stetige Fortsetzung < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:20 Mo 09.09.2013 | | Autor: | Herbart |
Hallo,
ich versuche gerade folgenden Beweis der Eindeutigkeit stetiger Fortsetzungen zu verstehen:
Seien [mm] F_1 [/mm] und [mm] F_2 [/mm] zwei stetige Fortsetzungen, dann ist [mm] F_2 [/mm] - [mm] F_2 [/mm] stetig in [mm] x_0. [/mm] Es gibt eine Umgebung U von [mm] x_0 [/mm] relativ zu [mm] D\cup {x_0} [/mm] mit [mm] |F_2(x)-F_1(x)|\ge \frac{|F_2(x_0)-F_1(x_0)|}{2} \forall $x\in [/mm] U$.
Rechte Seite =0 ist die Ungleichung trivial. Sonst wähle [mm] \epsilon =\frac{|F_2(x_0)-F_1(x_0)|}{2} [/mm] in der Stetigkeitsdefinition. Da [mm] x_0 [/mm] Häufungspunkt von D ist, ex. [mm] x\not=x_0 [/mm] in U und es gilt [mm] F_2(x)=f(x)=F_1(x) [/mm] und deshalb [mm] F_1(x_0)=F_2(x_0), [/mm] also [mm] F_1=F_2.
[/mm]
Die Mitte des Beweises erschließt sich mir nicht ganz. Woher stammt die Ungleichung [mm] |F_2(x)-F_1(x)|\ge \frac{|F_2(x_0)-F_1(x_0)|}{2} $\forall x\in [/mm] U$? [mm] x_0 [/mm] HP von D, so ex. [mm] x\not=x_0 [/mm] in U und es gilt... Warum?
Warum wählen wir das [mm] \epsilon [/mm] so?
Vielleicht kann mir jmd. den Beweis noch mal für Langsamere erklären.
MfG Herbart
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:14 Mo 09.09.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> ich versuche gerade folgenden Beweis der Eindeutigkeit
> stetiger Fortsetzungen zu verstehen:
> Seien [mm]F_1[/mm] und [mm]F_2[/mm] zwei stetige Fortsetzungen, dann ist [mm]F_2[/mm]
> - [mm]F_2[/mm] stetig in [mm]x_0.[/mm] Es gibt eine Umgebung U von [mm]x_0[/mm]
> relativ zu [mm]D\cup {x_0}[/mm] mit [mm]|F_2(x)-F_1(x)|\ge \frac{|F_2(x_0)-F_1(x_0)|}{2} \forall[/mm]
> [mm]x\in U[/mm].
> Rechte Seite =0 ist die Ungleichung trivial.
> Sonst wähle [mm]\epsilon =\frac{|F_2(x_0)-F_1(x_0)|}{2}[/mm] in der
> Stetigkeitsdefinition. Da [mm]x_0[/mm] Häufungspunkt von D ist, ex.
> [mm]x\not=x_0[/mm] in U und es gilt [mm]F_2(x)=f(x)=F_1(x)[/mm] und deshalb
> [mm]F_1(x_0)=F_2(x_0),[/mm] also [mm]F_1=F_2.[/mm]
>
> Die Mitte des Beweises erschließt sich mir nicht ganz.
> Woher stammt die Ungleichung [mm]|F_2(x)-F_1(x)|\ge \frac{|F_2(x_0)-F_1(x_0)|}{2}[/mm]
> [mm]\forall x\in U[/mm]? [mm]x_0[/mm] HP von D, so ex. [mm]x\not=x_0[/mm] in U und es
> gilt... Warum?
> Warum wählen wir das [mm]\epsilon[/mm] so?
> Vielleicht kann mir jmd. den Beweis noch mal für
> Langsamere erklären.
Du bist ja ein Scherzkeks !
Ich kann mir die Zutaten ja schon zusammenreimen, wenn ich aber Hellseher wäre , würde ich im Zirkus und im Fernsehen auftreten !
Zum Rätselraten hab ich keinen Bock.
Kläre uns zunächst auf:
1. Ist D eine Teilmenge von [mm] \IR [/mm] ?
2. ist f:D [mm] \to \IR [/mm] eine stetige Funktion ?
3. Ist [mm] x_0 \notin [/mm] D, aber Häufungspunkt von D ?
4. Geht es um die stetige Fortsetzung von f auf D [mm] \cup \{x_0\} [/mm] ?
Fragen, Fragen , Fragen
Zur Ungl.
$ [mm] |F_2(x)-F_1(x)|\ge \frac{|F_2(x_0)-F_1(x_0)|}{2} [/mm] $
Nimm an., Du hast a,b [mm] \in \IR [/mm] mit
[mm] |a-b|<\varepsilon, [/mm] wobei [mm] \varepsilon=|a|/2 [/mm] ist.
Dann folgt aus |a|-|b| [mm] \le [/mm] |a-b| [mm] <\varepsilon [/mm] die Ungl.
$ |b| [mm] \ge |a|-\varepsilon=2*<\varepsilon-\varepsilon=\varepsilon=|a|/2$
[/mm]
FRED
>
> MfG Herbart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:09 Mo 09.09.2013 | | Autor: | Herbart |
Es tut mir Leid, wenn ich hier jemanden verärgert haben sollte. Die gewünschten Informationen im Folgenden.
> Kläre uns zunächst auf:
> 1. Ist D eine Teilmenge von [mm]\IR[/mm] ?
[mm] $D\subseteq \IC$
[/mm]
> 2. ist f:D [mm]\to \IR[/mm] eine stetige Funktion ?
[mm] $f:D\to\IC$ [/mm] ist im Satz nicht ausdrücklich als stetige Fkt. erwähnt.
> 3. Ist [mm]x_0 \notin[/mm] D, aber Häufungspunkt von D ?
[mm] x_0 [/mm] ist Häufungspunkt von D. Aber f bildet von [mm] D\setminus\{x_0\} [/mm] ab.
> 4. Geht es um die stetige Fortsetzung von f auf D [mm]\cup \{x_0\}[/mm]?
Ja.
>
> Fragen, Fragen , Fragen
>
> Zur Ungl.
>
> [mm]|F_2(x)-F_1(x)|\ge \frac{|F_2(x_0)-F_1(x_0)|}{2}[/mm]
>
> Nimm an., Du hast a,b [mm]\in \IR[/mm] mit
>
> [mm]|a-b|<\varepsilon,[/mm] wobei [mm]\varepsilon=|a|/2[/mm] ist.
>
> Dann folgt aus |a|-|b| [mm]\le[/mm] |a-b| [mm]<\varepsilon[/mm] die Ungl.
>
> [mm]|b| \ge |a|-\varepsilon=2*<\varepsilon-\varepsilon=\varepsilon=|a|/2[/mm]
Danke. Hier der zugrundeliegende Satz:
Ist [mm] x_0 [/mm] ein HP von [mm] D\subseteq \IC, [/mm] dann hat jede Fkt. [mm] $f:D\setminus\{x_0\}\to\IC$ [/mm] höchstens eine stetige Fortsetzung [mm] $F:D\cup\{x_0\}\to\IC$.
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:13 Di 10.09.2013 | | Autor: | Herbart |
> Zur Ungl.
>
> [mm]|F_2(x)-F_1(x)|\ge \frac{|F_2(x_0)-F_1(x_0)|}{2}[/mm]
>
> Nimm an., Du hast a,b [mm]\in \IR[/mm] mit
>
> [mm]|a-b|<\varepsilon,[/mm] wobei [mm]\varepsilon=|a|/2[/mm] ist.
>
> Dann folgt aus |a|-|b| [mm]\le[/mm] |a-b| [mm]<\varepsilon[/mm] die Ungl.
>
> [mm]|b| \ge |a|-\varepsilon=2*<\varepsilon-\varepsilon=\varepsilon=|a|/2[/mm]
Das hat meine Frage übrigens geklärt! Der Beweis ist verstanden. Danke!
MfG Herbart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:21 Di 10.09.2013 | | Autor: | fred97 |
> > Zur Ungl.
> >
> > [mm]|F_2(x)-F_1(x)|\ge \frac{|F_2(x_0)-F_1(x_0)|}{2}[/mm]
> >
> > Nimm an., Du hast a,b [mm]\in \IR[/mm] mit
> >
> > [mm]|a-b|<\varepsilon,[/mm] wobei [mm]\varepsilon=|a|/2[/mm] ist.
> >
> > Dann folgt aus |a|-|b| [mm]\le[/mm] |a-b| [mm]<\varepsilon[/mm] die Ungl.
> >
> > [mm]|b| \ge |a|-\varepsilon=2*<\varepsilon-\varepsilon=\varepsilon=|a|/2[/mm]
>
> Das hat meine Frage übrigens geklärt! Der Beweis ist
> verstanden. Danke!
Wo hast Du denn diesen komischen Beweis her ? Es geht doch ganz simpel so:
Ist $ [mm] f:D\setminus\{x_0\}\to\IC [/mm] $ stetig, so ist $ [mm] F:D\cup\{x_0\}\to\IC [/mm] $ eine stetige Fortsetzung von f [mm] \gdw
[/mm]
F=f auf [mm] D\setminus\{x_0\} [/mm] und [mm] F(x_0)=\limes_{x \rightarrow x_0}f(x).
[/mm]
damit ist doch klar, dass es höchstens eine stetige Fotsetzung von f geben kann.
FRED
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> MfG Herbart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:11 Di 10.09.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> ich versuche gerade folgenden Beweis der Eindeutigkeit
> stetiger Fortsetzungen zu verstehen:
> Seien [mm]F_1[/mm] und [mm]F_2[/mm] zwei stetige Fortsetzungen, dann ist [mm]F_2[/mm] - [mm]F_2[/mm] stetig in [mm]x_0.[/mm]
nur mal nebenbei: [mm] $F_\red{2}-F_\red{2}=0$ [/mm] wird immer und überall stetig sein. 
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:29 Di 10.09.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> ich versuche gerade folgenden Beweis der Eindeutigkeit
> stetiger Fortsetzungen zu verstehen:
> Seien [mm]F_1[/mm] und [mm]F_2[/mm] zwei stetige Fortsetzungen,
also [mm] $F_1(x_0) \not=F_2(x_0)\,,$ [/mm] aber für $x [mm] \not=x_0$ [/mm] gilt [mm] $f(x)=F_j(x)$ [/mm] für $j=1,2.$
> dann ist [mm]F_2[/mm] - [mm]F_\red{1}[/mm]
Ich habe den Index korrigiert.
> stetig in [mm]x_0.[/mm]
Insbesondere stetig in [mm] $x_0\; \text{ ---}$ [/mm] denn [mm] $F_2-F_1$ [/mm] ist dann stetig!
> Es gibt
folglich
> eine Umgebung U von [mm]x_0[/mm]
> relativ zu [mm]D\cup \red{\{}x_0\red{\}}[/mm]
Jetzt sieht man auch die Mengenklammern!
> mit [mm]|F_2(x)-F_1(x)|\ge \frac{|F_2(x_0)-F_1(x_0)|}{2} \forall[/mm] [mm]x\in U[/mm].
Der Grund ist folgender: Wegen [mm] $F_1(x_0) \not=F_2(x_0)$ [/mm] gilt für [mm] $\epsilon:=|F_2(\red{x_0})-F_1(\red{x_0})|/2$ [/mm] dann [mm] $\epsilon \red{\,>\,}0$!
[/mm]
Zu diesem [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ gibt es daher eine Umgebung [mm] $U\,$ [/mm] von [mm] $x_0$ [/mm] mit
[mm] $|\{F_2(x)-F_1(x)\}-\{F_2(\red{x_0})-F_1(\red{x_0})\}| \;\le\; \epsilon=|F_2(\red{x_0})-F_1(\red{x_0})|/2$ [/mm] für alle $x [mm] \in U\,.$
[/mm]
(Falls es unklar ist: Definiere Dir die Hilfsfunktion [mm] $H(x):\equiv F_2(x)-F_1(x)$! [/mm] Und, wie gesagt:
[mm] $H\,$ [/mm] ist insbesondere stetig in [mm] $x_0$!)
[/mm]
Jetzt gilt aber auch
$|b|-|a| [mm] \le |a-b|\,.$ [/mm] (Warum?)
(Ebenso $|a|-|b| [mm] \le |a-b|\,,$ [/mm] bzw. beides zusammen: [mm] $|\;\,|a|\,-\,|b|\;\,| \,\le\,|a-b|\,.$)
[/mm]
Verwende das, und es folgt das Besagte!
Gruß,
Marcel
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