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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:56 Mi 17.06.2009 | | Autor: | gigi |
| Aufgabe | Gegeben sind die stetigen ZG X~U(0,1) und Y~exp(1)
1. Bestimme die Verteilungsfunktionen und die Dichte der ZG:
a)2X
b)Y²
c)4Y-1
[mm] d)sin(\pi [/mm] X) |
Hallo,
also für die stetige gleichmäßige Verteilung U habe ich mir eine Skizze gemacht: Im Intervall 0 bis 1 steigt die Funktion gleichmäßig an, die Verteilungsfkt. wäre dann ja also y=x, außerhalb des Intervalls y=0, bzw y=1. Und für die Dichte erhalte ich nach Formel f(x)=1 für das Intervall (0,1), ansonsten 0. Aber nun weiß ich nicht, wie das mit 2X und sin [mm] (\pi [/mm] X) gemeint ist--soll ich das einfach anstelle von x einsetzten??
Und exp(1) müsste ja so aussehen: F(x)= [mm] 1-e^{-x} [/mm] wenn x>0, sonst 0
und [mm] f(x)=e^{-x} [/mm] wenn x>0, sonst 0
stimmt das? Auch hier verstehe ich aber wieder nicht, was ich dann mit den ZG machen muss!
Auch kann ich mir leider unter der Dichte und deren Zusammenhang mit der Verteilungsfkt. wenig vorstellen.
Ich wäre sehr dankbar für jede Hilfe!
Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:42 Mi 17.06.2009 | | Autor: | Sigma |
Hallo,
kennst du die Definiton der Verteilungsfunktion.
[mm] F_X(x)=P(X\le [/mm] x)
Nun ist bei a) folgendes gesucht.
[mm] F_{2X}(x)=P(2X\le x)=P(X\le \bruch{x}{2})=F_{X}( \bruch{x}{2})
[/mm]
[mm] F_{U(0,1)}(x)=\begin{cases} 0, & x<0 \\ x, & 0 < x<1\\ 1, & x\ge 1 \end{cases}
[/mm]
Jetzt x=x/2 einsetzen
[mm] F_{U(0,1)}(\bruch{x}{2})=\begin{cases} 0, & \bruch{x}{2}<0 \\ \bruch{x}{2}, & 0 < \bruch{x}{2}<1\\ 1, & \bruch{x}{2}\ge 1 \end{cases}
[/mm]
Jetzt noch vereinfachen:
[mm] F_{U(0,1)}(\bruch{x}{2})=\begin{cases} 0, & x<0 \\ \bruch{x}{2}, & 0 < x<2\\ 2, & x\ge 2 \end{cases}
[/mm]
Wie man sieht ist.
[mm] F_{U(0,1)}(\bruch{x}{2})=F_{U(0,2)}(x)
[/mm]
Also wenn [mm] X\sim [/mm] U(0,1), dann [mm] 2X\sim [/mm] U(0,2).
Eigentlich trivial bzw. logisch.
gruß sigma10
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:46 Do 18.06.2009 | | Autor: | gigi |
Hallo und vielen Dank!
Für die Dichte erhalte ich bei a) dann also
[mm] f(x)=\begin{cases} 1/2, & \mbox{für } 0
bei b) habe ich dann
[mm] F(\wurzel{y})=\begin{cases} 0, & \mbox{für } y\le 0 \\ 1-e^{-\wurzel{y}}, & \mbox{für y>0} \end{cases}
[/mm]
.....
bei d) habe ich jedoch Probleme: Wie forme ich [mm] P(sin(\pi x)\le [/mm] x) um???
Und kann mir jemand erklären, was ich mir unter der Dichte vorzustellen habe? Danke und Tschüss
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:36 Do 18.06.2009 | | Autor: | vivo |
> Und kann mir jemand erklären, was ich mir unter der Dichte
> vorzustellen habe? Danke und Tschüss
Hallo,
die Dichte ist eine Funktion deren Integral über ganz [mm] \Omega [/mm] den Wert 1 ergibt. Nimmt man das Lebesgue-Maß und eine reele Funktion f(x) so bekommt man basierend auf dem Satz von Radon-Nikodym ein Wahrscheinlichkeitsmaß folgender gestalt:
[mm]P(a \le X \le b)=\int_{a}^{b} f(x) dx[/mm]
gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:58 Do 18.06.2009 | | Autor: | luis52 |
Moin gigi,
nimm den Ansatz von Sigma als Muster:
1) Ueberlege dir, welche Werte $z_$ die ZG [mm] $\sin(\pi [/mm] X)$ annehmen kann (eine Zeichnung kann nichts schaden).
2) Gib dir ein $z_$ vor, und bestimme die Verteilungsfunktion [mm] $G(z)=P(\sin(\pi X)\le [/mm] z)$. Orientiere dich an der Zeichnung.
3) Bestimme die Dichte $g=G'$.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:08 Do 18.06.2009 | | Autor: | gigi |
Also, wenn ich mir überlege, dass 0<x<1, dann bedeutet das, dass [mm] sin(\pi* [/mm] 0)=0...die Kurve steigt dann und erreicht ihr Maximum bei [mm] sin(\pi* [/mm] 0,5)=1...danach fällt sie symmetrisch, sodass [mm] sin(\pi* [/mm] 1)=0. Aber so kann doch keine Verteilungsfunktion aussehen, oder doch? Und wie soll ich das dann aufschreiben? Für x<0 ist F=0, für x>1 ebenso F=0, und für x=0,5 ist F=1...???
Und stimmt denn das, was ich oben für die anderen Teilaufgaben geschrieben habe?
Besten Dank für eure Hilfe!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:07 Fr 19.06.2009 | | Autor: | luis52 |
Wenn $X_$ Werte in (0,1) annimmt, dann nimmt [mm] $Y=\sin(\pi [/mm] X)$ Werte an in (0,1). Das scheint klar zu sein. Jetzt waehle in deiner Skizze ein $y_$ mit $0<y<1$ auf der Ordinate. Um [mm] $P(Y\le [/mm] y)$ zu bestimmen, musst du die Menge [mm] $A_y=\{x\mid x\in (0,1), \pi x\le y\}$ [/mm] auf der Abszisse aufsuchen. Bestimme nun [mm] $P(X\in A_y)=P(Y\le [/mm] y)$.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:09 Fr 19.06.2009 | | Autor: | gigi |
Ähm, ich weiß nicht, ob ich dich richtig verstehe: Also wenn ich mir z.B. [mm] y\le [/mm] 0,5877 wähle, dann folgt [mm] 0\le x\le [/mm] 0,2 und [mm] 0,8\le x\le [/mm] 1. Was sind denn da die Wahrscheinlichkeiten/Verteilungsfunktionen?
Gruß und Dank
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:20 Fr 19.06.2009 | | Autor: | Sigma |
> Und stimmt denn das, was ich oben für die anderen
> Teilaufgaben geschrieben habe?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Ich denke Ja.
OK, wieder mein Ansatz.
$ [mm] F_{Sin(\pi X)}(x)=P(Sin(\pi X)\le x)=P(X\le \bruch{Arcsin(x)}{\pi})=F_{X}( \bruch{Arcsin(x)}{\pi}) [/mm] $
Wieder einsetzen:
$ [mm] F_{U(0,1)}(\bruch{Arcsin(x)}{\pi})=\begin{cases} 0, & \bruch{Arcsin(x)}{\pi}<0 \\ \bruch{Arcsin(x)}{\pi}, & 0 < \bruch{Arcsin(x)}{\pi}<1\\ 1, & \bruch{Arcsin(x)}{\pi}\ge 1 \end{cases} [/mm] $
Vereinfachen:
$ [mm] F_{U(0,1)}(\bruch{Arcsin(x)}{\pi})=\begin{cases} 0, & x<0 \\ \bruch{Arcsin(x)}{\pi}, & 0 < x<0\\ 1, & x\ge 0 \end{cases} [/mm] $
Mmmhhh, Schein irgendwie keinen Sinn zu ergeben. Liegt wahrscheinlich daran das Sin(Pi X) nicht monoton steigend ist. Aber ich sehe, das Sin(pi X) symmetrisch ist. Dann liegt es doch nahe die Verteilung bis x=0.5 zu bestimmen und diese dann zu verdoppeln.
$ [mm] F_{U(0,1)}(\bruch{Arcsin(x)}{\pi})=\begin{cases} 0, & x<0 \\ 2*\bruch{Arcsin(x)}{\pi}, & 0 \le x<1\\ 1, & x\ge 1 \end{cases} [/mm] $
ich gebe zu meine Ausführungen sind bestimmt nicht perfekt. Habe einfach die Idee von Luis aufgegriffen. Wenn jemand den exakten Lösungsweg weiß. Immer her damit.
gruß sigma
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:15 Sa 20.06.2009 | | Autor: | luis52 |
Moin Sigma,
ich feile noch etwas an deiner prinzipiell korrekten Loesung: Die Verteilungsfunktion von [mm] $Y=\sin(\pi [/mm] X)$ lautet:
$ [mm] F_Y(y)=\begin{cases} 0, & y<0 \\ \dfrac{2\arcsin(y)}{\pi}, & 0 \le y<1\\ 1, & y\ge 1 \end{cases} [/mm] $
vg Luis
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