stetige Fkt. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:55 Mo 11.07.2005 | | Autor: | Toellner |
Was ist ein stetiger "Träger"? Kannst Du eine kurze Definition geben? Und wieso heißt das eine "dreidimensionale Scheibe"? Ich hätte dazu einfach "Kugel" gesagt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:35 Mo 11.07.2005 | | Autor: | Brinchen |
sei X top. Raum, f eine Abbildung von X in die reellen Zahlen.
Dann ist der Träger von f der Abschluss über der Menge aller x aus X, für die f(x) [mm] \not= [/mm] 0 (d.h. alle Berührpunkte vom Urbild von f im Bereich [mm] \IR [/mm] ohne die 0.
Kannst du da jetzt was mit anfangen?
Und was die dreidimensionale Scheibe angeht... ja, hast recht, die würde ich eigentlich auch mit Kugel bezeichnen 
Liebe Grüße, Brinchen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:14 Mo 11.07.2005 | | Autor: | Toellner |
Hallo,
nach Stefans und Brienchens Definition bzw. Frage würde ich die Funktion f auf der ganzen Kugel = 1 setzen und fertig. Dann ist das Urbild von 1 [mm] \not= [/mm] 0 die ganze Kugel, die nebenbei kompakt ist. Das kann doch wohl nicht der Sinn der Aufgabenstellung gewesen sein?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:21 Mo 11.07.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Naja, die Funktion soll ja wohl auf dem ganzen [mm] $\IR^3$ [/mm] stetig sein und kompakten Träger haben. Sie ist also schon konstant gleich $1$ auf der Kugel, aber man muss sie dann schon "stetig auslaufen" lassen außerhalb der Kugel. Ich sage ja nicht, dass das schwierig ist, aber man muss es halt man gesehen haben.
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:29 Di 12.07.2005 | | Autor: | Brinchen |
Hallo!
Find ich ja lieb, dass ihr hier so drüber diskutiert...
Allerdings weiß ich leider immer noch nicht, wie ich das nun lösen soll. Was bedeutet denn stetig fortsetzen???
Vielen Dank für eure Hilfe,
Brinchen
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>...
> Allerdings weiß ich leider immer noch nicht, wie ich das
> nun lösen soll. Was bedeutet denn stetig fortsetzen???
Hallo,
ersteres weiß ich leider auch nicht. Da fehlen mir Kenntnisse. Oder Fantasie.
stetig fortsetzen: damit ist gemeint, daß Du die auf der Kreisscheibe/Kugel durch f=1 definierte Funktion zu einer Funktion auf ganz [mm] \IR^3 [/mm] fortsetzen sollst, also auf [mm] \IR^3\Kreisscheibe [/mm] auch noch definieren. Und zwar nicht irgendwie, sondern so, daß sie auf ganz [mm] \IR^3 [/mm] stetig ist. Der Knackpunkt ist die Stetigkeit auf dem Rand der Kreisscheibe.
Die Kreisscheibe soll ja wohl der Träger sein. Also ist alles "außerhalb" =0, und man muß sich was Raffiniertes einfallen lassen, um das zu überbrücken. Es müßte etwas ganz, ganz Steiles sein. Nur was???
Gruß v. Angela
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Hallo Brinchen,
Am einfachsten geht die Sache wohl mittels Kugelkoordinaten über die Bühne. Ich hoffe, Du bist damit vertraut, sonst frag einfach nach.
In den Kugelkoordinaten sieht die Funktion vorerst so aus:
[mm] f(r,\phi,\psi) [/mm] = 1 für 0 [mm] \le [/mm] r [mm] \le [/mm] 1
"Weit" draußen soll sie 0 sein, etwa:
[mm] f(r,\phi,\psi) [/mm] = 0 für r [mm] \ge [/mm] 2
Wie kriegt man das nun zusammen? Am einfachsten so:
[mm] f(r,\phi,\psi) [/mm] = 2-r für 1 < r < 2. Zusammengesetzt sieht die mögliche stetige Fortsetzung also so aus:
[mm] f(r,\phi,\psi)=\begin{cases} 1 & \mbox{für } 0 \le r \le 1 \\ 2-r & \mbox{für } 1 < r < 2 \\ 0 & \mbox{für } 2 \le r \end{cases}
[/mm]
In den Kugelkoordinaten ist diese Funktion offensichtlich stetig, also auch in den üblichen Koordinaten. Wie sieht die Funktion aber in den üblichen Koordinaten aus?
Fast genau so, wie in den Kugelkoordinaten. Statt dessen heißt es nur f(x,y,z) = ... , und anstatt r heißt es jetzt [mm] \sqrt{x^2+y^2+z^2}, [/mm] also:
[mm] f(x,y,z)=\begin{cases} 1 & \mbox{für } 0 \le \sqrt{x^2+y^2+z^2} \le 1 \\ 2-\sqrt{x^2+y^2+z^2} & \mbox{für } 1 < \sqrt{x^2+y^2+z^2} < 2 \\ 0 & \mbox{für } 2 \le \sqrt{x^2+y^2+z^2} \end{cases}
[/mm]
Ich hoffe, jetzt ist alles klar.
Liebe Grüße,
Holy Diver
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> [mm]f(x,y,z)=\begin{cases} 1 & \mbox{für } 0 \le \sqrt{x^2+y^2+z^2} \le 1 \\ 2-\sqrt{x^2+y^2+z^2} & \mbox{für } 1 < \sqrt{x^2+y^2+z^2} < 2 \\ 0 & \mbox{für } 2 \le \sqrt{x^2+y^2+z^2} \end{cases}[/mm]
>
> Ich hoffe, jetzt ist alles klar.
Hallo,
mir nicht:
es war doch davon die Rede, daß die abgeschlossenen Kugel mit Radius 1 der Träger sein soll, was hier nicht der Fall ist.
Gruß v. Angela
Oh, ich hab' mir die Aufgabe falsch gemerkt, hab' ich gerade gesehen. Somit sind alle Unklarheiten beseitigt und diese Frage ist keine mehr. G.v. Angela
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Tja, der Countdown läuft...
