substitutionelle integralrechn < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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hallo,ich habe vielleicht eine sehr ungewöhnliche bitte.in unserer klausur kommt integralrechnung vor obwohl wir lineare algebra bearbeiten.
jetzt zu meiner bitte: kann mir vielleicht mal jemand an einem beispiel substitutionelle integralrechnung erklären. die beispiele im internet verstehe ich nicht und durch die definitionen schaff ich es auch nicht eine aufgabe zu rechen. wäre echt nett.
und kann mir jemand dann vielleicht sagen, wie ich unterscheide ob man partielle oder substitutionelle integralrechnung benutzen muss?
danke für jede hilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:39 Mo 19.06.2006 | | Autor: | AXXEL |
Hi!
Also ein Beispiel zur substitutionellen Integralrechnung wäre:
[mm] \integral{\bruch{1}{\wurzel{1-x^{2}}} dx} [/mm]
Da das hier muss man substituieren und zwar mit x=sin(z) .
man bildet dann die Ableitung x'=cos(z)
Da [mm] x'=\bruch{dx}{dz}
[/mm]
kann man sagen: [mm] cos(z)=\bruch{dx}{dz} [/mm] !
daraus folgt dx=dz*cos(z) das setzt man nun in die Ausgangsaufgabe ein und erhält: [mm] \integral{\bruch{1}{\wurzel{1-sin(x)^{2}}}*cos(z)*dz}
[/mm]
Das ist nach trig. Pythagoras:
[mm] \integral{\bruch{1}{cos(z)}*cos(z)*dz}=\integral{1*dz}=z=arcsin(x)
[/mm]
Das war ein typisches Beispiel, wo du nicht partiell integrieren kannst....
Ich wüsste jetzt keinen allgemeinen Merksatz, um den Unterschied zu machen.
Das muss man von Fall zu Fall unterscheiden.
Gruß
AXXEL
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du hast das geschrieben:
Da das hier muss man substituieren und zwar mit x=sin(z)
wieso mit x=sin(z) das kommt doch nirgends vor, in deinem beispiel,verstehe ich nicht
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:04 Mo 19.06.2006 | | Autor: | AXXEL |
Hi!
> du hast das geschrieben:
> Da das hier muss man substituieren und zwar mit x=sin(z)
>
> wieso mit x=sin(z) das kommt doch nirgends vor, in deinem
> beispiel,verstehe ich nicht
Also natürlich kommt das bei mir vor !
Ich versuch mal meinen Rechenweg deutlicher zu machen:
Also die Aufgabe ist :
[mm] \integral{\bruch{1}{\wurzel{1-x^{2}}} dx} [/mm] . Mit herkömmlichen Methoden kommt man damit nicht weiter.
Daher substituiert man x=sin(z) !
Indem man das macht kriegt man die Wurzel weg !
Man erhält nämlich:
[mm] \integral{\bruch{1}{\wurzel{1-sin(z)^{2}}} dx}
[/mm]
Das ist nach trig. Pythagoras:
[mm] \integral{\bruch{1}{cos(z)}dx}
[/mm]
Das Problem ist jetzt das dx, da man als Variable z hat, will man nun auch nach dz integrieren.
Da macht man sich zu Nutze, dass [mm] x'=\bruch{dx}{dz}. [/mm] In diesem Fall ist x ja sin(z), x' also cos(z) also gilt: [mm] x'=cos(z)=\bruch{dx}{dz}. [/mm] das nach dx umgestellt gibt: dx=dz*cos(z) !!
Das setzt man oben für dx ein und man sieht, dass sich das cos(z) weggkürzt, übrig bleibt [mm] \integral{1dz}=z.
[/mm]
Durch Resubstitution (z=arcsin(x)) erhält man für das Integral also als Menge aller Stammfunktionen arcsin(x)+C!
Gruß
AXXEL
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:15 Mo 19.06.2006 | | Autor: | AXXEL |
Hallo nochmal!
Nochmal ein paar allgemeine Anmerkungen zur substitionellen Integralrechnung:
Grundsätzlich gibt es zwei Typen:
Typ 1:
Man substituiert z= ... und bidet dann [mm] z'=\bruch{dz}{dx}
[/mm]
z.B.:
[mm] \integral{\bruch{x}{x^{2}+1}dx} [/mm]
Man substituiert : [mm] z=x^{2}+1 [/mm] , [mm] z'=2*x=\bruch{dz}{dx}
[/mm]
daraus folgt : [mm] dx=\bruch{dz}{2*x}
[/mm]
Da kann man sofort einsetzen und erhält:
[mm] \integral{\bruch{x}{z}*\bruch{dz}{2*x}}
[/mm]
man kann x kürzen und hat [mm] 0.5*\integral{\bruch{1}{z}dz} [/mm] .
Das lässt sich dann leicht lösen!
Das Prinzip ist also dabei, dass man durch geschickte Substitution den Term soweit vereinfacht, dass man das Integral leicht lösen kann!
Typ2: (siehe Beispiel in meiner ersten Antwort):
Beim Typ2 macht man es also so, wie ich oben erläutert hab, dass man nicht z=... , sondern z.B. x=sinz substituiert !!!
Gruß
AXXEL
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meine frage ist jetzt wieso do x= sin(z) nimmst,das verstehe ich nicht. wieos nimmst du nicht x= cos(x)...das verstehe ich absolut nicht
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:48 Mo 19.06.2006 | | Autor: | AXXEL |
Naja weil sich das doch dann wunderbar wegkürzt !!
Natürlich ist das nicht der einzige Weg (cos(z) würde auch gehen...).
Allerdings muss man glaub ich schon eins von den beiden nehmen !
AXXEL
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wieos kürzt sich der bruch denn mit sin so leicht weg,kannst du mir das vielleicht nochmal erklären,das verstehe ich nicht
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:00 Mo 19.06.2006 | | Autor: | AXXEL |
naja, zunächst kürzt sich erst einmal die wurzel weg !! (durch den trig. Pythagoras)
Dann bleibt [mm] \integral{\bruch{1}{cos(z)}*dx} [/mm] übrig!!
dx kann man, wie oben erläutert in dx=dz*cos(z) umformen.
wenn man das einsetzt, dann kürzt sich der Bruch weg !!!
AXXEL
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Hallo zusammen,
Von substitutioneller Integralrechnung hab ich noch nie gehört. Die Methode heißt zwar Substitution trotzdem sagt eigentlich keiner substitutionelle Integralrechnung dazu.
viele Grüße
mathemduenn
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