stetigkeit und differenzierbar < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:40 So 17.06.2007 | | Autor: | Kobe_89 |
kann mir jemand sagen, ob es eine allgemeine (einfach zu verstehende) regel gibt, mit der man bestimmen kann, ob ein graph stetig oder differenzierbar ist ?
müsste das ganze noch rechnerisch beweisen können.
wäre echt nett, wenn mir jemand helfen könnte.
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:09 So 17.06.2007 | | Autor: | Sierra |
Stetig heißt eine Funktion, wenn der Graph einer Funktion eine zusammenhängende Kurve ist. Man könnte sie also ohne Absetzen zeichnen. Das ist ja nur möglich, wenn die Funktion keine Polstellen oder Lücken hat... Also könntest du das einer Funktion ansehen, die z.B. aus einem Bruch besteht, wo man nenner auf Null bringen könnte. Diese wäre demnach nicht stetig.
Differenzierbarkeit an einer Stelle x0 heißt ja eine reelle Funktion, wenn ihre Ableitung an der Stelle x0 existiert. Wenn die Ableitung nun an jeder Stelle existiert, so bezeichnet man die Funktion als "überall differenzierbar".
Das widerrum kann ja nur der Fall sein, wenn die Funktion auch überall stetig ist. Also ist eine Funktion, die (überall) stetig ist, auch an jeder Stelle differenzierbar.
Hoffe Dir ein wenig geholfen zu haben...
Liebe Grüße,
Sierra
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:24 So 17.06.2007 | | Autor: | Kobe_89 |
ja der text hat mir ein wenig geholfen, obwohl die differenzierbarkeit etwas komplizierter ist.
wie sieht es aus mit einem rechnerischen weg ? könnte mir den noch jemand erläutern ?
gruß kobe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:53 So 17.06.2007 | | Autor: | tobbi |
Hallo Kobe,
für die Schule müssten eigentlich die Definitionen die Sierra dir gegeben hat ausreichend sein, ich werde aber versuchen dir auch eine rechnerische Möglichkeit möglichst verständlich zu erläutern.
Eine Funktion ist definiert als stetig, wenn ein Punkt x0 ein Häufungspunkt ist also gilt
[mm] \limes_{x\rightarrow\x0}f(x)=f(x0)
[/mm]
Differentierbar in x0 heißt eine Funktion falls die Zahl
[mm] a=\limes_{x\rightarrow\x0}\bruch{f(x)-f(x0)}{x-x0}
[/mm]
Hoffe das hilft dir weiter, schöne Grüße
Tobbi
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 18:48 So 17.06.2007 | | Autor: | SEcki |
> Also ist eine Funktion, die
> (überall) stetig ist, auch an jeder Stelle
> differenzierbar.
Ich hoffe mal, du meinst das andersrum - so wie es da steht ist es absolut falsch, es gibt Funktionen, die überall stetig, aber nirgends differenzierbar sind.
SEcki
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