stetige Funktionen < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:41 So 05.12.2004 | | Autor: | Nadja |
Hi
Aufgabe:
Es seien f,g : R--> R stetige Funktionen, so dass für alle Zahlen q [mm] \in \IQ [/mm] gilt: f(q) = g(q). Dann gilt für alle x [mm] \in [/mm] R, dass f(x)=g(x).
Zeigen Sie, dass höchstens eine stetige Funktion f: R--> R existiert, so dass f(a+b) = f(a)f(b) und f(1)=2 ist.
Wie zeige ich das?
Danke
Nadja
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:55 So 05.12.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Nadja!
> Es seien f,g : R--> R stetige Funktionen, so dass für alle
> Zahlen q [mm]\in \IQ[/mm] gilt: f(q) = g(q). Dann gilt für alle x
> [mm]\in[/mm] R, dass f(x)=g(x).
Hier musst du ausnutzen, dass es zu jeder reellen Zahl $x$ eine Folge [mm] $(x_n)_{n \in \IN}$ [/mm] rationaler Zahlen gibt mit [mm] $\lim\limits_{n \to \infty} x_n=x$. [/mm] Wegen der Stetigkeit von $f$ gilt dann
[mm] $\lim\limits_{n \to \infty} f(x_n) [/mm] = f(x)$.
Wie kann man so nun die Behauptung zeigen? Teile uns mal bitte deine Ideen mit.
> Zeigen Sie, dass höchstens eine stetige Funktion f: R--> R
> existiert, so dass f(a+b) = f(a)f(b) und f(1)=2 ist.
>
> Wie zeige ich das?
Zunächst zeigst du aus $f(0+1) = f(0)f(1)$, dass $f(0)=1$ gelten muss.
Damit kannst du dann nachweisen, dass $f(x) [mm] \ne [/mm] 0$ für alle $x [mm] \in \IR$ [/mm] und $f(-x) [mm] =\frac{1}{f(x)}$ [/mm] für alle $x [mm] \in \IR$ [/mm] gilt.
Dann zeigst du mit vollständiger Induktion nach $n$
[mm] $f(n)=2^n$.
[/mm]
Anschließend kannst du dann wiederum mit vollständiger Induktion nach $n$
[mm] $f\left( \frac{1}{n} \right) [/mm] = [mm] 2^{\frac{1}{n}}$
[/mm]
gilt. Dann zeigst du mit vollständiger Induktion nach $n$
[mm] $f\left( \frac{n}{m} \right) [/mm] = [mm] 2^{\frac{n}{m}}$
[/mm]
für alle $n,m [mm] \in \IN$.
[/mm]
So zeigst du also stückweise, dass $f$ auf [mm] $\IQ$ [/mm] eindeutig bestimmt ist. Die Behauptung folgt dann aus der ersten Teilaufgabe.
Melde dich mal mit dem Versuch die Lücken zu füllen... Wir kontrollieren das dann.
Viele Grüße
Stefan
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