stetigkeit im einem punkt < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:43 So 15.01.2006 | | Autor: | AriR |
(Frage wurde zuvor in keinem weiteren forum gestellt)
Hey Leute. könnt ihr mir bei der Aufgabe hier helfe
[mm] f(x)=\begin{cases} {x^2*sin( \bruch{1}{x}}, & \mbox{für } x=0 \\ {0}, & \mbox{für } x \not= 0 \end{cases} [/mm]
Wo ist f' stetig?
ich habe raus für f'(x): [mm] f'(x)=\begin{cases} {2x*sin( \bruch{1}{x}-cos( \bruch{1}{x}}, & \mbox{für } x=0 \\ {0}, & \mbox{für } x \not= 0 \end{cases} [/mm]
für x [mm] \not= [/mm] 0 ist sie stetig habe ich da raus und für die Stetigkeit im punkt 0 muss ja folgendes gelten:
Sei [mm] x_n \in \IR [/mm] mit lim [mm] x_n [/mm] = 0
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f(x_n) [/mm] = f(0) = 0
irgendwie habe ich jetzt nach einigen Schritten raus:
-1 [mm] \le 2x_n [/mm] * sin( [mm] \bruch{1}{x_n}-cos( \bruch{1}{x_n} \le [/mm] 1
ist das dann ein Widerspruch um f'(x) ISt stetig in 0 ???
gruß ari
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Hi, AriR,
> [mm]f(x)=\begin{cases} {x^2*sin( \bruch{1}{x}}, & \mbox{für } x=0 \\ {0}, & \mbox{für } x \not= 0 \end{cases}[/mm]
>
> Wo ist f' stetig?
Hast Du denn schon bewiesen, dass f(x) in x=0 stetig ist?
> ich habe raus für f'(x): [mm]f'(x)=\begin{cases} {2x*sin( \bruch{1}{x}-cos( \bruch{1}{x}}, & \mbox{für } x=0 \\ {0}, & \mbox{für } x \not= 0 \end{cases}[/mm]
Das kannst Du so nicht schreiben! Die Ableitung für x=0 gibt es zunächst mal nicht (ist also auch nicht =0).
> für x [mm]\not=[/mm] 0 ist sie stetig habe ich da raus und für die
> Stetigkeit im punkt 0 muss ja folgendes gelten:
> Sei [mm]x_n \in \IR[/mm] mit lim [mm]x_n[/mm] = 0
Was da rauskommt, und ob überhaupt eine Zahl rauskommt, das wird erst die Grenzwertrechnung zeigen müssen.
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(x_n)[/mm] = f(0) = 0
Arbeitest Du nun mit f(x) oder mit f'(x)?
> irgendwie habe ich jetzt nach einigen Schritten raus:
>
> -1 [mm]\le 2x_n[/mm] * sin( [mm]\bruch{1}{x_n}-cos( \bruch{1}{x_n} \le[/mm] 1
>
> ist das dann ein Widerspruch um f'(x) ISt stetig in 0 ???
Wenn Du's so sehen möchtest: Ja!
Die Ableitung ist nämlich NICHT stetig für x=0, sie ist dort überhaupt nicht definiert!
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:18 So 15.01.2006 | | Autor: | AriR |
warum ist sie denn nicht definiert?? irgendwie weiß ich dsa nicht so genau :(
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Hallo,
naja, wenn f nicht diffbar in x=0 ist, dann ist die Ableitung dort auch nicht definiert, es gibt sie gar nicht!
Hilft dir das?
Viele Grüße
Daniel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:27 So 15.01.2006 | | Autor: | SEcki |
> [mm]f(x)=\begin{cases} {x^2*sin( \bruch{1}{x}}, & \mbox{für } x=0 \\ {0}, & \mbox{für } x \not= 0 \end{cases}[/mm]
Sind hier vielleicht [m]=[/m] und [m]\neq[/m] vertauscht? So, wie es da steht, ist ja für [m]x=0[/m] die Definition ja gar nicht definiert. Zumal, wenn man es umdreht, ein typisches Gegenbeispiel hat, dass die Ableitung nicht immer stetig sein muss. Probier das dochmal umzudrehn.
SEcki
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