stetig,diffbar,partiell diffb < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:03 Fr 26.05.2006 | | Autor: | Riley |
| Aufgabe | Ist die Funktion f: R² -> R bei Null stetig, partiell diffbar oder total diffbar ?
f(x,y) = x² [mm] sin(\bruch{1}{x}) [/mm] + y² [mm] sin(\bruch{1}{y²}) [/mm] für x [mm] \not= 0,y\not= [/mm] 0
f(0,y) = y² [mm] sin(\bruch{1}{y}) [/mm] für y [mm] \not= [/mm] 0
f(x,0) = x² [mm] sin(\bruch{1}{x}) [/mm] für x [mm] \not= [/mm] 0
f(0,0) = 0 |
Hi und guten Abend!
hab stetigkeit und partielle diffbkeit so überprüft:
[mm] \limes_{x\rightarrow\0} [/mm] x² [mm] sin(\bruch{1}{x}) [/mm] = 0, da [mm] sin(\bruch{1}{x}) \le [/mm] 1, also insbesondere beschränkt. entsprechend für [mm] \limes_{y\rightarrow\0} [/mm] y² [mm] sin(\bruch{1}{y}) [/mm] = 0.
[mm] \Rightarrow \limes_{(x,y)\rightarrow\(0,0)} [/mm] f(x,y) = 0 = f(0,0)
[mm] \Rightarrow [/mm] f stetig in Null. stimmt das?
zur partiellen Diffbarkeit, hab das mit diesem Quotient überprüft:
[mm] \bruch{df}{dx}(x_0,y_0) [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\x_0} \bruch{f(x,y_0) - f(x_0,y_0)}{x-x_0}
[/mm]
d.h. also
[mm] \bruch{df}{dx}(0,0) [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\0} \bruch{f(x,0) - f(0,0)}{x-x_0} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\0} \bruch{x² sin(\bruch{1}{x})}{x} [/mm] = 0
[mm] \Rightarrow [/mm] partielle Diffbarkeit
stimmt das so? oder muss ich das noch andersrum machen?
und bei der totalen diffbarkeit hab ich versucht das mit dieser def zu machen:
f(x,y) = [mm] f(x_0,y_0) [/mm] + [mm] \bruch{df}{dx} (x_0,y_0) (x-x_0) +\bruch{df}{dy} (x_0,y_0)(x_0,y_0) (y-y_0) [/mm] + R(x)
mit [mm] \bruch{df}{dx} [/mm] (x,y) = 2x [mm] sin(\bruch{1}{x}) [/mm] - [mm] cos(\bruch{1}{x})
[/mm]
und [mm] \bruch{df}{dy} [/mm] (x,y) = 2y [mm] sin(\bruch{1}{y}) [/mm] - [mm] cos(\bruch{1}{y})
[/mm]
leider weiß ich hier nicht mehr weiter, was ich jetzt mache muss.
wär supercool,we nn ihr mir weiterhelfen könnten!
viele grüße
riley 
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Hallo Riley,
> Ist die Funktion f: R² -> R bei Null stetig, partiell
> diffbar oder total diffbar ?
> f(x,y) = x² [mm]sin(\bruch{1}{x})[/mm] + y² [mm]sin(\bruch{1}{y²})[/mm] für
> x [mm]\not= 0,y\not=[/mm] 0
> f(0,y) = y² [mm]sin(\bruch{1}{y})[/mm] für y [mm]\not=[/mm] 0
> f(x,0) = x² [mm]sin(\bruch{1}{x})[/mm] für x [mm]\not=[/mm] 0
> f(0,0) = 0
> Hi und guten Abend!
> hab stetigkeit und partielle diffbkeit so überprüft:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\0}[/mm] x² [mm]sin(\bruch{1}{x})[/mm] = 0, da
> [mm]sin(\bruch{1}{x}) \le[/mm] 1, also insbesondere beschränkt.
> entsprechend für [mm]\limes_{y\rightarrow\0}[/mm] y²
> [mm]sin(\bruch{1}{y})[/mm] = 0.
> [mm]\Rightarrow \limes_{(x,y)\rightarrow\(0,0)}[/mm] f(x,y) = 0 =
> f(0,0)
> [mm]\Rightarrow[/mm] f stetig in Null. stimmt das?
O.K. die Frage wäre nur wie Du auf den letzten Grenzwert gekommen bist.
> zur partiellen Diffbarkeit, hab das mit diesem Quotient
> überprüft:
> [mm]\bruch{df}{dx}(x_0,y_0)[/mm] = [mm]\limes_{x\rightarrow\x_0} \bruch{f(x,y_0) - f(x_0,y_0)}{x-x_0}[/mm]
>
> d.h. also
> [mm]\bruch{df}{dx}(0,0)[/mm] = [mm]\limes_{x\rightarrow\0} \bruch{f(x,0) - f(0,0)}{x-x_0}[/mm]
> = [mm]\limes_{x\rightarrow\0} \bruch{x² sin(\bruch{1}{x})}{x}[/mm] =
> 0
> [mm]\Rightarrow[/mm] partielle Diffbarkeit
> stimmt das so? oder muss ich das noch andersrum machen?
Ist O.K. Was meinst Du mit andersrum?
> und bei der totalen diffbarkeit hab ich versucht das mit
> dieser def zu machen:
> f(x,y) = [mm]f(x_0,y_0)[/mm] + [mm]\bruch{df}{dx} (x_0,y_0) (x-x_0) +\bruch{df}{dy} (x_0,y_0)(x_0,y_0) (y-y_0)[/mm]
> + R(x)
>
> mit [mm]\bruch{df}{dx}[/mm] (x,y) = 2x [mm]sin(\bruch{1}{x})[/mm] -
> [mm]cos(\bruch{1}{x})[/mm]
> und [mm]\bruch{df}{dy}[/mm] (x,y) = 2y [mm]sin(\bruch{1}{y})[/mm] -
> [mm]cos(\bruch{1}{y})[/mm]
Bei R(x,y) müßte noch eine Bedingung dabeistehen. Die müsstest Du ggf. überprüfen. Einfacher wäre vllt. die partiellen Ableitungen auf Stetigkeit hin zu untersuchen.
viele Grüße
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:16 Do 01.06.2006 | | Autor: | Riley |
hi mathemaduenn!!
vielen dank für deine korrektur und tipps!
ich hab gedacht ich darf den grenzwert aufsplitten in
[mm] \limes_{(x,y)\rightarrow\(0,0)} [/mm] x² [mm] \sin(\bruch{1}{x})+ [/mm] y² [mm] \sin\bruch{1}{y²} =\limes_{(x,y)\rightarrow\(0,0)} [/mm] x² [mm] \sin(\bruch{1}{x}) +\limes_{(x,y)\rightarrow\(0,0)}y² \sin\bruch{1}{y²} [/mm] = 0 + 0 = 0 oder darf ich das nicht?
mit andersrum hab ich gemeint ob ich vielleicht auch noch [mm] \bruch{df}{dy} [/mm] untersuchen muss, aber laut definition eigentlich nicht oder?
bei der Untersuchung auf total diffbkeit müsste doch dann eigentlich gelten
f(x,y) = R(x,y), denn wenn ich (0,0) einsetze müssten die anderen Summanden = 0 sein, oder?
d.h. ich müsste dann zeigen, dass [mm] \limes_{(x,y)\rightarrow\(0,0)} \bruch{f(x,y)}{|(x,y)-(0,0)|} [/mm] = 0, das wäre die zusatzbedingung. und den grenzwert hab ich ja oben schon ausgerechnet bei der stetigkeit, d.h. das müsste stimmen ... ??
vielen dank und viele grüße
riley
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Hallo Riley,
> ich hab gedacht ich darf den grenzwert aufsplitten in
> [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow\(0,0)}[/mm] x² [mm]\sin(\bruch{1}{x})+[/mm] y²
> [mm]\sin\bruch{1}{y²} =\limes_{(x,y)\rightarrow\(0,0)}[/mm] x²
> [mm]\sin(\bruch{1}{x}) +\limes_{(x,y)\rightarrow\(0,0)}y² \sin\bruch{1}{y²}[/mm]
> = 0 + 0 = 0 oder darf ich das nicht?
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Genauso.
> mit andersrum hab ich gemeint ob ich vielleicht auch noch
> [mm]\bruch{df}{dy}[/mm] untersuchen muss, aber laut definition
> eigentlich nicht oder?
Partiel differenzierbar meint immer aller partiellen Ableitungen also auch die in y Richtung.
> bei der Untersuchung auf total diffbkeit müsste doch dann
> eigentlich gelten
> f(x,y) = R(x,y), denn wenn ich (0,0) einsetze müssten die
> anderen Summanden = 0 sein, oder?
> d.h. ich müsste dann zeigen, dass
> [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow\(0,0)} \bruch{f(x,y)}{|(x,y)-(0,0)|}[/mm]
> = 0, das wäre die zusatzbedingung. und den grenzwert hab
> ich ja oben schon ausgerechnet bei der stetigkeit, d.h. das
> müsste stimmen ... ??
Du meinst [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow\(0,0)} \bruch{R(x,y)}{|(x,y)-(0,0)|}=0[/mm] einfacher ist imho das was ich bereits erwähnte:
Sind die partiellen Ableitungen stetig in einer Umgebung von (0,0) (Um das zu zeigen mußt Du die Funktion auch für [mm] x\not=0 [/mm] und [mm] y\not=0 [/mm] ableiten) dann ist die Funktion auch total diffbar und umgekehrt. Also zeige das die Ableitungen stetig/unstetig sind und du bist fertig.
viele Grüße
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:46 Fr 02.06.2006 | | Autor: | Riley |
hi mathemaduenn !
okay, vielen dank für deine antwort. :)
meine eine partielle ableitung (für x [mm] \not=0 [/mm] und y [mm] \not= [/mm] 0 )ist ja:
[mm] \bruch{df}{dx} [/mm] = 2x sin(1/x) - cos (1/x)
um die stetigkeit zu untersuchen, muss ich betrachten:
[mm] \limes_{(x,y)\rightarrow\(0,0)} [/mm] 2x sin(1/x) - cos(1/x)
also ich weiß dass lim (2x sin(1/x)) = 0 für x->0, das hatten wir ja oben schon und lim (cos(1/x)) existiert nicht, da cos ja immer hin und herschwankt, oder? aber darf ich den limes hier wieder so aufteilen? oder darf man das nur, wenn beide existieren?
bei [mm] \bruch{df}{dy} [/mm] ist es ja genau analog.
also ich denk mal die ableitungen sind nicht stetig (vielleicht kannst du mir helfen, das noch richtig zu begründen?).
darf ich dann aus nicht stetig nicht total diffbar schließen? ist das nur ein "dann" oder "genau dann wenn"?
vielen grüße
riley
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Hallo Riley,
> darf ich dann aus nicht stetig nicht total diffbar
> schließen? ist das nur ein "dann" oder "genau dann wenn"?
Oups. geht doch nicht so. Da mußt Du wohl doch diesen Grenzwert (mit dem R(x,y) )ausrechnen.
viele Grüße
mathemaduenn
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