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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 20:17 Di 14.06.2005 | | Autor: | nas181 |
hi!!!ich habe klausr geschrieben und stand [mm] drin:Im(x^2+y^2).z^7=1,aber Im(x^2+y^2)=o,dann [/mm] was soll die menge sein???
ich bae noch fage zu stetigkeit???
die rellwertige funktion f sei aud dem abgeschlossenen intervall[a,b] mit - [mm] \infty [/mm] <a <b <+ [mm] \infty [/mm] defineirt.zeigen sie dasss die menge f([a,b])={f(x),x [mm] \in [/mm] [a,b]} dann ein abgeschlossenes intervall[c,d] mit - [mm] \infty [/mm] <c [mm] \le [/mm] d <+ [mm] \infty [/mm] ist. welche eigenschaft besitzt f im falle c=d?
vielen dank im voraus
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:59 Di 14.06.2005 | | Autor: | nas181 |
ich habe schwerigkeiten mit stetigkeit,vielleicht kann jemand mir helfen???
die rellwertige funktion f sei auf dem abgeschlossenes intervall[a,b] mit - [mm] \infty [/mm] < a < b < + [mm] \infty [/mm] definiert.zeigen sie ,dass die menge f([a,b])={f(x),x [mm] \in [/mm] [a,b]}dann ein abgeschlossenes intervall [c,d] mit - [mm] \infty [/mm] < c [mm] \le [/mm] d < + [mm] \infty [/mm] ist.welche eigenschaft besitzt f im falle c=d???
vielen dank im voraus!!!
ich hoffe auch mit paar erklärungen damit ich nicht immer wieder frage!!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:13 Di 14.06.2005 | | Autor: | subito |
Hallo,
Du sollst zeigen, dass unter der Voraussetzung f stetig das Bild eines abgeschlossenen Intervalls [a;b] (bei dem weder die obere noch die untere Grenze [mm] \infty [/mm] ist) entweder
a) wieder ein abgeschlossenes Intervall [c;d] bei dem weder die obere noch die untere Grenze [mm] \infty [/mm] ist)
oder
b) nur einelementig ist (wenn c=d, besteht [c;d] nur aus einer einzigen Zahl, nämlich c)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:18 Di 14.06.2005 | | Autor: | nas181 |
ja es ist mir klar dass das ich zeigen soll aber mein problem ist grösser als das,ich weiss nicht genau wie ich an der frage nahe kommen kann
überigens vielen dank für dir antwort
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:58 Di 14.06.2005 | | Autor: | Becci |
Hallo,
also nochmal zu deiner Frage, etwas detaillierter vielleicht:
1. Frage "was soll die Menge sein" kann ich nicht beantworten, weil ich in dem Klausurtext keine Menge gefunden habe? Da steht nur Im(...), das heißt Bild von (...). Kann ich sonst nix zu sagen 
2. Frage (f reellwertige Funktion usw.)
Anschauliche Lösung:
Also, dass das Bild von [a;b] nur eine Zahl sein kann, ergibt sich daraus dass ich z.B. die Funktion f(x)=1 haben könnte (also eine KONSTANTE Funktion, die Eigenschaft war ja auch gefragt). Da wird dann logischerweise jedes Intervall auf die 1 abgebildet und somit auf das Intervall [1,1].
Warum [a,b] ansonsten aber jedenfalls auf ein abgeschlossenes Intervall abgebildet wird:
f ist stetig, d.h. es macht keine "Sprünge", oder anschaulich: Ist mit einer Linie zeichenbar, ohne den Stift abzusetzen.
f bildet jede Zahl x aus [a,b] auf irgendeine andere Zahl y ab, also f(x)=y.
Jetzt können wir ja sagen: Alles aus [a,b] wird auf irgendwas abgebildet, also wenn wir wollen, dass das ganze Bild in einem Intervall liegt:
Nehmen wir doch mal das minimale und das maximale y:
c := minimum über f(x), so dass x aus [a,b]
d := maximum über f(x), so dass x aus [a,b]
Die Maxima und Minima existieren (und sind endlich), weil a,b endlich waren laut Aufgabe.
Jetzt haben wir schonmal ein abgeschlossenes Intervall [c,d], in dem das Bild von [a,b] immerhin drinnen liegt.
Wir sollen aber zeigen, dass [c,d] GLEICH dem Bild von [a,b] ist:
- Wir wissen dass das Bild drinliegt
- Wir müssen zeigen, dass auch alles in [c,d] zum Bild gehört.
d.h.: u aus [c,d] [mm] \Rightarrow[/mm] es gibt ein v aus [a,b] so dass u=f(v).
Jetzt kommt die Stetigkeit ins Spiel...
Und zwar nehmen wir (Widerspruchsbeweis) an, dass es ein u aus [c,d] gäbe, zu dem es KEIN v gibt mit u=f(v) und v aus [a,b].
Wir wissen: f hat irgendwo auf [a,b] den Wert c angenommen und irgendwo auch mal den Wert d. Aber f hat nie den Wert u!
Es gilt weiter: (da max/min): c < u < d
Wenn du mit der Stetigkeit Probleme hast, mal es dir mal auf. Du wirst feststellen, dass du keine Funktion f zeichnen kannst, die irgendwo c ist, irgendwo d ist, aber einen Wert dazwischen (u) nie erreicht - es sei denn, du setzt zwischendurch den Stift ab!
Also: u kann es nicht geben, sonst wäre f nicht stetig gewesen.
"Mathematisch" zeigt man das mit dem Zwischenwertsatz, den dürftest du überall im Inet finden (wiki?)... ist jedenfalls nen sehr wichtiger Satz und er sagt genau das.
Hoffe ich konnte helfen
Gruß
Becci
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