeit und normaler Stetigkeit ist ja dieser, dass bei der glm. Stetigkeit [mm] $|f(x_j)-f(x_k)|<\varepsilon$ [/mm] falls
[mm] $|x_j [/mm] - [mm] x_k|<\delta$, [/mm] unabhängig von der Wahl von [mm] $x_j$ [/mm] und [mm] $x_k$.
[/mm]
Aber wenn jetzt f stetig ist auf einer Menge M, dann heißt das doch f ist stetig in jedem [mm] $x_m$ [/mm] aus M. Und damit muss doch auch [mm] $|f(x_j)-f(x_m)|<\varepsilon$ [/mm] falls [mm] $|x_j [/mm] - [mm] x_m|<\delta$ [/mm] auch völlig unabhängig von der Wahl des [mm] $x_m$. [/mm] Damit macht es für mich aber wenig Sinn zwischen stetigkeit auf einer Menge und glm Stetigkeit auf einer Menge zu unterscheiden.
Irgendwas übersehe ich, ich wusste auch mal was genau, aber ich komme nicht mehr drauf.
z.B. verstehe ich, warum $f(x) = [mm] e^x$ [/mm] nicht glm. stetig ist auf [mm] \IR_+, [/mm] da der Anstieg iwann so schnell steigt, dass kein [mm] $\delta$ [/mm] das kompensieren könnte.
Wo hängt es denn bei meiner Überlegung? Hab ich eine fehlerhafte Definition von Stetigkeit auf einer Menge?
d.h. doch das f stetig ist in jedem Punkt [mm] $x_m$ [/mm] aus M.
Und stetig in [mm] $x_m$ [/mm] heißt, dass ich für jedes [mm] $\epsilon>0$ [/mm] ein [mm] $\delta>0$ [/mm] finde, sodass für alle [mm] $x_l$ [/mm] aus M gilt: Aus [mm] $|x_l [/mm] - [mm] x_m|<\delta$, [/mm] daraus folgt [mm] $|f(x_j) [/mm] - [mm] f(x_m)|<\varepsilon$. [/mm] Dabei ist das [mm] $x_m$ [/mm] noch fest.
Aber wenn f stetig auf M ist, dann ist f stetig in jedem [mm] $x_m$ [/mm] aus M, d.h. ich kann für jedes [mm] $x_l$ [/mm] aus M und jedem [mm] $x_m$ [/mm] obige Folgerung tätigen.
Ich verstehe auch warum der Satz über glm. Stetigkeit die Kompaktheit von M voraussetrzt, und warum das dann geht.
Gibt es eine Art Standartbeispiel, bei dem es eben nicht reicht, dass f auf M stetig ist, damit es glm. stetig ist?
Mir fehlt wahrscheinlich die Vorstellung einer unschönen (= nicht kompakten) Menge.
Danke!
lg Kai
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Ich weiss nicht ob ich dein Problem richtig verstanden habe...
Aber nimm folgendes Beispiel f(x)=x²
Die ist stetig, aber nicht gleichmäßig stetig.
Nennen wir mal die Umgebung um x0 delta-umgebung.
Jetzt betrachte ein x1 > x0, das in dieser delta-umgebung liegt.
Je weiter du dich mit x1 von x0 entfernst, desto größer wird der Abstand zwischen f(x0) und f(x1).
Und wenn die Menge eben nicht abgeschlossen ist, kannst du x1 immer noch ein stück weiter von x0 entfernen es gibt keinen maximalen abstand zwischen x0 und x1 innerhalb der delta-umgebung.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:59 Do 30.07.2009 | | Autor: | Andrey |
Zuviele Worte, das verwirrt doch nur...
stetig:
[mm] (\forall \varepsilon>0 )(\forall x\in M)(\exists \delta>0) [/mm] : [mm] (|x-y|<\delta [/mm] => [mm] |f(x)-f(y)|<\varepsilon)
[/mm]
gleichmäßig stetig:
[mm] (\forall \varepsilon>0)(\exists \delta>0)(\forall x\in [/mm] M): [mm] (|x-y|<\delta [/mm] => [mm] |f(x)-f(y)|<\varepsilon)
[/mm]
Bei stetigkeit darfst du zuerst [mm] \varepsilon [/mm] und x erfahren, und musst erst danach das [mm] \delta [/mm] wählen.
Bei der gleichmäßigen stetigkeit musst du zu einem gegebenen [mm] \varepsilon [/mm] sofort ein [mm] \delta [/mm] angeben, und es muss dann für alle x passen.
In [mm] \IR [/mm] sind die kompakten mengen ja ganz einfach dadurch charakterisiert, dass sie beschränkt und abgeschlossen sind. Um was nicht kompaktes zu bekommen, nehme man einfach eine unbeschränkte oder nicht abgeschlossene menge, etwa:
1/x auf (0,1] ist stetig aber nicht glm stetig
1/x auf [0.00000000001, 1] ist glm stetig, insbesondere stetig.
[mm] x^2 [/mm] auf [-100,100] ist gleichmäßig stetig, insbesondere stetig
[mm] x^2 [/mm] auf [mm] (-\infty,100] [/mm] ist nicht gleichmäßig stetig, aber immer noch stetig...
usw...
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> Zuviele Worte, das verwirrt doch nur...
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> stetig:
> [mm](\forall \varepsilon>0 )(\forall x\in M)(\exists \delta>0)[/mm]
> : [mm](|x-y|<\delta[/mm] => [mm]|f(x)-f(y)|<\varepsilon)[/mm]
>
> gleichmäßig stetig:
> [mm](\forall \varepsilon>0)(\exists \delta>0)(\forall x\in[/mm] M):
> [mm](|x-y|<\delta[/mm] => [mm]|f(x)-f(y)|<\varepsilon)[/mm]
>
> Bei stetigkeit darfst du zuerst [mm]\varepsilon[/mm] und x erfahren,
> und musst erst danach das [mm]\delta[/mm] wählen.
Also ersteinmal vorweg: Danke! Die Beispiele unten haben geholfen!^^ Aber hierzu hab ich noch eine Frage.
Du sagst selbst man erfährt bei der glm Stetigkeit nur ein [mm] $\varepsilon$ [/mm] und das muss reichen um ein [mm] $\delta$ [/mm] zufinden, so dass die schon tausendmal beschriebene Folgerung erfüllt ist.
Wenn aber f auf einer Menge stetig ist, also in jedem Element aus dieser Menge, dann muss ja auch ein größtes Delta geben, und dieses erfüllt dann die Bedingung für alle x.... Das ist ja im Prinzip mein Problem, vllt hab ichs ein wenig kompliziert aufgeschrieben.
> Bei der gleichmäßigen stetigkeit musst du zu einem
> gegebenen [mm]\varepsilon[/mm] sofort ein [mm]\delta[/mm] angeben, und es
> muss dann für alle x passen.
>
> In [mm]\IR[/mm] sind die kompakten mengen ja ganz einfach dadurch
> charakterisiert, dass sie beschränkt und abgeschlossen
> sind. Um was nicht kompaktes zu bekommen, nehme man einfach
> eine unbeschränkte oder nicht abgeschlossene menge, etwa:
>
> 1/x auf (0,1] ist stetig aber nicht glm stetig
> 1/x auf [0.00000000001, 1] ist glm stetig, insbesondere
> stetig.
> [mm]x^2[/mm] auf [-100,100] ist gleichmäßig stetig, insbesondere
> stetig
> [mm]x^2[/mm] auf [mm](-\infty,100][/mm] ist nicht gleichmäßig stetig, aber
> immer noch stetig...
> usw...
lg Kai
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:24 Do 30.07.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
in einer ABGESCHLOSSENEN Mengei ist f glm. stetig, wenn f stetig ist, denn in der abg. Menge nimmt dein [mm] \delta(x,\epsilon) [/mm] ja irgendwo sein Min. an, wenn die Meenge offen ist wie (0,17| etwa fuer f(x)=1/x dann kannst du kein [mm] \delta [/mm] fuer alle x finden.
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:39 Do 30.07.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo
> in einer ABGESCHLOSSENEN Mengei ist f glm. stetig, wenn f
> stetig ist,
Das ist nicht richtig. Ich nehme an, Du meinst KOMPAKT.
f(x) [mm] =x^2 [/mm] ist auf [mm] \IR [/mm] stetig, aber nicht gleichmäßig stetig, [mm] \IR [/mm] ist abgeschlossen
FRED
> denn in der abg. Menge nimmt dein
> [mm]\delta(x,\epsilon)[/mm] ja irgendwo sein Min. an, wenn die
> Meenge offen ist wie (0,17| etwa fuer f(x)=1/x dann kannst
> du kein [mm]\delta[/mm] fuer alle x finden.
> Gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:00 Do 30.07.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Ich habe mir das immer so gemerkt.
Bei Stetigkeit an einer Stelle x kann ich für dieses x das [mm] \delta [/mm] zum gegebenen [mm] \epsilon [/mm] "Stellenindividuell" errechnen.
Für gleichmässige Stetigkeit muss ich an einer Stelle x ein [mm] \delta [/mm] zu einem gegebenen [mm] \epsilon [/mm] finden, und mit dieser [mm] "\epsilon-\delta-Box" [/mm] muss ich an jeder Stelle x der Menge die Stetigkeit nachweisen können.
Ich hoffe, das war das, was du meintest.
Marius
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