stetig differenzierbar < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:08 Di 05.07.2005 | | Autor: | Andi |
Hallo liebe Matheräumler,
diesmal fehlt mir leider zu folgender Aufgabe jeglicher (mathematischer) Ansatz:
Sei [mm]B:0\{ x \in \IR^n : ||x||<1 \} [/mm] und sei [mm]f:B \to \IR[/mm] stetig differenzierbar mit [mm] \partial_i f(x)=0[/mm] [mm] \forall x \in B, \forall i=1, ..., n[/mm]
Zeigen Sie: [mm] f(x)=f(0) \forall x \in B[/mm]
Ich bin zwar bei dieser Aufgabe nicht zu einem handfesten Ansatz gekommen, dennoch will ich euch meine Ideen mitteilen. Vielleicht ist ja was schönes dabei.
Also zunächst ist mir aufgefallen, dass der Gradient an jeder Stelle der Nullvektor ist. Und der Gradient zeigt ja an einem Punkt immer in die Richtung mit dem größten Wachstum. Wenn das größte Wachstum aber über all Null ist, dann ist es meiner Meinung nach klar, das überall f(x)=f(0) ist .
Dann habe ich mir überlegt, ob man hier nicht einen Widerspruchsbeweis ansetzen könnte:
Angenommen es gibt so ein x mit [mm]f(x) \not= f(0)[/mm].
Dann gilt: [mm] \bruch{f(x)-f(0)}{x-0} \not= 0 [/mm].
Kann man hier irgendwie einen Widerspruch dazu basteln, dass die Ableitung an jedem Punkt 0 ist?
So das wars auch schon. Meint ihr da kann man was draus machen?
Mit freundlichen Grüßen,
Andi
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> Hallo liebe Matheräumler,
>
> diesmal fehlt mir leider zu folgender Aufgabe jeglicher
> (mathematischer) Ansatz:
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> Sei [mm]B:0\{ x \in \IR^n : ||x||<1 \}[/mm] und sei [mm]f:B \to \IR[/mm]
> stetig differenzierbar mit [mm]\partial_i f(x)=0[/mm] [mm]\forall x \in B, \forall i=1, ..., n[/mm]
> Zeigen Sie: [mm]f(x)=f(0) \forall x \in B[/mm]
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> Ich bin zwar bei dieser Aufgabe nicht zu einem handfesten
> Ansatz gekommen, dennoch will ich euch meine Ideen
> mitteilen. Vielleicht ist ja was schönes dabei.
>
> Also zunächst ist mir aufgefallen, dass der Gradient an
> jeder Stelle der Nullvektor ist. Und der Gradient zeigt ja
> an einem Punkt immer in die Richtung mit dem größten
> Wachstum. Wenn das größte Wachstum aber über all Null ist,
> dann ist es meiner Meinung nach klar, das überall f(x)=f(0)
> ist .
Hallo Andi,
das ist wirklich irgendwie so sonnenklar!
Beweisen würd' ich es mit dem Mittelwertsatz.
x [mm] \in B\{0}, [/mm] und nun auf f(x)-f(0)=f(0+x)-f(0) den Mittelwertsatz loslassen. (Natürlich nicht, ohne vorher geprüft zu haben, ob dessen Voraussetzungen gelten... Sie gelten.)
Dann steht's Ergebnis auch schon da.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:45 Mi 06.07.2005 | | Autor: | Andi |
Hallo angela,
> Beweisen würd' ich es mit dem Mittelwertsatz.
> x [mm]\in B\{0},[/mm] und nun auf f(x)-f(0)=f(0+x)-f(0) den
> Mittelwertsatz loslassen. (Natürlich nicht, ohne vorher
> geprüft zu haben, ob dessen Voraussetzungen gelten... Sie
> gelten.)
> Dann steht's Ergebnis auch schon da.
Also gut, dann werd ich mal mein Glück mit dem Mittelwertsatz probieren.
Die Voraussetungen gelten, da B ja eine Kugel (also konvex) ist.
Angenommen es gibt ein [mm]x \not= 0[/mm] mit [mm] f(x) \not= f(0)[/mm].
[mm] \Rightarrow \bruch{f(x)-f(0)}{x-0} \not= 0[/mm]
[mm] \Rightarrow f(x)-f(0) \not= 0 [/mm] (*)
Nach dem Mittelwertsatz gilt:
[mm] f(0+x)-f(0)=( \integral_{0}^{1} {Df(0+tx) dt})*x= \integral_{0}^{1} {0*f(0+tx) dt}*x= \integral_{0}^{1} {0 dt}*x=0[/mm]
Das ist jedoch ein Widerspruch zu (*).
Also ist meine Annahme falsch und es gibt kein solches x.
Daraus folgt, dass f(x)=f(0) für alle [mm] x \in B [/mm].
Stimmt das?
Mit freundlichen Grüßen,
Andi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:46 Do 07.07.2005 | | Autor: | Andi |
Lieber Stefan,
> > Angenommen es gibt ein [mm]x \not= 0[/mm] mit [mm]f(x) \not= f(0)[/mm].
> >
> > [mm]\Rightarrow \bruch{f(x)-f(0)}{x-0} \not= 0[/mm]
>
> Das darfst du so nicht schreiben!! Schließlich ist [mm]x \in \IR^n[/mm]
> und du kannst nicht einfach durch [mm]x[/mm] teilen. Ist aber
> sowieso unnötig, denn du kommst doch sofort, auch ohne
> diesen Schritt, auf
Vielen Dank für den Hinweis, ich hatte ganz vergessen, dass [mm]x \in \IR^n[/mm].
> > [mm]\Rightarrow f(x)-f(0) \not= 0[/mm]
> > (*)
>
> > Nach dem Mittelwertsatz gilt:
> > [mm]f(0+x)-f(0)=( \integral_{0}^{1} {Df(0+tx) dt})*x= \integral_{0}^{1} {0*f(0+tx) dt}*x=[/mm]
>
>
> Hier gefällt mir die Schreibweise nicht. Was soll das [mm]0 * f(0+tx)[/mm]
> denn sein?
Ja ... du hast recht. 
> Mit [mm]Df(0+tx)[/mm] ist der Gradient an der Stelle [mm]0+tx[/mm] gemeint,
> und der ist einfach gleich [mm]0[/mm]. Was also macht da noch das
> [mm]*f(0+tx)[/mm]? 
>
> > [mm]\integral_{0}^{1}[/mm] {0 dt}*x=0[/mm]
> >
> > Das ist jedoch ein Widerspruch zu (*).
>
> ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> > Also ist meine Annahme falsch und es gibt kein solches x.
> > Daraus folgt, dass f(x)=f(0) für alle [mm]x \in B [/mm].
> >
> > Stimmt das?
>
> Ja, wobei hier ein Widerspruchsbeweis nicht nötig ist. Du
> kannst ja direkt mit dem Mittelwertsatz [mm]f(x)=f(0)[/mm] zeigen,
> auch ohne Widerspruch.
Stimmt, ein Widerspruchsbeweis ist echt nicht nötig, aber ganz am Anfang hatte ich die Idee einen Widerspruchsbeweis zu machen. Und Irgendwie bin ich dann daran hängen gebliebn, obwohl man es auch direkt zeigen kann.
Liebe Grüße,
Andi
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