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Hallo Ihr Lieben,
ich brauche ganz dringend Hilfe!!!! dachte eigentlich, ich würde das thema "stochastische matrizen2 nochmal verstehen, doch dann kommen plötzlich wiede so böse Aufgaben.....
Die Überschrift der Aufgabe heisst schon mal "die vollständige Reihe", so, und in der Aufgabe geht es um 5000 Lose mit den Nummer 1-5 (gleichverteilt) in einem Topf. Die frage lautet jetzt genau, wie lange ich wohl warten muss, bis ich eine vollständige Reihe, also jede Losnummer einmal, gezogen habe.
So, habe mir dazu auch schon mal einen vektor und eine Matrize aufgestellt, doch was nun??
Bitte helft mir, ich bin total ahnungslos.... (und das shlimme ist, da stehe noch mehr von diesem Aufgabentyp auf meinem Zette l=( !!!!!)
Vielen Dank schon mal führ eure Mühen, Nina
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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P.s.: habe mich bei der Zeitangabe wohl verklickt.... habe dafür bis morgen früh nur zeit =((((
Nina
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Hallo!
Auch auf die Gefahr hin, dass es Dich vielleicht schon nicht mehr interessiert, möchte ich trotzdem eine Antwort formulieren.
> Die Überschrift der Aufgabe heisst schon mal "die
> vollständige Reihe", so, und in der Aufgabe geht es um 5000
> Lose mit den Nummer 1-5 (gleichverteilt) in einem Topf. Die
> frage lautet jetzt genau, wie lange ich wohl warten muss,
> bis ich eine vollständige Reihe, also jede Losnummer
> einmal, gezogen habe.
Der Trick besteht darin, die Zufallsvariablen [mm] X_k [/mm] zu betrachten, die die Anzahl von gezogenen Losen beschreibt, bis sich die Zahl der unterschiedlichen Nummern in der eigenen Sammlung um 1 auf k erhöht [mm] $(k=1,\ldots,5)$. [/mm] Beim ersten Zug erhöht sich diese Zahl auf jeden Fall von 0 auf 1, also [mm] $P(X_1=1)=1$, [/mm] weil man ja vorher 0 verschiedene Nummern hatte und mit dem ersten Los auf jeden Fall eine bestimmte Nummer zieht.
Wie ist es nun mit [mm] $X_2$? [/mm] Die Wahrscheinlichkeit, dass man im nächsten Zug keine neue Nummer hinzubekommt (sondern wieder die zieht, die man schon hat), ist 1/5. Nun zieht man so lange, bis man eine neue Nummer erhält. [mm] $X_2$ [/mm] ist also geometrisch verteilt mit $p=4/5$ (siehe z.B. hier). Genauso überlegt man sich, dass [mm] $X_3$ [/mm] geometrisch verteilt ist mit $p=3/5$, [mm] $X_4$ [/mm] geometrisch verteilt ist mit $p=2/5$ und [mm] $X_5$ [/mm] geometrisch verteilt ist mit $p=1/5$. Wenn man das durch einen Graphen darstellen möchte und sich als Zustände $0, 1, [mm] \ldots,5$ [/mm] für die Anzahl an verschiedenen Nummern definiert, erhält man
1 4/5 3/5 2/5 1/5
0 ---> 1 ---> 2 ---> 3 ---> 4 ---> 5
<> <> <> <>
1/5 2/5 3/5 4/5
Das <> soll einen Pfeil von einem bestimmten Zustand zu sich selbst darstellen. Diesen Graphen kann man natürlich auch durch eine stochastische Matrix ausdrücken.
Um die Ausgangsfrage zu beantworten, nehme ich an, dass hier die mittlere Wartezeit, also der Erwartungswert der zu ziehenden Lose, gefragt ist. Die Gesamtzahl an zu ziehenden Losen ist durch [mm] $X_1+X_2+X_3+X_4+X_5$ [/mm] gegeben und deren Erwartungswert bestimmt man durch Aufsummieren der einzelnen Erwartungswerte von [mm] $X_1$ [/mm] bis [mm] $X_5$. [/mm] Der Erwartungswert für eine geometrisch verteilte Zufallsvariable mit Parameter p ist gerade 1/p. Damit kannst Du nun alles ausrechnen.
Viele Grüße
Brigitte
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