stetigkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:26 Fr 17.05.2013 | | Autor: | drossel |
Hallo,
ich komme bei einer Aufgabe nicht weiter:
[mm] f:S^1\to S^1 [/mm] f(a,b)=(-a,-b) ist gegeben.
1. Ich will die Stetigkeit von f zeigen:
(Urbilder offener Mengen sind offen)
Also [mm] U\subseteq S^1 [/mm] offen, [mm] U=S^1\cap [/mm] V mit V offene Menge in [mm] S^1. [/mm] Wieso ist [mm] f^{-1}(U)=S^1\cap f^{-1}(V) [/mm] (ich kann das so auseinander ziehen, da f bijetiv ist, da zu sich selbstinvers)offene Teilmenge von [mm] S^1, [/mm] mit anderen Worten, wie kann man argumentieren, dass [mm] f^{-1}(V) [/mm] offene Menge in [mm] S^1 [/mm] ist?
Ich denke wie folgt:
Sei [mm] x\in f^{-1}(V), [/mm] dh. x=(a,b) [mm] \in S^1 [/mm] und [mm] f(a,b)=(-a,-b)\in [/mm] V. Wie kann eine offene Umgebung von (-a,-b) gewählt werden, die noch ganz in [mm] S^1 [/mm] liegt?
2.Dann will ich zeigen, dass f keinen Fixpunkt hat:
dh es existiert kein (a,b) [mm] \in S^1, [/mm] s.d. f(a,b)=(-a,-b)=(a,b)
Wenn doch, dann wäre -a=a und -b=b . Anschaulich ist das klar, aber wie kann man das aufschreiben, dass das nicht sein kann?
Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:52 Sa 18.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
> ich komme bei einer Aufgabe nicht weiter:
> [mm]f:S^1\to S^1[/mm] f(a,b)=(-a,-b) ist gegeben.
> 1. Ich will die Stetigkeit von f zeigen:
> (Urbilder offener Mengen sind offen)
> Also [mm]U\subseteq S^1[/mm] offen, [mm]U=S^1\cap[/mm] V mit V offene Menge
> in [mm]S^1.[/mm] Wieso ist [mm]f^{-1}(U)=S^1\cap f^{-1}(V)[/mm] (ich kann das
> so auseinander ziehen, da f bijetiv ist, da zu sich
> selbstinvers)offene Teilmenge von [mm]S^1,[/mm] mit anderen Worten,
> wie kann man argumentieren, dass [mm]f^{-1}(V)[/mm] offene Menge in
> [mm]S^1[/mm] ist?
> Ich denke wie folgt:
> Sei [mm]x\in f^{-1}(V),[/mm] dh. x=(a,b) [mm]\in S^1[/mm] und
> [mm]f(a,b)=(-a,-b)\in[/mm] V. Wie kann eine offene Umgebung von
> (-a,-b) gewählt werden, die noch ganz in [mm]S^1[/mm] liegt?
Mit dem Folgenkriterium geht das doch ratzfatz !!!!!
Ich gehe davon aus , dass
[mm] S^1=\{(a,b) \in \IR^2: a^2+b^2=1 \} [/mm]
ist.
Sei also [mm] (a_0,b_0) \in S^1 [/mm] und [mm] ((a_n,b_n)) [/mm] eine Folge aus [mm] S^1 [/mm] mit: [mm] (a_n,b_n) \to (a_0,b_0).
[/mm]
Zeige: [mm] f(a_n,b_n) \to (a_0,b_0).
[/mm]
>
>
>
> 2.Dann will ich zeigen, dass f keinen Fixpunkt hat:
> dh es existiert kein (a,b) [mm]\in S^1,[/mm] s.d.
> f(a,b)=(-a,-b)=(a,b)
> Wenn doch, dann wäre -a=a und -b=b . Anschaulich ist das
> klar, aber wie kann man das aufschreiben, dass das nicht
> sein kann?
Aus -a=a und -b=b folgt doch a=b=0 kann dann (a,b) [mm] \in S^1 [/mm] sein ?
FRED
> Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:43 Sa 18.05.2013 | | Autor: | drossel |
Hi, danke!
Ups, das ist ja echt schnell erledigt mit dem Folgenkriterium.
Dann geht [mm] f(a_n,b_n)=(-a_n,-b_n)\to (-a_0,-b_0)=f(a_0,b_0) [/mm] für [mm] n\to \infty, [/mm] da [mm] (a_n,b_n)\to (a_0,b_0) [/mm] für [mm] n\to \infty.
[/mm]
Danke!
(das mit der offenen Umgebung hab ich auch noch hinbekommen, weiss nur nicht, ob das alles so richtig ist. War dann zur Übung gut).
Huch, da hätte ich auch drauf kommen sollen :P dass aus -a=a und -b=b a=b=0 folgt, danke! (0,0) liegt nicht in [mm] S^1, [/mm] da 0+0 [mm] \not=1 [/mm]
vielen dank!
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