stetigkeit von funktionen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:40 Do 12.01.2006 | | Autor: | trixi86 |
| Aufgabe | Zeigen sie. dass die funktion f : [mm] \IR \to \IR [/mm] mit
[mm] f(x)=\begin{cases} x, & \mbox{für } x \in \IQ \\ 0, & \mbox{für } x \not\in \IQ \end{cases}
[/mm]
nur in x = 0 stetig ist. |
leider habe ich keine anung wie ich diese aufgabe lösen soll, wäre dankbar wenn mir jemad helfen könnte, weil ich morgen die aufgabe schon abgeben muss, wäre ich auch für eine komplette lösung dankbar.
danke schonmal im voraus
gruß trixi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:00 Do 12.01.2006 | | Autor: | Stefan |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo!
Zunächst zur Stetigkeit in $0$:
Es sei $\varepsilon>0$ beliebig vorgegeben. Dann gilt für alle $x \in \IR$ mit $|x-0| = |x| < \delta:= \varepsilon$:
$|f(x) - f(0)| = |f(x)| = \left\{ \begin{array}{ccc} |x| < \varepsilon & , & x \in \IQ,\\[5pt] 0 < \varepsilon & , & x \in \IR \setminus \IQ, \end{array}$
also in jedem Fall
$|f(x) - f(0)| < \varepsilon$.
Jetzt zur Nicht-Stetigkeit in allen anderen Punkten.
Sei zunächst $x \in \IQ$, $x\ne 0$. Sei $(x_n)_{n \in \IN}$ eine Folge aus $\IR \setminus \IQ$ mit $\lim\limits_{n \to \infty} x_n = x$.
Dann gilt:
$\lim\limits_{n \to \infty} f(x_n) = \lim\limits_{n \to \infty} 0 = 0 \ne x = f(x)$,
d.h. $f$ ist in $x$ nicht (folgen-)stetig.
Sei nun $x \in \IR \setminus \IQ$. Sei $(x_n)_{n \in \IN}$ eine Folge aus $\IQ$ mit $\lim\limits_{n \to \infty} x_n = x$.
Dann gilt:
$\lim\limits_{n \to \infty} f(x_n) = \lim\limits_{n \to \infty} x_n = x \ne 0 = f(x)$,
d.h. $f$ ist in $x$ nicht (folgen-)stetig.
Für diese Komplettlösung könntest du mir eigentlich einen Glückwunsch im Matheraum-Café spenden... 
Liebe Grüße
Stefan
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