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| Aufgabe | | Gesucht sind alle strukturerhaltenden Abbildungen von [mm] (\IZ_3,+_3) [/mm] auf sich. |
Hallo,
ich habe ein Problem mit der obigen Aufgabe.
Ich versuche mal, meine Vorgehensweise und mein Problem zu beschreiben.
Ich weiß, dass bei strukturerhaltenden Abbildungen zwischen Gruppen das neutrale Element auf das neutrale Element abgebildet wird. In diesem Fall muss für alle strukturerhaltenden Abbildungen also gelten: f(0)=0.
Nun habe ich 3*3=9 Möglichkeiten für f(1) und f(2). Diese Abbildungen habe ich alle aufgeschrieben und einzeln auf die Strukturerhaltung überprüft. Heraus kam, dass die folgenden 3 Abbildungen strukturerhaltend sind:
1)
f(0)=0
f(1)=1
f(2)=2, also die Identität
2)
f(0)=0
f(1)=0
f(2)=0
3)
f(0)=0
f(1)=2
f(2)=1
Nun ist mir aber eben eingefallen, dass doch bei zyklischen Gruppen der Erzeuger auf den Erzeuger abgebildet wird. Es müsste also eigentlich zusätzlich f(1)=1 gelten, was aber meiner zweiten Lösung widerspricht.
Könnt ihr mir helfen, wo mein Fehler liegt?
Liebe Grüße und vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:36 Mo 21.02.2011 | | Autor: | statler |
Hallo!
Von deinen 3 Abbildungen sind 2 bijektiv und eine nicht. Da Bijektivität nicht gefordert war, sind alle 3 OK.
Nachtrag: Es sei denn, man interpretiert das Wörtchen 'auf' als surjektiv, dann fällt die 0-Abbildung weg.
Die 0 ist auch ein Erzeuger, aber eben nicht der ganzen Gruppe, sondern nur einer trivialen Untergruppe.
Gruß aus Harburg
Dieter
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Danke für deine schnelle Hilfe! 
Ist es dann also so, dass "Erzeuger wird auf Erzeuger abgebildet" nur bei bijektiven strukturerhaltenden Abbildungen, also bei Isomorphismen und Automorphismen richtig ist?
Liebe Grüße!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:42 Mo 21.02.2011 | | Autor: | statler |
Hi!
> Danke für deine schnelle Hilfe!
Da nich für.
> Ist es dann also so, dass "Erzeuger wird auf Erzeuger
> abgebildet" nur bei bijektiven strukturerhaltenden
> Abbildungen, also bei Isomorphismen und Automorphismen
> richtig ist?
Nein, so stimmt das nicht.
Eine strukturerhaltende Abbildung f ist durch das Bild eines Erzeugers g (des Definitionsbereichs) bestimmt. Aber ich kann das Bild nicht beliebig festlegen. Die Ordnung des Bildes f(g) dieses Erzeugers muß die Ordnung des Definitionsbereiches, also die Ordnung von g, teilen.
Wenn beide Gruppen die gleiche Ordnung haben und du Erzeuger auf Erzeuger abbildest, dann ist die Bedingung erfüllt und du kriegst einen Isomorphismus.
Du kannst aber auch [mm] (\IZ_6. [/mm] $+_{6}$) strukturerhaltend und surjektiv auf [mm] (\IZ_3. [/mm] $+_{3}$) abbilden, auch dann geht Erzeuger auf Erzeuger.
Gruß
Dieter
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Nochmal danke :)
Ich hoffe, ich habe das jetzt richtig verstanden. Daher nur zur Gewissheit, da für die Klausur am Mittwoch besonders Automorphismen wichtig sind:
Bijektive, strukturerhaltende Abbildungen bilden den Erzeuger auf den Erzeuger ab. Es gibt aber auch Abbildungen, die Erzeuger auf Erzeuger abbilden, die aber keine Iso-/Automorphismen sind.
Stimmt das so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:18 Mo 21.02.2011 | | Autor: | statler |
Mahlzeit!
> Ich hoffe, ich habe das jetzt richtig verstanden. Daher nur
> zur Gewissheit, da für die Klausur am Mittwoch besonders
> Automorphismen wichtig sind:
>
> Bijektive, strukturerhaltende Abbildungen bilden den
> Erzeuger auf den Erzeuger ab. Es gibt aber auch
> Abbildungen, die Erzeuger auf Erzeuger abbilden, die aber
> keine Iso-/Automorphismen sind.
So isses! Als Aufgabe vermute ich aber so etwas wie die Automorphismen von [mm] \IZ_6 [/mm] zu bestimmen, also gleiche Ordnung.
Gruß Dieter
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> So isses!
Yeah, endlich verstanden
> Als Aufgabe vermute ich aber so etwas wie die
> Automorphismen von [mm]\IZ_6[/mm] zu bestimmen, also gleiche
> Ordnung.
Das wäre super, das würde ich wohl hinkriegen
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