stetig differenzierbar < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:00 Mo 02.06.2008 | | Autor: | mini111 |
| Aufgabe | sei a=(1,1) und [mm] f:\IR^4--->\IR^2 [/mm] gegeben durch
[mm] f(x,y,z,w)=(\vektor{ x*y*z-2*y*z+x*w \\ 2*x*y-y^2-w^2 } [/mm] zeigen sie,dass es in einer umgebung von a zwei verschiedene stetig differenzierbare funktionen [mm] g_{1} [/mm] und [mm] g_{2} [/mm] mit [mm] f(x,y,g_{i}(x,y))\equiv [/mm] 0 (i=1,2) gibt.bestimmen sie [mm] g_{1}(a) [/mm] und [mm] g_{2}(a),sowie J_{g_{1}}(a) [/mm] und [mm] J_{g_{2}}(a) [/mm] |
Hallo,
wie geh ich mit dieser aufgabe vor?ich habe schon daran gedacht die implizite funktion davon zu bilden aber das habe ich nicht hinbekommen,zumal ich das noch nie gemacht habe.was ist mit den 2 stetig differenzierbaren funktionen gemeint und wie find ich die?
ich habe den punkt a in die matrix eingesetzt und [mm] erhalte:\vektor{-z+w \\ 1-w^2 },kann [/mm] man jetzt hieraus schließen dass die matrix invertierbar ist und es deshalb 2 stetig diff.funktionen in der umgebung von a gibt?
ich weiß nicht weiter...ich bin sehr dankbar über hilfe!
viele grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:10 Mo 02.06.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> sei a=(1,1) und [mm]f:\IR^4--->\IR^2[/mm] gegeben durch
> [mm]f(x,y,z,w)=(\vektor{ x*y*z-2*y*z+x*w \\ 2*x*y-y^2-w^2 }[/mm]
> zeigen sie,dass es in einer umgebung von a zwei
> verschiedene stetig differenzierbare funktionen [mm]g_{1}[/mm] und
> [mm]g_{2}[/mm] mit [mm]f(x,y,g_{i}(x,y))\equiv[/mm] 0 (i=1,2) gibt.bestimmen
> sie [mm]g_{1}(a)[/mm] und [mm]g_{2}(a),sowie J_{g_{1}}(a)[/mm] und
> [mm]J_{g_{2}}(a)[/mm]
> Hallo,
>
> wie geh ich mit dieser aufgabe vor?ich habe schon daran
> gedacht die implizite funktion davon zu bilden aber das
> habe ich nicht hinbekommen,zumal ich das noch nie gemacht
> habe.was ist mit den 2 stetig differenzierbaren funktionen
> gemeint und wie find ich die?
Der Satz von der impliziten Funktion ist schon der richtige Ansatz.
Es geht doch darum, die Gleichung
[mm] f(x,y,z,w) = 0 [/mm]
in einer Umgebung des Punktes $(x,y)=(1,1)$ in die Form
[mm] (z,w) = g_i (x,y) [/mm]
zu bringen.
> ich habe den punkt a in die matrix eingesetzt und
> erhalte: [mm]\vektor{-z+w \\ 1-w^2 }[/mm],
OK, das ist also:
[mm] f(1,1,z,w) = \vektor{-z+w \\ 1-w^2 }[/mm].
Daraus kannst du erst einmal die möglichen Werte von z und w bestimmen, damit überhaupt
[mm] f(1,1,z,w) = 0[/mm]
gilt.
Wieviele verschiedene Möglichkeiten gibt es?
> kann man jetzt hieraus
> schließen dass die matrix invertierbar ist und es deshalb 2
> stetig diff.funktionen in der umgebung von a gibt?
Die Matrix ist doch nicht quadratisch, da kannst du nix invertieren. Du verwechselst das mit der Jacobimatrix, die im Satz von der impliziten Funktion vorkommt.
Du musst von der abstrakten Formulierung des Satzes auf den konkreten Fall spezialisieren. Ich schreibe es mal für den speziellen Fall hin (ohne auf die Details einzugehen). Du willst nach $(z,w)$ auflösen. Damit das geht, muss die Jacobimatrix von $f$ nach $(z,w)$ invertierbar sein, also die Matrix
[mm] \bruch{\partial f(x,y,z,w)}{\partial(z,w)} = \left(\bruch{\partial f}{\partial z},\bruch{\partial f}{\partial w}\right) [/mm]
(Das ist eine [mm] $2\times [/mm] 2$-Matrix, da f ja Werte im [mm] $\IR^2$ [/mm] hat.)
Und zwar musst du die Werte $(x,y,z,w)=(1,1,z,w)$ einsetzen, die du gerade bestimmt hast.
Wenn diese Matrix nicht invertierbar ist, kannst du den Satz nicht anwenden. Zum Glück ist sie in dieser Aufgabe invertierbar.
Dann sagt der Satz: die Jacobimatrix von [mm] $g_i(x,y)$ [/mm] ist
[mm] \left.- \left(\bruch{\partial f(x,y,z,w)}{\partial(z,w)} \right)^{-1} * \left(\bruch{\partial f(x,y,z,w)}{\partial(x,y)} \right) \right|_{(z,w)=g_i(x,y)}[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:36 Di 03.06.2008 | | Autor: | mini111 |
Hallo Rainer!
Danke für deine hilfe,ich habe ein ergebniss jetzt dank dir heraus und ich denke es ist richtig,deshalb halte ich es nicht für nötig es hier zu posten,oder?!nochmal vielen dank!
Liebe grüße
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