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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:34 Mi 05.10.2005 | | Autor: | Reaper |
Hallo...wir haben an der Uni eine Funktion betrachtet wo wir gezeigt haben dass die komponentenweise Betrachtung der Funktion im Urbildbereich nicht geht, wenn man die Funktion auf Stetigkeit überprüfen will. Im Bildbereich geht sie sehr wohl.
Bsp.:
f: [mm] \IR^{2} \to \IR
[/mm]
(x,y) [mm] \mapsto \bruch{xy}{x² + y²} [/mm] falls (x,y) [mm] \not= [/mm] 0, wenn (x,y) = (0,0) dann 0.
Jetzt haben wir einmal die falsche getrennte Sichtweise der Komponenten im Urbildbereich gemacht.
für x-Achse: f(x,0) = 0
für y-Achse: f(0,y) = 0
Die Prüfungsbedingung lautet:
Def.: f: A-> B heißt
a.) stetig in x [mm] \in [/mm] A : [mm] \gdw
[/mm]
[mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists \delta [/mm] > 0 [mm] \forall [/mm] y [mm] \in [/mm] A: ||x-y|| < [mm] \delta
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] ||f(x) - f(y)|| < [mm] \varepsilon
[/mm]
Jetzt haben wir aufgeschrieben dass man meinen könnte dass die Fkt. stetig sein könnte da sie konstant ist. Was heißt dass?
Und wenn ich in die Bedingung einsetze fehlt mir das [mm] \delta [/mm] sowie [mm] \varepsilon. [/mm] Ich weiß [mm] \delta [/mm] liegt im Urbildbereich also in der "Gegend" von x. [mm] \varepsilon [/mm] hingegen liegt im Bildbereich.
Gezeigt dass sie nicht stetig ist haben wir hiermit:
f(x,x) = 1/2 != 0....nicht stetig
Warum muss unbedingt 0 herauskommen. Mir fehlt bei der Rechnung ein bißchen der Bezug zur Bedingung...
mfg,
Hannes
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:58 Mi 05.10.2005 | | Autor: | choosy |
> Hallo...wir haben an der Uni eine Funktion betrachtet wo
> wir gezeigt haben dass die komponentenweise Betrachtung der
> Funktion im Urbildbereich nicht geht, wenn man die Funktion
> auf Stetigkeit überprüfen will. Im Bildbereich geht sie
> sehr wohl.
Die Funktion geht von [mm] $R^2$ [/mm] nach $R$, was ist dann die komponentenweise betrachtung im bildbereich??
>
> Bsp.:
>
> f: [mm]\IR^{2} \to \IR[/mm]
>
> (x,y) [mm]\mapsto \bruch{xy}{x² + y²}[/mm] falls (x,y) [mm]\not=[/mm] 0,
> wenn (x,y) = (0,0) dann 0.
>
> Jetzt haben wir einmal die falsche getrennte Sichtweise der
> Komponenten im Urbildbereich gemacht.
>
> für x-Achse: f(x,0) = 0
> für y-Achse: f(0,y) = 0
>
> Die Prüfungsbedingung lautet:
> Def.: f: A-> B heißt
>
> a.) stetig in x [mm]\in[/mm] A : [mm]\gdw[/mm]
> [mm]\forall \varepsilon[/mm] > 0 [mm]\exists \delta[/mm] > 0 [mm]\forall[/mm] y
> [mm]\in[/mm] A: ||x-y|| < [mm]\delta[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] ||f(x) - f(y)|| < [mm]\varepsilon[/mm]
>
> Jetzt haben wir aufgeschrieben dass man meinen könnte dass
> die Fkt. stetig sein könnte da sie konstant ist. Was heißt
> dass?
> Und wenn ich in die Bedingung einsetze fehlt mir das
> [mm]\delta[/mm] sowie [mm]\varepsilon.[/mm]
naja es muss halt für jedes epsilon ein delta geben...
>Ich weiß [mm]\delta[/mm] liegt im
> Urbildbereich also in der "Gegend" von x. [mm]\varepsilon[/mm]
hmmm delta ist immer eine reelle zahl, aber dein x ist aus [mm] $R^2$,
[/mm]
> hingegen liegt im Bildbereich.
nein, nicht notwendig auch epsilon ist IMMER eine reelle zahl, in diesem fall ist das allerdings der bildraum
> Gezeigt dass sie nicht stetig ist haben wir hiermit:
>
> f(x,x) = 1/2 != 0....nicht stetig
>
> Warum muss unbedingt 0 herauskommen. Mir fehlt bei der
> Rechnung ein bißchen der Bezug zur Bedingung...
die voraussetzung war f(0,0)=0
und ihr habr raus [mm] $f(x,x)=\frac{1}{2}, x\neq [/mm] 0$
> mfg,
> Hannes
>
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>
>
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:43 Mi 05.10.2005 | | Autor: | Reaper |
Danke...aber das bringt mich irgendwie nicht weiter...
mfg,
Hannes
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:08 Mi 05.10.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Reaper!
Folgendes:
Die Stetigkeit in $(0,0)$ bedeutet:
Egal, was ich immer ich für eine Folge [mm] $((x_n,y_n))_{n \in \IN}$ [/mm] nehme, die gegen $(0,0)$ konvergiert, es muss immer gelten:
[mm] $\lim\limits_{n \to \infty} f(x_n,y_n) [/mm] = f(0,0) = 0$.
Jetzt könnte man ja meinen, es genügt Folgen der Art
[mm] $((x_n,0))_{n \in \IN}$ [/mm] mit [mm] $\lim\limits_{n \to \infty} x_n=0$
[/mm]
und
[mm] $((0,y_n))_{n \in \IN}$ [/mm] mit [mm] $\lim\limits_{n \to \infty} y_n=0$
[/mm]
zu nehmen.
Aber Pustekuchen!
Dass das nicht so ist, zeigt diese Aufgabe!
Zwar gilt:
[mm] $\lim\limits_{n \to \infty} f(x_n,0) [/mm] = 0$
und
[mm] $\lim\limits_{n \to \infty} f(0,y_n) [/mm] = 0$,
aber trotzdem ist $f$ in $(0,0)$ nicht stetig!!
Denn wir können ja mal die Folge
[mm] $((x_n,y_n))_{n \in \IN}= \left( \left( \frac{1}{n}, \frac{1}{n} \right) \right)_{n \in \IN}$
[/mm]
betrachten.
Dann stellt man leicht fest, dass
[mm] $\lim\limits_{n \in \IN} f(x_n,y_n) [/mm] = [mm] \frac{1}{2} \ne [/mm] 0 = f(0,0)$
gilt.
Es genügt also nicht solche Folgen zu betrachten, die nur in einer Komponente gegen den Punkt $(0,0)$ laufen (und in der anderen konstant $0$ sind).
Mit anderen Worten: Es genügt nicht sich an den Koordinatenachsen dem Punkte$(0,0)$ zu nähern. Ja, man kann sogar sagen: Es genügt nicht sich an beliebigen Geraden der $0$ anzunähern. Man muss wirklich alle Folgen aus [mm] $\IR^2$ [/mm] betrachten, die sich dem Punkt $(0,0)$ annähern!
Eine sehr lehrreiche Aufgabe für Studienanfänger! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:04 Do 06.10.2005 | | Autor: | Reaper |
Hallo...
Wir haben ja generell gesagt eine Funktion ist stetig wenn ich jeden Punkt im Urbildbereich einen Punkt im Bildbereich zuordnen kann. Für was sind eigentlich [mm] \delta [/mm] und [mm] \varepsilon [/mm] gut?
Dann haben wir noch gesagt dass ich wenn ich einen Punkt im Bildbereich ausgewählt habe alle Punkte der [mm] \delta [/mm] Umgebung auch in der [mm] \varepsilon [/mm] Umgebung liegen müssen wobei der Punkt im Urbildbereich in [mm] \delta [/mm] liegt und der abgebildete Punkt in [mm] \varepsilon. [/mm] Wenn ich einen Graph zeichnen könnte, würde es wahrscheinlich mit der Erklärung besser klappen.
In dem Beispiel haben wir praktisch einen Punkt gefunden der vom [mm] \delta [/mm] Bereich nicht in den [mm] \varepsilon [/mm] Bereich abbildet oder?
Dabei muss man aber als [mm] \varepsilon [/mm] Bereich nicht zwingend 0 wählen oder? Bei uns bietet es sich wegen der komponentenweisen Betrachtung an.
>Die Stetigkeit in (0,0) bedeutet:
>Egal, was ich immer ich für eine Folge $ [mm] ((x_n,y_n))_{n \in \IN} [/mm] $ nehme, >die gegen (0,0) konvergiert, es muss immer gelten:
>$ [mm] \lim\limits_{n \to \infty} f(x_n,y_n) [/mm] = f(0,0) = 0 $.
Was ich hier nicht kapiere ist der limes. Warum lasse ich n gegen undendlich gehen. Was hat das für einen Zweck? Ich will ja nur abbilden...dazu brauche ich ja keinen Limes.
Ich versuch mir das Ganze halt graphisch vorzustellen...was anscheinend schwer geht.
mfg,
Hannes
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:20 Do 06.10.2005 | | Autor: | choosy |
> Wir haben ja generell gesagt eine Funktion ist stetig wenn
> ich jeden Punkt im Urbildbereich einen Punkt im Bildbereich
> zuordnen kann.
na so ist doch jede funktion stetig, der klu ist, das ich zu jedem x aus dem Urbildbereich eine umgebung finde (mit "radius" [mm] $\delta$
[/mm]
so das das bild dieser Umgebung (d.h. die menge aller f(x) mit x aus dieser umgebung) wieder ein einer umgebung (jetzt mit radius epsilon) um f(x) drinne liegt.
dabei ist wiederrum der witz das es nun zu JEDEM [mm] $\epsilon$ [/mm] eine [mm] $\delta$ [/mm] gibt, also insbesondere zu seeeeeeehr kleinen epsilons.
bildlich kann man sich das so vorstellen, das man eine funktion zeichnet, und um diese funktion einen "Schlauch" zeichnet (das ist die psilonumgebung) wähle ich mir dann ein x, kann ich ausprobieren wie gross delta sein darf (wie stark ich an dem x wackeln kann, bis der funktionswert aus der epsilon umgebung rutsch.
daraus ergibt sich dann, das funktionen in sprungstellen z.b. nicht stetig sind...
> In dem Beispiel haben wir praktisch einen Punkt gefunden
> der vom [mm]\delta[/mm] Bereich nicht in den [mm]\varepsilon[/mm] Bereich
> abbildet oder?
nicht ganz wir haben gezeigt, das es zu einem epsilon kein delta gibt, so das alle punkte aus der delta umgebung in die epsilon umgebung abgebildet werden
> Dabei muss man aber als [mm]\varepsilon[/mm] Bereich nicht zwingend
> 0 wählen oder?
das darf man auch garnicht, eps ist in dem bsp z.b.0.1, eben alles kleiner als 0.5
>Bei uns bietet es sich wegen der
> komponentenweisen Betrachtung an.
>
> >Die Stetigkeit in (0,0) bedeutet:
>
> >Egal, was ich immer ich für eine Folge [mm]((x_n,y_n))_{n \in \IN}[/mm]
> nehme, >die gegen (0,0) konvergiert, es muss immer gelten:
>
> >[mm] \lim\limits_{n \to \infty} f(x_n,y_n) = f(0,0) = 0 [/mm].
>
> Was ich hier nicht kapiere ist der limes. Warum lasse ich n
> gegen undendlich gehen. Was hat das für einen Zweck? Ich
> will ja nur abbilden...dazu brauche ich ja keinen Limes.
> Ich versuch mir das Ganze halt graphisch
> vorzustellen...was anscheinend schwer geht.
>
na weil die folge gegen null konergiert, und wir die stetigkeit in 0 testen wollen. stetigkeit ist eben eine eigenschaft, die nur auf seeeehr kleinen teilen des def. bereiches erfüllt sein kann. damit das die folgen gegen null gehen stellen wir lediglich sicher, das wir irgendwann in jeder deltaumgebung von 0 landen. damit das wir alle folgen betrachten stellen wir sicher, das wir eben jeden punkt von jeder deltaumgebung von 0 treffen... aber die stetigkeit über folgen ist noch ein kapitel für sich, versuch dich erstmal an der standard definition mit epsilon und delta.
> mfg,
> Hannes
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