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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:49 Di 23.03.2010 | | Autor: | physicus |
| Aufgabe | Seien (X,dx) und (Y,dy) jeweils metrische Räume. Sei weiters A eine Teilmenge von X und f:A [mm] \to [/mm] Y. Annahme:
1) f ist gleichmässig stetig
2) Y ist vollständig
Dann gibt es eine stetige Erweiterung (von f) F vom Abschluss von A nach Y |
Hallo zusammen
ich habe eine Frage zum Beweis vom obigen Satz. Ich habe den Beweis aus Amann/Escher Analysis 2.
Im beweis nimmt man sich zwei konvergente Folgen [mm] (x_n)_{n \in \IN} [/mm] und [mm] (x'_n)_{n \in \IN}
[/mm]
in A. Man wählt sie so, dass sie beide gegen den gleichen Punkt x im Abschluss von A konvergieren. Mittels gleichmässiger Stetigkeit und der Vollständigkeit von Y zeigt man dann, dass [mm] (f(x_n)) [/mm] und (f(x'_n)) Cauchyfolgen in Y sind, die gegen das gleiche Element z [mm] \in [/mm] Y konvergieren.
Meine Frage ist, wieso brauch ich die gleichmässig Stetigkeit und Vollständigkeit. Es gibt ja den Satz, der besagt:
Seien X,Y topologische Räume und f: X [mm] \to [/mm] Y stetig, dann gilt für jede konvergente Folge [mm] (x_n)_{n \in \IN} [/mm] mit Grenzwert x [mm] \in [/mm] X, dass [mm] f((x_n)_{n \in \IN}) [/mm] gegen f(x) konvergiert.
Aus gleichmässiger Stetigkeit folgt Stetigkeit. Zudem kann ich ja in einem metrischen Raum eine Topologie durch die Metrik definieren. Dann könnte ich den obigen Satz anwenden und wüsste, dass beide gegen das gleiche z [mm] \in [/mm] Y konvergieren. Also ist die Abbildung F wohldefiniert.
Nun frag ich euch, wo ist mein Denkfehler? Herzlichen Dank für eure Erklärungen!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:47 Di 23.03.2010 | | Autor: | pelzig |
> Seien (X,dx) und (Y,dy) jeweils metrische Räume. Sei
> weiters A eine Teilmenge von X und f:A [mm]\to[/mm] Y. Annahme:
> 1) f ist gleichmässig stetig
> 2) Y ist vollständig
> Dann gibt es eine stetige Erweiterung (von f) F vom
> Abschluss von A nach Y
> Hallo zusammen
>
> ich habe eine Frage zum Beweis vom obigen Satz. Ich habe
> den Beweis aus Amann/Escher Analysis 2.
Gutes Buch...
> Im beweis nimmt man sich zwei konvergente Folgen [mm](x_n)_{n \in \IN}[/mm]
> und [mm](x'_n)_{n \in \IN}[/mm]
> in A. Man wählt sie so, dass sie
> beide gegen den gleichen Punkt x im Abschluss von A
> konvergieren. Mittels gleichmässiger Stetigkeit und der
> Vollständigkeit von Y zeigt man dann, dass [mm](f(x_n))[/mm] und
> (f(x'_n)) Cauchyfolgen in Y sind, die gegen das gleiche
> Element z [mm]\in[/mm] Y konvergieren.
Genau, man will ja $F$ definieren durch [mm] $F(x)=\lim_{n\to\infty}f(x_n)$ [/mm] wobei [mm] $(x_n)_{n\in\IN}\subset [/mm] A$ und [mm] $x_n\to [/mm] x$. Damit man das aber definieren kann, muss man sichergehen dass dieser Grenzwert unabhäbgig von der Wahl der Folgen ist, das ist ja überhaupt nicht so klar. Zum Beispiel die Funktion [mm] $g:\IR\setminus\{0\}\ni x\mapsto\operatorname{sgn}(x)\in\IR$ [/mm] ist auf ihrem ganzen Definitionsbereich wunderbar stetig, aber [mm] $\lim_{n\to\infty}g(1/n)=1\ne-1=\lim_{n\to\infty}g(-1/n)$, [/mm] d.h. obige Konstruktion würde nicht klappen. Was hat die Funktion $g$ aus diesem Beispiel aber für ein Problem?
> Meine Frage ist, wieso brauch ich die gleichmässig
> Stetigkeit und Vollständigkeit. Es gibt ja den Satz, der
> besagt:
>
> Seien X,Y topologische Räume und f: X [mm]\to[/mm] Y stetig, dann
> gilt für jede konvergente Folge [mm](x_n)_{n \in \IN}[/mm] mit
> Grenzwert x [mm]\in[/mm] X, dass [mm]f((x_n)_{n \in \IN})[/mm] gegen f(x)
> konvergiert.
Ja aber du kannst diesen Satz hier noch gar nicht benutzen. Dazu müsstest du bereits wissen, dass $F$ auf ganz X wohldefiniert und stetig ist.
> Aus gleichmässiger Stetigkeit folgt Stetigkeit. Zudem kann
> ich ja in einem metrischen Raum eine Topologie durch die
> Metrik definieren. Dann könnte ich den obigen Satz
> anwenden und wüsste, dass beide gegen das gleiche z [mm]\in[/mm] Y
> konvergieren. Also ist die Abbildung F wohldefiniert.
> Nun frag ich euch, wo ist mein Denkfehler? Herzlichen Dank
> für eure Erklärungen!
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:58 Di 23.03.2010 | | Autor: | physicus |
Ich würde den Satz ja auf f anwenden und nicht F. Von f weiss ich ja, dass diese Funktion stetig ist. Ich möchte ja eigentlich nur zeigen, dass [mm] (f(x_n)) [/mm] = (f(x'_n)) für n [mm] \to \infty. [/mm] Wenn ich das gezeigt habe, kann ich dann F durch den limes von [mm] f(x_n) [/mm] definieren.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:03 Di 23.03.2010 | | Autor: | pelzig |
> Ich würde den Satz ja auf f anwenden und nicht F. Von f
> weiss ich ja, dass diese Funktion stetig ist.
Aber die Folge [mm] $(x_n)_{n\in\IN}$ [/mm] ist nicht konvergent in A!!
Gruß, Robert
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:25 Di 23.03.2010 | | Autor: | gfm |
> Seien (X,dx) und (Y,dy) jeweils metrische Räume. Sei
> weiters A eine Teilmenge von X und f:A [mm]\to[/mm] Y. Annahme:
> 1) f ist gleichmässig stetig
> 2) Y ist vollständig
> Dann gibt es eine stetige Erweiterung (von f) F vom
> Abschluss von A nach Y
> Hallo zusammen
>
> ich habe eine Frage zum Beweis vom obigen Satz. Ich habe
> den Beweis aus Amann/Escher Analysis 2.
> Im beweis nimmt man sich zwei konvergente Folgen [mm](x_n)_{n \in \IN}[/mm]
> und [mm](x'_n)_{n \in \IN}[/mm]
> in A. Man wählt sie so, dass sie
> beide gegen den gleichen Punkt x im Abschluss von A
> konvergieren. Mittels gleichmässiger Stetigkeit und der
> Vollständigkeit von Y zeigt man dann, dass [mm](f(x_n))[/mm] und
> (f(x'_n)) Cauchyfolgen in Y sind, die gegen das gleiche
> Element z [mm]\in[/mm] Y konvergieren.
>
> Meine Frage ist, wieso brauch ich die gleichmässig
> Stetigkeit und Vollständigkeit. Es gibt ja den Satz, der
> besagt:
>
> Seien X,Y topologische Räume und f: X [mm]\to[/mm] Y stetig, dann
> gilt für jede konvergente Folge [mm](x_n)_{n \in \IN}[/mm] mit
> Grenzwert x [mm]\in[/mm] X, dass [mm]f((x_n)_{n \in \IN})[/mm] gegen f(x)
> konvergiert.
>
> Aus gleichmässiger Stetigkeit folgt Stetigkeit. Zudem kann
> ich ja in einem metrischen Raum eine Topologie durch die
> Metrik definieren. Dann könnte ich den obigen Satz
> anwenden und wüsste, dass beide gegen das gleiche z [mm]\in[/mm] Y
> konvergieren. Also ist die Abbildung F wohldefiniert.
>
> Nun frag ich euch, wo ist mein Denkfehler? Herzlichen Dank
> für eure Erklärungen!
Also A ist eine beliebige Teilmenge von X. Beim Übergang zu [mm] \overline{A} [/mm] kommen i.A. neue Elemente von X hinzu. Nämlich die nicht in A gelegenen Grenzwerte der konvergenten Folgen mit Elementen aus A. f ist nur auf A definiert und soll jetzt auch auf diesen neuen Elementen definiert werden und zwar so, dass die Stetigkeit erhalten bleibt. Wenn [mm] x_i [/mm] eine konvergente Folge mit einem Grenzwert [mm] x\not\in [/mm] A ist, möchte man [mm] F(x)=\limes f(x_i) [/mm] haben. Das funktioniert, weil [mm] f(x_i) [/mm] wegen der Gleichmäßigkeit eine Cauchy-Folge ist und [mm] \limes f(x_i) [/mm] existiert, da Y vollständig ist.
Und wenn man nun eine Folge [mm] x_i\in\overline{A} [/mm] mit dem Grenzwert x hat, ist
[mm] F(x_i)=\limes_k f(z^{(i)}_k) [/mm] und
[mm] \limes_i F(x_i)= \limes_i\limes_k [/mm] f( [mm] z^{(i)}_k). [/mm]
Die letzte Folge [mm] z^{(i)}_k [/mm] hat nur Elemente aus A aber für [mm] i,k\to\infty [/mm] immer noch den Grenzwert x. Also ist darf man schreiben
=F(x)
weil so ja F definiert ist. So würde ich das sehen.
LG
gfm
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:41 Mi 24.03.2010 | | Autor: | pelzig |
> Und wenn man nun eine Folge [mm]x_i\in\overline{A}[/mm] mit dem
> Grenzwert x hat, ist
>
> [mm]F(x_i)=\limes_k f(z^{(i)}_k)[/mm] und
>
> [mm]\limes_i F(x_i)= \limes_i\limes_k[/mm] f( [mm]z^{(i)}_k).[/mm]
>
> Die letzte Folge [mm]z^{(i)}_k[/mm] hat nur Elemente aus A aber für
> [mm]i,k\to\infty[/mm] immer noch den Grenzwert x. Also ist darf man
> schreiben =F(x) weil so ja F definiert ist. So würde ich das sehen.
Naja so kann man das aber nicht beweisen. Wenn du schreibst [mm] $\lim_i\lim_k f(z^{(i)}_k)$, [/mm] dann meinst du eben "zuerst der Grenzübergang [mm] $k\to\infty$ [/mm] und dann den Grenzübergang [mm] $i\to\infty$, [/mm] das kann man nicht einfach durcheinanderhauen zu [mm] $\lim_nf(z^{(n)}_n)$ [/mm] woran du vielleicht gedacht hast. So findest du das jedenfalls in keinem Analysis-Buch. Man muss sich hier schon die Hände schmutzig machen mit [mm] $\varepsilon-\delta$-Stetigkeit [/mm] und Dreiecksungleichung usw. Nur so nebenbei $F$ ist nicht nur stetig, sondern sogar gleichmäßig stetig.
Gruß, Robert
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 10:03 Mi 24.03.2010 | | Autor: | gfm |
> > Und wenn man nun eine Folge [mm]x_i\in\overline{A}[/mm] mit dem
> > Grenzwert x hat, ist
> >
> > [mm]F(x_i)=\limes_k f(z^{(i)}_k)[/mm] und
> >
> > [mm]\limes_i F(x_i)= \limes_i\limes_k[/mm] f( [mm]z^{(i)}_k).[/mm]
> >
> > Die letzte Folge [mm]z^{(i)}_k[/mm] hat nur Elemente aus A aber für
> > [mm]i,k\to\infty[/mm] immer noch den Grenzwert x. Also ist darf man
> > schreiben =F(x) weil so ja F definiert ist. So würde ich
> das sehen.
> Naja so kann man das aber nicht beweisen. Wenn du
> schreibst [mm]\lim_i\lim_k f(z^{(i)}_k)[/mm], dann meinst du eben
> "zuerst der Grenzübergang [mm]k\to\infty[/mm] und dann den
> Grenzübergang [mm]i\to\infty[/mm], das kann man nicht einfach
> durcheinanderhauen zu [mm]\lim_nf(z^{(n)}_n)[/mm] woran du
> vielleicht gedacht hast. So findest du das jedenfalls in
> keinem Analysis-Buch. Man muss sich hier schon die Hände
> schmutzig machen mit [mm]\varepsilon-\delta[/mm]-Stetigkeit und
> Dreiecksungleichung usw. Nur so nebenbei [mm]F[/mm] ist nicht nur
> stetig, sondern sogar gleichmäßig stetig.
Vielen Dank für den Hinweis. Ich habe schon damit gerechnet. :)
Ich gebe zu, dass es ich mir zu leicht an dieser Stelle mache. Was ich im Hinterkopf dabei hatte, war, das man hier eine Doppelfolge [mm] a_{ik} [/mm] hat, aus der man geeignete Indexpaare [mm] i_l,k_l [/mm] gewinnen könnte, so daß die Folge [mm] b_l:=a_{i_l,k_l} [/mm] in A bleibt aber gegen das [mm] x\in\overline{A} [/mm] konvergiert.
Das ist doch so, oder?
LG
gfm
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:20 Fr 26.03.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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