stetig und diff'bar < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:45 Mi 09.04.2008 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion
[mm] k(x)=\left\{\begin{matrix}
a\cdot{}(x²-3x-4), & \mbox{für } x \le 4 \\
-\bruch{x³}{3}+4x²-12x+\bruch{16}{3}, & \mbox{für } x > 4
\end{matrix}\right.
[/mm]
Für welche Werte von a ist die Funktion überall stetig und differenzierbar? |
Hallo Zusammen,
damit die Funktion stetig ist, muss gelten:
[mm] \lim_{h \to 0}k(4-h) [/mm] = [mm] \lim_{h \to 0}k(4+h) [/mm] = k(4)
[mm] \lim_{h \to 0}k(4-h) [/mm] = [mm] \lim_{h \to 0} [/mm] a[(4-h)²-3(4-h)-4] = a(16-12-4) = 0
[mm] \lim_{h \to 0}k(4+h) [/mm] = [mm] \lim_{h \to 0} -\bruch{(4+h)³}{3}+4(4+h)²-12(4+h)+\bruch{16}{3} [/mm] = [mm] -\bruch{64}{3}+64-48 [/mm] = [mm] -\bruch{16}{3}
[/mm]
k(4) = [mm] a(4²-3\cdot{}4 [/mm] -4) = 0
also stetig wenn 0 = [mm] -\bruch{16}{3}, [/mm] falsche Aussage -> für kein a ist die Funktion stetig und differenzierbar, oder?
Gruß itse
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:06 Mi 09.04.2008 | | Autor: | wauwau |
also Stetig ist die funktion immer, da sowohl der Teil von links als auch von rechts im Punkt x=4 verschwindet (Funktionswert = 0)
Jetzt musst du a nur mehr so bestimmen, dass die Ableitung beider funktionsteile für x= 0 den gleichen Wert annimmt. Und das ist nur bei a = [mm] -\bruch{12}{5} [/mm] der fall
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:20 Mi 09.04.2008 | | Autor: | itse |
> also Stetig ist die funktion immer, da sowohl der Teil von
> links als auch von rechts im Punkt x=4 verschwindet
> (Funktionswert = 0)
stimmt, ich hab vergessen die [mm] \bruch{16}{3} [/mm] zu addieren
$ [mm] \lim_{h \to 0}k(4+h) [/mm] $ = $ [mm] \lim_{h \to 0} -\bruch{(4+h)³}{3}+4(4+h)²-12(4+h)+\bruch{16}{3} [/mm] $ = $ [mm] -\bruch{64}{3}+64-48 +\bruch{16}{3}$ [/mm] = $ 0$
somit ist die Funktion überall steig, auch für alle Werte von a
> Jetzt musst du a nur mehr so bestimmen, dass die Ableitung
> beider funktionsteile für x= 0 den gleichen Wert annimmt.
> Und das ist nur bei a = [mm]-\bruch{12}{5}[/mm] der fall
nun noch die Differenzierbarkeit:
also [mm] \lim_{h \to 0}k'(4-h) [/mm] = [mm] \lim_{h \to 0}k'(4+h)
[/mm]
$ [mm] k'(x)=\left\{\begin{matrix} a\cdot{}(2x-3), & \mbox{für } x < 4 \\ -x²+8x-12, & \mbox{für } x > 4 \end{matrix}\right. [/mm] $
[mm] \lim_{h \to 0}k'(4-h) [/mm] = [mm] \lim_{h \to 0} a\cdot{}(2(4-h)-3) [/mm] = 5a
[mm] \lim_{h \to 0}k'(4+h) [/mm] = [mm] \lim_{h \to 0} [/mm] -(4+h)²+8(4+h)-12 = 4
diff'bar, wenn 5a = 4 -> a = [mm] \bruch{4}{5}
[/mm]
Jedoch bekomme ich etwas anderes raus als [mm] -\bruch{12}{5}, [/mm] stimmt dann meine Rechnung/Ergebnis oder sind die [mm] -\bruch{12}{5} [/mm] richtig?
also wäre die Funktion stetig und differenzbar für a = [mm] \bruch{4}{5}
[/mm]
$ [mm] k(x)=\left\{\begin{matrix} \bruch{4}{5}\cdot{}(x²-3x-4), & \mbox{für } x \le 4 \\ -\bruch{x³}{3}+4x²-12x+\bruch{16}{3}, & \mbox{für } x > 4 \end{matrix}\right. [/mm] $
Gruß itse
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:24 Mi 09.04.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo itse!
Ich habe auch Dein Ergebnis erhalten. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:28 Mi 09.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo itse,
eine kleine Anmerkung:
> nun noch die Differenzierbarkeit:
>
> also [mm]\lim_{h \to 0}k'(4-h)[/mm] = [mm]\lim_{h \to 0}k'(4+h)[/mm]
>
>
> [mm]k'(x)=\left\{\begin{matrix} a\cdot{}(2x-3), & \mbox{für } x < 4 \\ -x²+8x-12, & \mbox{für } x > 4 \end{matrix}\right.[/mm]
>
>
Das hier
> [mm]\blue{\lim_{h \to 0}k'(4-h)}[/mm] = [mm]\lim_{h \to 0} a\cdot{}(2(4-h)-3) = 5a[/mm]
nenne ich mal (I) und das hier
> [mm]\blue{\lim_{h \to 0}k'(4+h)}[/mm] = [mm]\lim_{h \to 0}[/mm]-(4+h)²+8(4+h)-12 = 4
nenne ich mal (II).
Deine Rechnung passt hier so schön. Aber strenggenommen hättest Du hier zu untersuchen:
Für welche Werte von $a$ existieren die folgende Grenzwerte
[mm] $(\*)$ [/mm] (i) [mm] $\lim_{h > 0 \mbox{ mit } h\to 0}\frac{k(4-h)-k(4)}{-h}$ [/mm] und (ii) [mm] $\lim_{h > 0 \mbox{ mit } h\to 0}\frac{k(4+h)-k(4)}{h}$
[/mm]
mit Gleichheit?
(Edit: Beachte, dass $k(4)=0$, da [mm] $k(x)=a*(x^2-3x-4)$ [/mm] für [mm] \underline{x \le 4} [/mm] war!)
Dass Du nämlich oben mit [mm] $\lim_{h \to 0} k\,'(4+h)$ [/mm] (wobei bei Dir offensichtlich [mm] $\lim_{h \to 0}=\lim_{h > 0 \mbox{ mit } h\to 0}$ [/mm] gelten soll) und [mm] $\lim_{h \to 0} k\,'(4-h)$ [/mm] arbeiten kannst, ist hier doch schon etwas "speziell", denn was wäre, wenn [mm] $k\,'(4\pm [/mm] h)$ für (selbst genügend kleine) $h > 0$ gar nicht existierte?
(Und es gibt eine Funktion, die an genau einer Stelle differenzierbar ist, z.B. [mm] $f(x):=\begin{cases} x, & \mbox{für } x \in \IQ \\ 0, & \mbox{für } x \in \IR \setminus \IQ \end{cases}$ [/mm] )
Zudem arbeitest Du damit, dass man hier die Ableitung an der Stelle $4$ stetig fortsetzen kann. Das ist aber auch nicht der Normalfall, es gibt Funktionen, die an einer Stelle [mm] $x_0$ [/mm] differenzierbar sind, aber deren Ableitungen dort unstetig ist.
Z.B. $x [mm] \mapsto x^2*\sin\left(\frac{1}{x}\right)$ [/mm] ist differenzierbar an [mm] $x_0=0$, [/mm] aber die Ableitung dieser Funktion ist unstetig an dieser Stelle (es existiert noch nicht mal eine einseitige Ableitung).
Daher:
Bei Deiner Funktion hast Du oben ein wenig Glück, dass die Funktion "schön genug" ist und Du dort aus gewissen Gründen wirklich mit (I),(II) arbeiten kannst, aber eigentlich solltest Du anstatt mit (I) mit [mm] $(\*)(i)$ [/mm] arbeiten und anstatt mit (II) mit [mm] $(\*) [/mm] (ii)$. Denn wenn Du mit (I),(II) arbeitest, müßtest Du dort genau begründen, warum Du damit genau den Wert für $a$ erhälst, so dass die Funktion an der Stelle $4$ differenzierbar fortgesetzt wird.
Eine weitere Anmerkung:
Es hätte hier gereicht, zu prüfen, für welchen Wert von $a$ die Funktion an der Stelle $4$ differenzierbar ist. Ist eine Funktion an einer Stelle [mm] $x_0$ [/mm] nämlich differenzierbar, so ist sie dort insbesondere stetig (und Du sollst das $a$ ja so angeben, dass die Funktion stetig [mm] $\mbox{\underline{und}}$ [/mm] diff'bar ist, also insbesondere musst Du sie an $4$ durch (ein) geeignete(s) $a$ diff'bar machen). Im Prinzip hättest Du bei der Aufgabe also nichts weiter tun müssen, als [mm] $(\*)(i)$ [/mm] und [mm] $(\*) [/mm] (ii)$ zu berechnen und gleichzusetzen, um das gesuchte $a$ zu erhalten (wobei ich anmerke, dass klar ist, dass die Funktion für alle Werte von $a$ sowohl auf [mm] $(4,\infty)$ [/mm] als auch auf [mm] $(-\infty,4)$ [/mm] offensichtlich diff'bar ist (und daher dort auch stetig)).
P.S.:
Am Ende kann man sich auch mal den Graphen der Funktion plotten lassen, da sieht man dann schon, ob das $a$ passt oder nicht:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Der Graph Deiner errechnete Funktion ist also für $x [mm] \le [/mm] 4$ die grüne Kurve und für $x > 4$ die rote Kurve, und an der Stelle $x=4$ sieht mir der Graph der Funktion schön glatt aus, man sieht keinen Knick. Also [mm] $a=\frac{4}{5}$ [/mm] scheint zu passen 
Gruß,
Marcel
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:00 Fr 11.04.2008 | | Autor: | itse |
Hallo Zusammen,
> Hallo itse,
>
> eine kleine Anmerkung:
>
> > nun noch die Differenzierbarkeit:
> >
> > also [mm]\lim_{h \to 0}k'(4-h)[/mm] = [mm]\lim_{h \to 0}k'(4+h)[/mm]
> >
> >
> > [mm]k'(x)=\left\{\begin{matrix} a\cdot{}(2x-3), & \mbox{für } x < 4 \\ -x²+8x-12, & \mbox{für } x > 4 \end{matrix}\right.[/mm]
>
> >
> >
>
> Das hier
>
> > [mm]\blue{\lim_{h \to 0}k'(4-h)}[/mm] = [mm]\lim_{h \to 0} a\cdot{}(2(4-h)-3) = 5a[/mm]
>
> nenne ich mal (I) und das hier
>
> > [mm]\blue{\lim_{h \to 0}k'(4+h)}[/mm] = [mm]\lim_{h \to 0}[/mm]-(4+h)²+8(4+h)-12
> = 4
>
> nenne ich mal (II).
>
> Deine Rechnung passt hier so schön. Aber strenggenommen
> hättest Du hier zu untersuchen:
>
> Für welche Werte von [mm]a[/mm] existieren die folgende Grenzwerte
>
> [mm](\*)[/mm] (i) [mm]\lim_{h > 0 \mbox{ mit } h\to 0}\frac{k(4-h)-k(4)}{-h}[/mm]
> und (ii) [mm]\lim_{h > 0 \mbox{ mit } h\to 0}\frac{k(4+h)-k(4)}{h}[/mm]
>
> mit Gleichheit?
>
> (Edit: Beachte, dass [mm]k(4)=0[/mm], da [mm]k(x)=a*(x^2-3x-4)[/mm] für
> [mm]\underline{x \le 4}[/mm] war!)
Ich habe bisher die Stetigkeit immer mit:
[mm] \lim_{h \to 0}f(x_0 [/mm] - h) = [mm] \lim_{h \to 0}f(x_0 [/mm] + h) = [mm] f(x_0) [/mm] gezeigt/überprüft
Man überprüft also, ein kleines Stück links, ein kleines Stück rechts und dann die kritische Stelle [mm] x_0, [/mm] ob die drei Werte übereinstimmen, und wenn ja, dann ist die Funktion stetig, hat keinen Sprung. Es kam dreimal Null heraus, somit keine Einschränkung und die Funktion ist für alle [mm] a\in\IR\sub [/mm] stetig, oder muss ich die sagen, die Funktion ist an der Stelle [mm] x_0 [/mm] für alle [mm] a\in\IR\sub [/mm] stetig?
und die Differenzierbarkeit mit:
[mm] \lim_{h \to 0}f'(x_0 [/mm] - h) = [mm] \lim_{h \to 0}f'(x_0 [/mm] + h)
Somit ob die Ableitungen in dem Punkt übereinstimmen, also kein Knick an der Stelle [mm] x_0 [/mm] vorliegt. Hierbei gab es eine Einschränkung und zwar wenn a = [mm] \bruch{4}{5} [/mm] ist, dann ist die Funktion stetig und differenzierbar.
> [mm](\*)[/mm] (i) [mm]\lim_{h > 0 \mbox{ mit } h\to 0}\frac{k(4-h)-k(4)}{-h}[/mm]
> und (ii) [mm]\lim_{h > 0 \mbox{ mit } h\to 0}\frac{k(4+h)-k(4)}{h}[/mm]
Wieso soll ich dann diese verwenden um die Stetigkeit/Differenzierbarkeit zu überprüfen?
Gruß
itse
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:25 Fr 11.04.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo itse!
> Ich habe bisher die Stetigkeit immer mit:
>
> [mm]\lim_{h \to 0}f(x_0[/mm] - h) = [mm]\lim_{h \to 0}f(x_0[/mm] + h) = [mm]f(x_0)[/mm] gezeigt/überprüft
> Man überprüft also, ein kleines Stück links, ein kleines
> Stück rechts und dann die kritische Stelle [mm]x_0,[/mm] ob die drei
> Werte übereinstimmen, und wenn ja, dann ist die Funktion
> stetig, hat keinen Sprung. Es kam dreimal Null heraus,
> somit keine Einschränkung und die Funktion ist für alle
> [mm]a\in\IR\sub[/mm] stetig, oder muss ich die sagen, die Funktion
> ist an der Stelle [mm]x_0[/mm] für alle [mm]a\in\IR\sub[/mm] stetig?
Da das Ergebnis der beiden Grenzwerte sowie den Funktionswert selber jeweils übereinstimmen ohne Abhängigkeit von $a_$ , ist $f_$ als für alle $a \ [mm] \in \IR$ [/mm] stetig.
> und die Differenzierbarkeit mit:
>
> [mm]\lim_{h \to 0}f'(x_0[/mm] - h) = [mm]\lim_{h \to 0}f'(x_0[/mm] + h)
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Damit zeigst Du ja gleich auch noch die Stetigkeit der Ableitung. Daraus folgt dann natürlich auch die Differenzierbarkeit, da dieses Kriterium hier strenger ist.
Streng genommen wird die eigentliche Diff'barkeit mittels Existenz und Übereinstimmung des Differenzialquotienten von beiden Seiten gezeigt.
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:54 Fr 11.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo itse,
> > [mm](\*)[/mm] (i) [mm]\lim_{h > 0 \mbox{ mit } h\to 0}\frac{k(4-h)-k(4)}{-h}[/mm]
> > und (ii) [mm]\lim_{h > 0 \mbox{ mit } h\to 0}\frac{k(4+h)-k(4)}{h}[/mm]
>
> Wieso soll ich dann diese verwenden um die
> Stetigkeit/Differenzierbarkeit zu überprüfen?
weil man laut Aufgabenstellung eigentlich nur hier die Existenz des Diff'quotienten prüfen soll (bzw. genauer: Für welche $a$ existiert dieser und für welche nicht?).
Wie schon erwähnt: Bei Deiner Methode zeigst Du hier eigentlich mehr, nämlich, dass die Ableitung an der Stelle [mm] $x_0=4$ [/mm] existiert [mm] $\mbox{\underline{ und die Ableitungsfunktion dort auch stetig }}$ [/mm] ist.
Ich glaube nicht, dass ihr in der Schule an Aufgaben rangehen müsst, wo die Ableitungsfunktion "nicht so schön" ist, d.h. bei Euch wird's wohl (fast?) immer darauf hinauslaufen, dass ihr mit der Stetigkeit der Ableitungsfunktion an der Stelle argumentieren könnt. Aber ich habe Dir extra Beispiele angegeben, an denen Du sehen solltest, dass es zum einen Funktionen gibt, die nur an einer Stelle überhaupt differenzierbar sind und es gibt Funktionen, die zwar überall differenzierbar sind, aber (mindestens) eine Stelle haben, an der die Ableitungsfunktion unstetig ist. Damit könnte man nun auch eine "fiesere" Aufgabe stellen, wo Dein Kriterium nicht greifen würde. Daher sollte man eigentlich nicht mit "Deinem Kriterium" arbeiten (bzw. wenn man es tut, begründen, warum man damit arbeiten "durfte" bzw. konnte), sondern mittels der Existenz des Diff'quotienten, denn da macht man eigentlich nie etwas falsch.
Wenn Euer Lehrer Euch aber gelehrt hat, das so zu Handhaben, wie Du es hier tust, hätte er zum einen "auf die Problematik" hinweisen sollen, zum anderen ist zu erwarten, dass er keine "fiesen" Aufgaben stellt 
Gruß,
Marcel
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