stetig, gl.mäßig stetig < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:19 Sa 16.06.2012 | | Autor: | rollroll |
| Aufgabe | Prüfe folgende Funktionen auf Stetigkeit, gleichmäßige Stetigkeit und Lipschitz-Stetigkeit:
a) [mm] f:\IR\to\IR [/mm] , [mm] f(x)=x^2
[/mm]
b) [mm] f:\IR\to\IR [/mm] , [mm] f(x)=\wurzel{1+|x|}
[/mm]
c) [mm] f:\IR_{\ge 0}\to\IR, f(x)=\wurzel{\bruch{x}{x+1}}
[/mm]
d) [mm] f:\IR\to\IR, [/mm] f(x)=1, wenn [mm] x\in\IQ [/mm] und f(x)=0, wenn [mm] x\in\IR\backslash\IQ. [/mm] |
Meine Ideen, um deren Überprüfung / Ergänzung ich bitte:
zu a)
f ist nicht Lipschitz-stetig, denn auf IR sind nur Polynomfunktionen vom Grad kleiner gleich 1 Lipschitz-stetig.
f ist stetig.
Beweis:
|f(x)-f(y)|=...=|x-y||x+y| < [mm] \delta [/mm] |x+y| < 3/2 [mm] \delta [/mm] y (mit x < y/2).
Wähle [mm] \delta [/mm] mit 3/2 [mm] \delta [/mm] y < [mm] \varepsilon [/mm] --> [mm] \delta [/mm] < 2 [mm] \varepsilon [/mm] /3y.
Sei also [mm] \varepsilon [/mm] > 0 beliebig und [mm] \delta [/mm] = min{y/2 ; 2 [mm] \varepsilon [/mm] /3y}.
Dann gilt mit obiger Abschätzung 3/2 [mm] \delta [/mm] y < [mm] \varepsilon.
[/mm]
Kann man aus nicht Lip-stetig folgern, dass f auch nicht gl.mäßig stetig ist?
zu b)
f ist gl-mäßig stetig.
Beweis:
|f(x)-f(y)|=...= [mm] \delta \bruch{1}{\wurzel{1+|x|}+ \wurzel{1+|y|}} [/mm] < [mm] \delta/2. [/mm]
Wähle delta/2 < [mm] \varepsilon [/mm] --> [mm] \delta [/mm] < 2 [mm] \varepsilon. [/mm] Mit obiger Abschätzung folgt gl-mäßige Stetigkeit der Funktion.
Aus gl.mäßig stetig folgt auch f ist stetig.
Lipschitz-stetig:
|f(x)-f(y)| [mm] \le [/mm] 1/2 |x-y| , also ist f Lip-stetig mit Lip-Konstante 1/2.
zu c)
Ich weiß, dass [mm] \wurzel{x} [/mm] stetig ist und dass die Verkettung stetig ist (hätte ich auch bei b) verwenden können...) , muss also ,,nur noch'' gucken, ob [mm] \bruch{x}{x+1} [/mm] stetig ist.
|f(x)-f(y)|=... < [mm] \bruch{ \delta}{|(x+1)(y+1)|}. [/mm] Jetzt wähle ich [mm] \delta [/mm] so, dass gilt: [mm] \delta [/mm] < [mm] \varepsilon (x^2 [/mm] /2 +3/2 x+1).
Sei also [mm] \varepsilon [/mm] > 0 und [mm] \delta= [/mm] min{x/2 ; [mm] x^2 [/mm] /2 +3/2 x+1}. Dann gilt mit obiger Abschätzung [mm] \delta [/mm] / [mm] (x^2 [/mm] /2 +3/2 x+1) < [mm] \varepsilon.
[/mm]
Also ist f stetig.
Was gl.mäßige Stetigkeit und lip-Stetigkeit angeht, komme ich momentan nicht weiter...
zu d)
Ich weiß:
Q liegt dicht in IR und IR \ Q liegt dicht in IR.
f ist nicht stetig, denn sei [mm] x_0 \in [/mm] IR und sei [mm] \varepsilon [/mm] > 0.
Für [mm] \delta [/mm] > 0 ist [mm] U_{ \delta} (x_0) [/mm] eine Umgebung von [mm] x_0, [/mm] in der wg. Dichtheit von Q bzw. IR \ Q ein rationales [mm] x_1 [/mm] existiert, falls [mm] x_0 [/mm] irrational ist bzw. ein irrationales [mm] x_1 [/mm] existiert, falls [mm] x_0 [/mm] rational ist.
Für [mm] x_0, x_1 [/mm] folgt:
[mm] |x_0 [/mm] - [mm] x_1| [/mm] < [mm] \delta [/mm] und [mm] |f(x_0)-f(x_1)| [/mm] = 1 unabhängig von der wahl von [mm] \varepsilon. [/mm] Für [mm] \varepsilon [/mm] = 1/2 existiert kein [mm] \delta [/mm] > 0 so, dass [mm] |f(x_0)-f(x_1)| [/mm] < [mm] \varepsilon \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] IR mit [mm] |x_0-x| [/mm] < [mm] \delta. [/mm] Widerspruch zur Stetigkeit.
Noch eine grundsätzliche frage: Kann man folgern Lip-stetig --> gl.mäßig stetig --> stetig? Gilt auch: Nicht Lip-stetig --> nicht gl.mäßig stetig --> nicht stetig?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:39 Sa 16.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Kann man aus nicht Lip-stetig folgern, dass f auch nicht
> gl.mäßig stetig ist?
nein. Es gilt Lipschitzsch [mm] $\Rightarrow$ [/mm] glm. st. [mm] $\Rightarrow$ [/mm] stetig. Das heißt etwa, wenn Du weißt, dass eine Funktion glm. stetig ist, dann ist sie insbesondere stetig.
Wenn Du weißt, dass sie Lipschitzsch ist, dann weißt Du schon, dass sie dann auch notwendigerweise glm. stetig sein muss, und damit auch notwendigerweise stetig.
Wegen Kontraposition ($A [mm] \Rightarrow [/mm] B$ ist logisch äquivalent zu [mm] $(\neg [/mm] B) [mm] \Rightarrow (\neg [/mm] A)$) kannst Du höchstens sowas sagen:
Ich habe bewiesen, dass die Funktion nicht glm. stetig ist. Damit kann sie nicht Lipschitzsch sein. (Ist ja auch logisch: denn würde man annehmen, dass sie Lipschitzsch wäre, dann würde "Lipschitzsch [mm] $\Rightarrow$ [/mm] glm. st." ja nach sich ziehen, dass die Funktion doch glm. st. sein müßte.)
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:58 Sa 16.06.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo,
Gibt es eine gleichmäßig stetige Funktion, die nicht Lipschitz-stetig ist?
Mir fällt jedenfalls keine ein.
Ah, jetzt ist mir doch ein Gegenbeispiel eingefallen:
[mm] $f\colon [0,1]\to \IR, x\mapsto \sqrt [/mm] x$ ist stetig und damit auf dem kompakten Intervall auch gleichmäßig stetig, aber nicht Lipschitz-stetig.
Leider kann ich meine Frage nicht in eine Antwort verwandeln. Vielleicht kann ein mächtigerer helfen.
Grüße,
Wolfgang
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:11 Sa 16.06.2012 | | Autor: | rollroll |
Ok danke, wie steht#s mit den Beweisen zu den Aufgaben , die ich gepostet hatte?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:10 Sa 16.06.2012 | | Autor: | Helbig |
> Prüfe folgende Funktionen auf Stetigkeit, gleichmäßige
> Stetigkeit und Lipschitz-Stetigkeit:
> a) f: IR-->IR , [mm]f(x)=x^2[/mm]
> b) f:IR-->IR , f(x) = [mm]\wurzel{1+|x|}[/mm]
> c) f: [mm]IR_{\ge 0}--->IR,[/mm] f(x) = [mm]\wurzel{\bruch{x}{x+1}}[/mm]
> d) f:IR-->IR, f(x)=1, wenn x [mm]\in[/mm] Q und f(x)=0, wenn x [mm]\in[/mm]
> IR \ Q.
> Meine Ideen, um deren Überprüfung / Ergänzung ich
> bitte:
>
>
> zu a)
> f ist nicht Lipschitz-stetig, denn auf IR sind nur
> Polynomfunktionen vom Grad kleiner gleich 1
> Lipschitz-stetig.
>
> f ist stetig.
>
> Beweis:
Hier solltest Du schreiben, daß Du die Stetigkeit in jedem [mm] $y\in \IR$ [/mm] zeigen willst.
Dann wird Dir auch klar, daß Dein Beweis für $y=0$ und für $y < 0$ falsch ist.
Vorschlag: Beweise die Stetigkeit nicht direkt mit der [mm] $\epsilon-\delta$-Definition, [/mm] sondern über bereits bewiesene Sätze. Dazu hat man sie nämlich. Das spart Dir Zeit und Fehler.
>
> Kann man aus nicht Lip-stetig folgern, dass f auch nicht
> gl.mäßig stetig ist?
Nein. Siehe meine andere Mitteilung.
Nehme an, $f$ sei glm. stetig, und führe das zu einem Widerspruch, indem Du ein genügend großes $x$ wählst, so daß für [mm] $y=x+\delta/2$ [/mm] zwar $|x-y| < [mm] \delta$ [/mm] ist, aber [mm] $|x^2-y^2 [/mm] > [mm] \epsilon$ [/mm] ausfällt.
>
>
> zu b)
>
> f ist gl-mäßig stetig.
>
> Beweis:
>
> |f(x)-f(y)|=...= [mm]\delta \bruch{1}{\wurzel{1+|x|}+ \wurzel{1+|y|}}[/mm]
> < [mm]\delta/2.[/mm]
> Wähle delta/2 < [mm]\varepsilon[/mm] --> [mm]\delta[/mm] < 2 [mm]\varepsilon.[/mm]
> Mit obiger Abschätzung folgt gl-mäßige Stetigkeit der
> Funktion.
Du hast hier an einigen Stellen die Betragsstriche vergessen, dadurch wird der Beweis falsch. Aber das kann man ja reparieren.
>
> Aus gl.mäßig stetig folgt auch f ist stetig.
Richtig!
>
> Lipschitz-stetig:
> |f(x)-f(y)| [mm]\le[/mm] 1/2 |x-y| , also ist f Lip-stetig mit
> Lip-Konstante 1/2.
Richtig. Du hättest gleich Lipschitz-stetig zeigen können, daraus folgt dann glm. Stetigkeit und Stetigkeit.
>
> zu c)
> Ich weiß, dass [mm]\wurzel{x}[/mm] stetig ist und dass die
> Verkettung stetig ist (hätte ich auch bei b) verwenden
> können...) ,
Genau!
> muss also ,,nur noch'' gucken, ob
> [mm]\bruch{x}{x+1}[/mm] stetig ist.
> |f(x)-f(y)|=... < [mm]\bruch{ \delta}{|(x+1)(y+1)|}.[/mm] Jetzt
> wähle ich [mm]\delta[/mm] so, dass gilt: [mm]\delta[/mm] < [mm]\varepsilon (x^2[/mm]
> /2 +3/2 x+1).
>
> Sei also [mm]\varepsilon[/mm] > 0 und [mm]\delta=[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
min{x/2 ; [mm]x^2[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
/2 +3/2
> x+1}. Dann gilt mit obiger Abschätzung [mm]\delta[/mm] / [mm](x^2[/mm] /2
> +3/2 x+1) < [mm]\varepsilon.[/mm]
>
> Also ist f stetig.
Hier ist es sogar einfacher, die Lipschitz-Stetigkeit von $x/(1+x)$ auf [mm] $[0,\infty)$ [/mm] zu zeigen.
> Was gl.mäßige Stetigkeit und lip-Stetigkeit angeht,
> komme ich momentan nicht weiter...
Benutze [mm] $|\sqrt [/mm] a - [mm] \sqrt [/mm] b| [mm] \le \sqrt [/mm] {|a-b|}$ und die Lipschitz-Stetigkeit von [mm] $x\mapsto [/mm] x/(x+1)$, um die glm. Stetigkeit zu zeigen. Die Funktion ist nicht Lipschitz-stetig. Dies zeigst Du durch Widerspruch, weil $|f(x)-f(0)|/|x-0|$ für genügend kleine $x$ beliebig groß werden kann.
>
> zu d)
>
> Ich weiß:
>
> Q liegt dicht in IR und IR \ Q liegt dicht in IR.
>
> f ist nicht stetig, denn sei [mm]x_0 \in[/mm] IR und sei [mm]\varepsilon[/mm]
> > 0.
> Für [mm]\delta[/mm] > 0 ist [mm]U_{ \delta} (x_0)[/mm] eine Umgebung von
> [mm]x_0,[/mm] in der wg. Dichtheit von Q bzw. IR \ Q ein rationales
> [mm]x_1[/mm] existiert, falls [mm]x_0[/mm] irrational ist bzw. ein
> irrationales [mm]x_1[/mm] existiert, falls [mm]x_0[/mm] rational ist.
> Für [mm]x_0, x_1[/mm] folgt:
> [mm]|x_0[/mm] - [mm]x_1|[/mm] < [mm]\delta[/mm] und [mm]|f(x_0)-f(x_1)|[/mm] = 1 unabhängig
> von der wahl von [mm]\varepsilon.[/mm] Für [mm]\varepsilon[/mm] = 1/2
> existiert kein [mm]\delta[/mm] > 0 so, dass [mm]|f(x_0)-f(x_1)|[/mm] <
> [mm]\varepsilon \forall[/mm] x [mm]\in[/mm] IR mit [mm]|x_0-x|[/mm] < [mm]\delta.[/mm]
> Widerspruch zur Stetigkeit.
Richtig!
>
> Noch eine grundsätzliche frage: Kann man folgern
> Lip-stetig --> gl.mäßig stetig --> stetig? Gilt auch:
Ja!
> Nicht Lip-stetig --> nicht gl.mäßig stetig --> nicht
> stetig?
Nein. Da hatten wir hier ja schon Gegenbeispiele.
Gruß,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:22 Sa 16.06.2012 | | Autor: | rollroll |
Also ehrlich gesagt ist mir nicht klar, weshalb [mm] f(x)=x^2 [/mm] nicht auf ganz IR stetig sein soll...
#Und bei c) hast du einmal geschrieben es sei Lipschitz-stetig und dann dass es doch nicht Lipschitz-stetig ist. Was stimmt den nun?
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Hiho,
> Also ehrlich gesagt ist mir nicht klar, weshalb [mm]f(x)=x^2[/mm] nicht auf ganz IR stetig sein soll...
Ist es, es ist jedoch nicht gleichmäßig stetig und nichts anderes hatte Wolfgang geschrieben
> #Und bei c) hast du einmal geschrieben es sei Lipschitz-stetig und dann dass es doch nicht Lipschitz-stetig ist. Was stimmt den nun?
Auch das hast du nicht richtig gelesen. Es wurde gesagt, die Diskriminante [mm] $\bruch{x}{x+1}$ [/mm] ist Lipschitz-Stetig, nicht die ganze Funktion!
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:30 So 17.06.2012 | | Autor: | rollroll |
Ok, im 2. Fall gebe ich ´dir absolur Recht!
Aber im 1. Fall hatte Wolfgang doch geschrieben, dass der Stetigkeitsbeweis für x [mm] \le [/mm] 0 falsch sei. Das verstehe ich nicht...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:29 So 17.06.2012 | | Autor: | Helbig |
> Ok, im 2. Fall gebe ich ´dir absolur Recht!
> Aber im 1. Fall hatte Wolfgang doch geschrieben, dass der
> Stetigkeitsbeweis für x [mm]\le[/mm] 0 falsch sei. Das verstehe ich
> nicht...
Die Funktion [mm] $f\colon \IR\to \IR,\; x\mapsto x^2 [/mm] ist stetig, aber Dein Beweis ist falsch.
Du wolltest die Stetigkeit in $y$ zeigen. Du setzt [mm] $\delta [/mm] = [mm] \min [/mm] (y/2, [mm] 2*\epsilon/3y)$.
[/mm]
Und dies ist für $y=0$ nicht definiert und für $y<0$ ist auch [mm] $\delta [/mm] < 0$, wir müssen aber ein [mm] $\delta>0$ [/mm] finden.
Darüber hinaus sind Deine Abschätzungen für negative $y$ ebenfalls falsch.
Grüße,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:13 So 17.06.2012 | | Autor: | rollroll |
Und wie würde ich dann vorgehen, um im Fall a) [mm] f(x)=x^2 [/mm] die Stetigkeit auf IR zu zeigen?
|f(x)-f(y)|=...=|x-y||x+y|< [mm] \delta [/mm] |x+y|. Soweit ok? Und wie geht' dann weiter?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:58 So 17.06.2012 | | Autor: | Helbig |
> Und wie würde ich dann vorgehen, um im Fall a) [mm]f(x)=x^2[/mm]
> die Stetigkeit auf IR zu zeigen?
> |f(x)-f(y)|=...=|x-y||x+y|< [mm]\delta[/mm] |x+y|. Soweit ok? Und
> wie geht' dann weiter?
Da hab ich keine Lust zu. Ihr habt doch sicher in der Vorlesung bewiesen, daß [mm] $x\mapsto [/mm] x$ stetig ist, und daß $f*g$ stetig ist, wenn $f$ und $g$ stetig sind. Beide Sätze könntest Du leicht zeigen, wenn Du beachtest, daß stetig=folgenstetig ist und die Rechenregeln für Grenzwerte anwendest:
Existieren [mm] $\lim a_n$ [/mm] und [mm] $\lim b_n$, [/mm] so existiert auch [mm] $\lim a_n*b_n$ [/mm] und es ist
[mm] $\lim a_n*b_n=\lim a_n*\lim b_n$.
[/mm]
Das habt Ihr bestimmt gehabt, oder?
Gruß,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:02 So 17.06.2012 | | Autor: | rollroll |
danke für deine Mühe, Wolfgang!
nein, dass f(x)=x stetig ist, hatten wir noch nicht.
Allerdings geht es mir - vielleicht hätte ich das von Beginn an dazu schreiben sollen - , darum das [mm] \varepsilon [/mm] - [mm] \delta [/mm] - Kriterium einzuüben.
Deshalb würde ich gernen sehen, wie der stetigkeitsbeweis von [mm] f(x)=x^2 [/mm] mit diesem Kriterium aussieht...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:12 So 17.06.2012 | | Autor: | Helbig |
> Allerdings geht es mir - vielleicht hätte ich das von
> Beginn an dazu schreiben sollen - , darum das [mm]\varepsilon[/mm] -
> [mm]\delta[/mm] - Kriterium einzuüben.
> Deshalb würde ich gernen sehen, wie der stetigkeitsbeweis
> von [mm]f(x)=x^2[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
mit diesem Kriterium aussieht...
Na ja, die können beliebig schwierig werden. Deshalb hat man ja Sätze und leitet nicht alles jedesmal aus den Peano-Axiomen ab. Aber ok.
Wir müssen ein $\delta> 0$ so bestimmen, daß
$|x-y|<\delta \Rightarrow |x^2-y^2|=|x+y|*|x-y|<\epsilon$ gilt.
Dabei darf das $\delta$ nur von $y$ und $\epsilon$ abhängen.
Jetzt kann $|x+y|$ ja beliebig groß werden. Um das in den Griff zu bekommen, wählen wir mal $\delta=1$. Dann ist nämlich
$|x+y| = |x-y + 2y|\le |x-y|+2|y| < 1 + 2|y|$.
Für jedes $\delta< 1$ folgt dann:
$|x^2-y^2|\le (1+2|y|)*\delta$.
Für $\delta= \min \left(1, \frac \epsilon {1+2|y|\right)$ und $|x-y| <\delta$ folgt dann $|x+y|*|x-y| < |x+y|*\delta < (1+2|y|) * \frac \epsilon {1+2|y|} = \epsilon$.
Fertig.
Gruß,
Wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:04 So 17.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Wolfgang,
> > Allerdings geht es mir - vielleicht hätte ich das von
> > Beginn an dazu schreiben sollen - , darum das [mm]\varepsilon[/mm] -
> > [mm]\delta[/mm] - Kriterium einzuüben.
> > Deshalb würde ich gernen sehen, wie der stetigkeitsbeweis
> > von [mm]f(x)=x^2[/mm] mit diesem Kriterium aussieht...
>
> Na ja, die können beliebig schwierig werden. Deshalb hat
> man ja Sätze und leitet nicht alles jedesmal aus den
> Peano-Axiomen ab. Aber ok.
das schöne ist eigentlich, dass, wenn man genau hinguckt, eigentlich auch alles zusammenfrickeln kann. Aber ich selbst bin ein Mensch, der gern den Leuten sagt: "Lernt in der Analysis die Charakterisierung der Stetigkeit mit "Folgenstetigkeit" - jedenfalls bei Funktionen zwischen metrischen Räumen. Und wenn Ihr das Kapitel mit (konvergenten und divergenten) Folgen dann verstanden habt, erspart man sich viele Rechnungen."
Denn dass zum Beispiel "die Produktsfunktion zweier stetiger Funktionen stetig ist", ist eigentlich dann nur eine Übertragung des Satzes, dass "die Produktfolge zweier konvergenter Folgen konvergiert und zwar gegen das Produkt der beiden Grenzwerte".
Und wenn ich die Stetigkeit einer Funktion mit [mm] $\epsilon$-$\delta$-$x_0$ [/mm] nicht direkt erkenne, mach' ich vielleicht einfach genau das, was Inhalt des Beweises "Stetigkeit [mm] $\gdw$ [/mm] Folgenstetigkeit" ist, selbst, wenn dieser Satz in der Vorlesung noch gar nicht behandelt worden wäre... Denn der Beweis dazu ist nun auch nicht allzu schwer...
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:51 So 17.06.2012 | | Autor: | rollroll |
Ok, teile a) bis c) hätte ich dann jetzt. Zu d) hatte ich ja schon einen Beweis gebracht, dass f nicht stetig ist. Hier bräuchte ich noch Ideen hinsichtlich gleichmäßiger stetigkeit und Lip-stetigkeit. Danke im Voraus!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:29 So 17.06.2012 | | Autor: | Helbig |
> Ok, teile a) bis c) hätte ich dann jetzt. Zu d) hatte ich
> ja schon einen Beweis gebracht, dass f nicht stetig ist.
> Hier bräuchte ich noch Ideen hinsichtlich gleichmäßiger
> stetigkeit und Lip-stetigkeit. Danke im Voraus!
Wenn $f$ nicht stetig ist, kann $f$ auch nicht glm. stetig sein und auch nicht Lipschitz-stetig! So fing ja die ganze Diskussion an!
Grüße
Wolfgang
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:53 So 17.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> danke für deine Mühe, Wolfgang!
> nein, dass f(x)=x stetig ist, hatten wir noch nicht.
also rollroll, sei mir nicht böse, aber Trivialitäten nachrechnen musst Du schon können. Also nicht einfach sagen "Hatten wir noch nicht!" - sondern sagen: "Hatten wir noch nicht, aber okay, ich versuch's mal."
(Was machst Du denn, wenn man in der Klausur verlangt, nachzurechnen, dass konstante Funktionen glm. stetig sind? Oder Lipschitzsch? Oder...)
Ich zeig' Dir nun, dass $f(x):=x$ ($x [mm] \in \IR$ [/mm] oder sogar $x [mm] \in \IC$ [/mm] oder ...) sogar glm. stetig ist. Ich gebe Dir einfach ein zu [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ passendes [mm] $\delta [/mm] > 0$ an, und ich erwarte, dass Du mir zeigst, dass das passt:
Also, ist [mm] $\varepsilon [/mm] > [mm] 0\,,$ [/mm] so setzen wir [mm] $\delta:=...$ [/mm] ... Überraschung: [mm] $\delta:=\varepsilon\,.$ [/mm] Wieso folgt nun aus [mm] $x,y\,$ [/mm] mit $|x-y| < [mm] \delta$ [/mm] dann $|f(x)-f(y)| < [mm] \varepsilon$?
[/mm]
Und wie hätten wir's ganz einfach machen können? Oha:
Die Funktion ist diff'bar und es ist [mm] $f\,'(x)=1\,$ [/mm] für alle [mm] $x\,.$ [/mm] Daher ist [mm] $f\,'$ [/mm] beschränkt, und damit ist [mm] $f\,$ [/mm] Lipschitzsch. Daraus folgt dann auch glm. Stetigkeit und Stetigkeit von [mm] $f\,.$
[/mm]
P.S.
Dass das "Trivialitäten" sind, ist natürlich nur insofern gemeint, als dass ich mir ziemlich sicher bin, dass Euer Vorlesungsstand auch entsprechend fortgeschritten ist - ihr also die obigen Grundlagen, die ich benutze, auch kennt und zur Verfügung habt.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:42 So 17.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hier ist es sogar einfacher, die Lipschitz-Stetigkeit von
> [mm]x/(1+x)[/mm] auf [mm][0,\infty)[/mm] zu zeigen.
ich hab' nun nicht alles durchgelesen, aber ich wollte auf jeden Fall mal dran erinnern, dass man bei einer differenzierbaren Funktion $f: I [mm] \to \IR$ [/mm] auf einem Intervall [mm] $I\,$ [/mm] die Lipschitzstetigkeit leicht charakterisieren kann:
[mm] $f\,$ [/mm] ist genau dann Lipschitzsch, wenn [mm] $f\,'$ [/mm] beschränkt!
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:33 Mi 20.06.2012 | | Autor: | rollroll |
Nur zur Sicherheit frage ich nochmal nach:
Bei b) (also f(x)= [mm] \wurzel{1+|x|} [/mm] hatte ich ja behauptet, dass das Lip-stetig ist und damit insbes. gl.mäßig stetig und stetig.
Stimmt das?
ich zweifle nämlich an der Stetigkeit, da macht mich der Betrag stutzig...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:42 Mi 20.06.2012 | | Autor: | Helbig |
> Nur zur Sicherheit frage ich nochmal nach:
> Bei b) (also f(x)= [mm]\wurzel{1+|x|}[/mm] hatte ich ja behauptet,
> dass das Lip-stetig ist und damit insbes. gl.mäßig stetig
> und stetig.
> Stimmt das?
Ja!. Die Funktion [mm] $x\mapsto [/mm] |x|$ ist ja auch stetig. Der Betrag muß dich nur stutzig machen, wenn es um die Differenzierbarkeit geht!
Gruß Wolfgang
> ich zweifle nämlich an der Stetigkeit, da macht mich der
> Betrag stutzig...
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