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| Aufgabe | | Sei [mm] f:[a,b]-\IR [/mm] stetig, man zeige, dass es ein [mm] \epsilon \in [/mm] [a,b] gibt mit [mm] \integral_{a}^{b}{f dx}= f(\epsilon) [/mm] * (b-a) |
Hey
leider weiß ich bei dieser Aufgabe nicht so ganz weiter. Ich habe versucht mir die Aufgabe zu verbildlichen. Leider hilft mir auch dies nicht so viel. Aus der Stetigkeit folgt ja, dass die Funktion riemann integrierbar ist, was so viel bedeutet, dass die Grenzwerte der Ober und Untersummen gleich sind (dies hilft mir aber hier ja nicht so wirklich weiter. Außerdem folgt aus der Stetigkeit, dass ein Epsilon existiert mit [mm] |f(x)-f(x_0)| [/mm] so...aber wie kann ich dies nun mit dem Integral verbinden?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Liebe Grüße 
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Hallo,
da muss dir ein Fehler beim Abtippen unterlaufen sein, und zwar ergibt das hier:
> ...dass es ein [mm]\epsilon \in[/mm] [a,b] gibt... mit [mm]\integral_{a}^{b}{f dx}= \epsilon[/mm] * (b-a)
für mich keinerlei Sinn. Sicher dass das nicht
[mm] \epsilon\in{f([a;b])}
[/mm]
oder irgendwie sinngemäß heißt? Für diesen Fall würde es einfach um die Existenz des Mittelwertes einer Funktion gehen.
Irgendwie scheint es bei deinen ganzen Fragen Missverständnisse zu geben, weil sich in die Aufgabenstellungen zu viele Fehler eingeschlichen haben.
Gruß, Diophant
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Hey
es tut mir leid. ich bin neu hier und habe noch einige Schwierigkeiten mit der Latexx Schreibweise. Ich habe die Aufgabenstellung korrigiert. Macht diese nun Sinn?
Ps:
Ich verstehe. Es geht hier um das Korollar des Mittelwertsatzes. Diesen habend wir allerdings noch nicht bewiesen. Daher muss ich diesen wahrscheinlich erst beweisen, richtig? oder gibt es einen einfacheren Weg nur dieses Korollar zu beweisen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:22 Sa 10.05.2014 | | Autor: | hippias |
Du koenntest es so versuchen: Schaetze zuerst das Integral mit Hilfe von [mm] $\inf [/mm] f$ und [mm] $\sup [/mm] f$ ab. Da $f$ stetig ist, kannst Du den Zwischenwertsatz dergestalt anwenden, dass $f$ jeden Wert zwischen seinem Minimum und Maximum annimmt. Dies liefert dir einen passendes [mm] $\epsilon$, [/mm] um den Integralwert zu erhalten.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:28 Sa 10.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]f:[a,b]-\IR[/mm] stetig, man zeige, dass es ein [mm]\epsilon \in[/mm]
> [a,b] gibt mit [mm]\integral_{a}^{b}{f dx}= f(\epsilon)[/mm] *
> (b-a)
>
> Hey
> leider weiß ich bei dieser Aufgabe nicht so ganz weiter.
> Ich habe versucht mir die Aufgabe zu verbildlichen. Leider
> hilft mir auch dies nicht so viel. Aus der Stetigkeit folgt
> ja, dass die Funktion riemann integrierbar ist, was so viel
> bedeutet, dass die Grenzwerte der Ober und Untersummen
> gleich sind (dies hilft mir aber hier ja nicht so wirklich
> weiter. Außerdem folgt aus der Stetigkeit, dass ein
> Epsilon existiert mit [mm]|f(x)-f(x_0)|[/mm] so...aber wie kann ich
> dies nun mit dem Integral verbinden?
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Liebe Grüße
Definiere [mm] F(x):=\integral_{a}^{x}{f(t) dt} [/mm] und wende auf F den Mittelwertsatz der Differentialrechnung an.
FRED
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