strikte Ungleichung, Limes < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:48 Sa 09.04.2016 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Ich habe eine wohlmöglich triviale Frage:
Sei mit
Warum folgt aus auch |
Wenn ich den Limes auf die strikten Ungleichung anwende folgt doch nur . Wie bekomme ich auch hier eine strikte Ungleichung, hat das was damit zu tun, dass nur der rechtsseitige Limes gebildet wird?
In meinen Unterlagen steht: t>0 [mm] \underbrace{\Rightarrow}_{\epsilon \downarrow 0} t_0>0
[/mm]
Tool, damit die Formeln sichtbar sind: http://www.matheboard.de/formeleditor.php
LG,
sissi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:28 Sa 09.04.2016 | | Autor: | hippias |
Ich schätze, dass $t$ eine Funktion von [mm] $\varepsilon$ [/mm] ist, und [mm] $t_{0}, t_{1}\in \IR$. [/mm] Dann ist die Behauptung tatsächlich falsch wie das Beispiel [mm] $t(\varepsilon)= \varepsilon$ [/mm] zeigt.
Oder habe ich die Voraussetzungen falsch verstanden?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:51 Sa 09.04.2016 | | Autor: | sissile |
Also es geht um folgendes:
Wir hatten ein Anfangswertproblem: [mm] x_{\epsilon}''+\epsilon x_{\epsilon}'(t)=-1, x_{\epsilon}(0)=0, x_{\epsilon}'(0)=1
[/mm]
In der Vorlesung hatten wir dem Ansatz: [mm] x_{\epsilon}(t)=x_0 [/mm] (t) + [mm] x_1 [/mm] (t) [mm] \epsilon [/mm] + [mm] x_2(t) \epsilon^2 [/mm] + [mm] O(\epsilon^{3}). [/mm] Mittels Einsetzten und Koeffizientenvergleich haben wir die Funktionen [mm] x_0, x_1, x_2 [/mm] berechnet: [mm] x_{\epsilon} [/mm] (t)= t - [mm] \frac{t^2}{2} [/mm] + [mm] \epsilon(t^3/6 [/mm] - [mm] t^2/2) [/mm] + [mm] \epsilon^2 (t^3/6 [/mm] - [mm] t^4/24) +O(\epsilon^3).
[/mm]
Nun wurde nach der zeit [mm] t^{\*} [/mm] >0 sodass [mm] x_{\epsilon} (t^{\*}) [/mm] =0 gefragt. Dies sollte mittels dem Ansatz [mm] t^{\*}=t_0 [/mm] + [mm] t_1 \epsilon [/mm] + [mm] O(\epsilon^2) [/mm] geschehen indem [mm] t_0,t_1 [/mm] berechnet wird.
Dabei wurde der Ansatz [mm] t^{\*}=t_0 [/mm] + [mm] t_1 \epsilon [/mm] + [mm] O(\epsilon^2) [/mm] in unser zuvor berechneten Teil [mm] x_0(t^{\*}) [/mm] + [mm] \epsilon x_1(t^{\*})+ O(\epsilon^2)=0 [/mm] eingesetzt.
Dies kommt zu einen Koeffizientenvergleich.
Bei der Berechnung von [mm] t_0 [/mm] haben wir mit dem koeffzientenvergleich: [mm] t_0*(1-t_0/2)=0 [/mm] und daraus haben wir geschlossen, dass [mm] t_0=2 [/mm] sein muss wegen [mm] t^{\*}>0. [/mm]
Siehe für die Aufgabe http://www-m7.ma.tum.de/foswiki/pub/M7/Analysis/PPMathModellierung11/blatt4.pdf Bsp 1)
und für die Lösung http://www-m7.ma.tum.de/foswiki/pub/M7/Analysis/PPMathModellierung11/LB4.pdf S.1-S.5
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:32 So 10.04.2016 | | Autor: | hippias |
> Also es geht um folgendes:
> Wir hatten ein Anfangswertproblem: [mm]x_{\epsilon}''+\epsilon x_{\epsilon}'(t)=-1, x_{\epsilon}(0)=0, x_{\epsilon}'(0)=1[/mm]
>
> In der Vorlesung hatten wir dem Ansatz: [mm]x_{\epsilon}(t)=x_0[/mm]
> (t) + [mm]x_1[/mm] (t) [mm]\epsilon[/mm] + [mm]x_2(t) \epsilon^2[/mm] +
> [mm]O(\epsilon^{3}).[/mm] Mittels Einsetzten und
> Koeffizientenvergleich haben wir die Funktionen [mm]x_0, x_1, x_2[/mm]
> berechnet: [mm]x_{\epsilon}[/mm] (t)= t - [mm]\frac{t^2}{2}[/mm] +
> [mm]\epsilon(t^3/6[/mm] - [mm]t^2/2)[/mm] + [mm]\epsilon^2 (t^3/6[/mm] - [mm]t^4/24) +O(\epsilon^3).[/mm]
>
Bis hierher konnte ich die Rechnung nachvollziehen und habe auch dieselben Werte erhalten.
> Nun wurde nach der zeit [mm]t^{\*}[/mm] >0 sodass [mm]x_{\epsilon} (t^{\*})[/mm]
> =0 gefragt. Dies sollte mittels dem Ansatz [mm]t^{\*}=t_0[/mm] + [mm]t_1 \epsilon[/mm]
> + [mm]O(\epsilon^2)[/mm] geschehen indem [mm]t_0,t_1[/mm] berechnet wird.
Dieser Ansatz ist mir voellig unverstaendlich. Man kann natuerlich beliebige Ansaetze machen, aber weshalb werden hier ploetzlich $2$ zusaetzliche Unbekannte [mm] $t_{0}$ [/mm] und [mm] $t_{1}$ [/mm] ins Spiel gebracht über die nichts ausgesagt wird?
>
> Dabei wurde der Ansatz [mm]t^{\*}=t_0[/mm] + [mm]t_1 \epsilon[/mm] +
> [mm]O(\epsilon^2)[/mm] in unser zuvor berechneten Teil [mm]x_0(t^{\*})[/mm] +
> [mm]\epsilon x_1(t^{\*})+ O(\epsilon^2)=0[/mm] eingesetzt.
> Dies kommt zu einen Koeffizientenvergleich.
> Bei der Berechnung von [mm]t_0[/mm] haben wir mit dem
> koeffzientenvergleich: [mm]t_0*(1-t_0/2)=0[/mm] und daraus haben wir
> geschlossen, dass [mm]t_0=2[/mm] sein muss wegen [mm]t^{\*}>0.[/mm]
>
Ja, bei $t=2$ wird [mm] $x_{0}(t)=0$. [/mm] Na und?
> Siehe für die Aufgabe
> http://www-m7.ma.tum.de/foswiki/pub/M7/Analysis/PPMathModellierung11/blatt4.pdf
> Bsp 1)
> und für die Lösung
> http://www-m7.ma.tum.de/foswiki/pub/M7/Analysis/PPMathModellierung11/LB4.pdf
> S.1-S.5
Ich habe mir den verlinkten Aufgabenzettel angesehen und habe keine Ahnung, was das mit diesem Problem zu tun hat 
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:45 So 10.04.2016 | | Autor: | sissile |
> Ich habe mir den verlinkten Aufgabenzettel angesehen und habe keine Ahnung, was das mit diesem Problem zu tun hat.
Naja die Frage ist zu Beispiel 1b)
"Berechnen Sie die formale asymptotische Entwicklung für den Zeitpunkt [mm] t^{\*}>0 [/mm] für den [mm] x(t^{\*})=0 [/mm] gilt, bis zur ersten Ordnung in [mm] \epsilon."
[/mm]
Es wird also der Ansatz [mm] t^{\*}=t_0 [/mm] + [mm] t_1 \epsilon [/mm] + [mm] t_2 \epsilon^2 [/mm] + [mm] t_3 \epsilon^3+... [/mm] getätig. Da wir nur bis zur ersten ordnung in [mm] \epsilon [/mm] gehen, sieht der Ansatz so aus: [mm] t^{\*}= t_0 [/mm] + [mm] t_1 \epsilon [/mm] + [mm] O(\epsilon^2).
[/mm]
Wir wollen nun [mm] t_0 [/mm] und [mm] t_1 [/mm] bestimmen, dies mache ich indem ich den Ansatz [mm] t^{\*}= t_0 [/mm] + [mm] t_1 \epsilon [/mm] + [mm] O(\epsilon^2) [/mm] in [mm] x_0(t^{\*}) [/mm] + [mm] \epsilon x_1(t^{\*})+ O(\epsilon^2)=0 [/mm] einsetze.
So kommen wir ()auf: [mm] x_0(t_0) [/mm] + [mm] \epsilon(x_0'(t_0)*t_1+x_1(t_0))+ O(\epsilon^2)
[/mm]
Wenn wir die Koeffizienten vergleichen erhalten wir für [mm] \epsilon^0:
[/mm]
[mm] x_0(t_0)=0
[/mm]
Setzen wir Teil 1a) ein: [mm] t_0- \frac{t_0^2}{2}=0 \iff t_0(1-\frac{t_0}{2})=0
[/mm]
So nun steht im verlinkten Skriptum [mm] \iff t_0=2
[/mm]
Der Fall [mm] t_0=0 [/mm] wird ausgeschlossen wegen [mm] t^{\*}>0. [/mm] Unda genau da ist meine Frage!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:36 Mo 11.04.2016 | | Autor: | hippias |
Ich vermute, dass man lediglich an einer Lösung $>0$ interessiert ist. $x(0)=0$ gilt schliesslich nach Voraussetzung.
Nur der Vollständigkeit halber möchte ich noch anmerken, dass mir der Ansatz noch immer nicht so recht klar ist, und dass Aufgabe 1.b) des verlinkten Aufgabenzettels lautet "Drücken Sie [mm] $\frac{partial}{\partial t} [/mm] B$ durch $B$ und $v$ aus."
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:21 Di 12.04.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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