stetigkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:58 Mo 08.05.2006 | | Autor: | AriR |
| Aufgabe | beweisen oder widerlegen sie:
[mm] f:\IR^3\to\IR^2
[/mm]
[mm] f(x,y,z):=\vektor{exp(x)*y+z \\\bruch{sin y}{|xz|+1}}
[/mm]
ist auf ganz [mm] \IR^3 [/mm] stetig |
(frage zuvor nicht gestellt)
Hey Leute, ich habe leider keine ahnung wie ich hier an die aufgabe rangehen muss.
Früher in der analysis 1 hin f meist nur von einer veränderlichen ab, da konnte man f meist als summe/produkt/komposition stetiger funktionen darstellen und somit war f wieder stetig oder man hatte eine bedingte funktion die zB im 0-pkt expiliziet geben war und man musste halt nur f(0) links- und rechtsseitigen grenzwert überprüfen und konnte dann eine aussage machen nur wie geht das bei solchen aufgaben?
hat da jemand vielleicht ein par tips?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:36 Mo 08.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> beweisen oder widerlegen sie:
> [mm]f:\IR^3\to\IR^2[/mm]
>
> [mm]f(x,y,z):=\vektor{exp(x)*y+z \\\bruch{sin y}{|xz|+1}}[/mm]
>
> ist auf ganz [mm]\IR^3[/mm] stetig
> (frage zuvor nicht gestellt)
>
> Hey Leute, ich habe leider keine ahnung wie ich hier an die
> aufgabe rangehen muss.
>
> Früher in der analysis 1 hin f meist nur von einer
> veränderlichen ab, da konnte man f meist als
> summe/produkt/komposition stetiger funktionen darstellen
> und somit war f wieder stetig oder man hatte eine bedingte
> funktion die zB im 0-pkt expiliziet geben war und man
> musste halt nur f(0) links- und rechtsseitigen grenzwert
> überprüfen und konnte dann eine aussage machen nur wie geht
> das bei solchen aufgaben?
Hier geht das genauso: Du kannst $f$ als Komposition/Summe/Produkt von stetigen Funktionen schreiben.
Hinzu kommt noch, dass wenn $f : X [mm] \to [/mm] Y$ und $g : X [mm] \to [/mm] Z$ stetig sind, so auch $(f, g) : X [mm] \to [/mm] Y [mm] \times [/mm] Z$ stetig ist. Damit reicht es aus, die beiden Komponentenfunktionen von deinem $f$ zu betrachten.
Und dann brauchst du noch, das die Projektionen [mm] $\pi_i [/mm] : [mm] \IR^3 \to \IR$, $(x_1, x_2, x_3) \mapsto x_i$ [/mm] stetig sind, $i = 1, 2, 3$.
Damit ist z.B. [mm] $\varphi [/mm] : [mm] \IR^3 \to \IR$, [/mm] $(x, y, z) [mm] \mapsto [/mm] x y + [mm] \sin [/mm] z$ stetig: Das ist naemlich [mm] $f_1 \cdot f_2 [/mm] + [mm] f_3$ [/mm] mit [mm] $f_1 [/mm] = [mm] \pi_1$, $f_2 [/mm] = [mm] \pi_2$ [/mm] und [mm] $f_3 [/mm] = [mm] \sin \circ \pi_3$. [/mm] Und ebenso [mm] $\psi [/mm] : [mm] \IR^3 \to \IR^2$, [/mm] $(x, y, z) [mm] \mapsto [/mm] (x y + [mm] \sin [/mm] z, x)$, da [mm] $\psi [/mm] = [mm] (\varphi, \pi_1)$ [/mm] ist.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:27 Mo 08.05.2006 | | Autor: | AriR |
hi und vielen dank felix
ich versuche gerade die aufgabe jetzt mit einem etwas klareren ziel zu lösen. was mich jetzt etwas zu schaffen macht ist der betrag im nenner der 2. komponente die ja nicht stetig ist. muss ich dann 1mal zeigen, dass der bruch stetig ist für x*z pos und x*z negativ und dann noch gucken ob der grenzwert bei übergang von + nach - existiert oder geht das irgendwie einfacher, weil das auf diese weise eine ziemlich ineinander verhaarte sache ist.
Gruß Ari ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:02 Mo 08.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Ari!
> ich versuche gerade die aufgabe jetzt mit einem etwas
> klareren ziel zu lösen. was mich jetzt etwas zu schaffen
> macht ist der betrag im nenner der 2. komponente die ja
> nicht stetig ist.
Warum sollte die zweite Komponente nicht stetig sein? Oder warum sollte der Betrag nicht stetig sein? Kann es sein, das du differenzierbar und stetig verwechselst?
> muss ich dann 1mal zeigen, dass der bruch
> stetig ist für x*z pos und x*z negativ und dann noch gucken
> ob der grenzwert bei übergang von + nach - existiert oder
> geht das irgendwie einfacher, weil das auf diese weise eine
> ziemlich ineinander verhaarte sache ist.
Schau dir die Funktion $f : [mm] \IR \to \IR$, [/mm] $x [mm] \mapsto [/mm] |x|$ an. Diese ist stetig. Und daraus folgt dann auch, dass $g : [mm] \IR^2 \to \IR$, [/mm] $(x, z) [mm] \mapsto [/mm] |x z|$ stetig ist (Verkettung stetiger Funktionen).
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:54 Mo 08.05.2006 | | Autor: | AriR |
lol sorry stimmt.. ich habe das mit differenzierbar verwechselt in diesem fall...
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