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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:26 Sa 30.05.2009 | | Autor: | Sven1987 |
| Aufgabe | Gegeben seien die Funktionen f, g : [mm] \IR2 [/mm] → [mm] \IR,
[/mm]
(x, y) → f(x, y) := [mm] x^{2} y^{2}/x^{2}+y^{2} [/mm] falls (x,y) [mm] \not= [/mm] (0,0)
0 fuer (x,y)=(0,0),
und
[mm] (x,y)\mapsto [/mm] g(x,y):= [mm] x^{2} y/x^{4} +y^{2} [/mm] falls [mm] (x,y)\not= [/mm] (0,0)
0 fuer (x,y)=(0,0)
Zeigen sie
Die Funktion ist stetig |
Koenntet Ihr mir bitte helfen einen Ansatz fuer diese Aufgabe zu finden!
Danke schoen
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Sven,
> Gegeben seien die Funktionen f, g : [mm]\IR2[/mm] → [mm]\IR,[/mm]
> (x, y) → f(x, y) := [mm]x^{2} y^{2}/x^{2}+y^{2}[/mm] falls
> (x,y) [mm]\not=[/mm] (0,0)
> 0 fuer
> (x,y)=(0,0),
>
> und
> [mm](x,y)\mapsto[/mm] g(x,y):= [mm]x^{2} y/x^{4} +y^{2}[/mm] falls [mm](x,y)\not=[/mm]
> (0,0)
> 0
> fuer (x,y)=(0,0)
>
> Zeigen sie
>
> Die Funktion ist stetig
> Koenntet Ihr mir bitte helfen einen Ansatz fuer diese
> Aufgabe zu finden!
Für die erste Aufgabe geht es sehr schnell und einsichtig, wenn du zu Polarkoordinaten übergehst:
[mm] $x:=r\cdot{}\cos(\varphi), [/mm] \ \ [mm] y:=r\cdot{}\sin(\varphi)$, [/mm] wobei $r$ die Länge des Vektors $(x,y)$ ist und [mm] $\varphi$ [/mm] der Winkel, den $(x,y)$ mit der x-Achse einschließt
Setze das ein und betrachte [mm] $\lim\limits_{r\downarrow 0}f(r,\varphi)$
[/mm]
Wenn dieser Limes unabgängig vom Winkel [mm] $\varphi$ [/mm] existiert und $=0=f(0,0)$ ist, so ist die Funktion in $(x,y)=(0,0)$ stetig
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> Danke schoen
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
>
LG
schachuzipus
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo nochmal,
ich denke, für g kannst du auch mit Polarkoordinaten arbeiten und eine Abschätzung machen:
Betrachte mit $x=r\cos(\varphi)$ und $y=r\sin(\varphi)$ mal
$\left|\frac{x^2y}{x^4+y^2\right|=\frac{r^2\cos^2(\varphi)|r\sin(\varphi)|}{r^4\cos^4(\varphi)+r^2\sin^2(\varphi)}=\frac{r^3\cdot{}\cos^2(\varphi)\cdot{}|\sin(\varphi)|}{r^2\cdot{}\left(r^2\cdot{}\cos^4(\varphi)+\sin^2(\varphi)\right)}$
$=\frac{r\cdot{}\cos^2(\varphi)\cdot{}|\sin(\varphi)|}{\underbrace{r^2\cdot{}\cos^4(\varphi)}_{\ge 0}+\sin^2(\varphi)}\le\frac{r\cdot{}\cos^2(\varphi)\cdot{}|\sin(\varphi)|}{\sin^2(\varphi)}$
Nun bedenke, dass $\sin$ und $\cos$ beschränkt sind, was passiert also für $r\downarrow 0$ ?
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:12 Sa 30.05.2009 | | Autor: | Sven1987 |
ok...hat mir sehr geholfen, danke.
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