summe von zufallsvariablen < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:50 Do 17.01.2008 | | Autor: | AriR |
hey leute
ich hab gerade einen kleinen blackout.. wenn man zufallsvariablen [mm] X_1,...,X_n [/mm] gegegen hat und dann deren arith.mittel betrachtet(wie zB beim schwachen gesetzt der großen zahlen), also:
[mm] \bruch1n(X_1+....+X_n)
[/mm]
was ist das dann nochmal genau? das müsste ja irgendwas von der form sein:
[mm] \bruch1n(X_1(w)+....+X_n(w)) [/mm] wobei [mm] w\in\Omega
[/mm]
nur was macht man da genau.. berechnet man den wert für jedes w einzeln oder für alle? irgendwie blicke ich da im mom gar nicht mehr durch :D
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:54 Do 17.01.2008 | | Autor: | AriR |
dann verstehe ich eins nicht so genau.. wenn man sich das schwache gesetzt der große zahlen anguckt.. dann besagt das ja so mehr oder weniger, dass man je öfter ein experiment durchführt um so eher erhält man den erwartungswert, wenn man das arith.mittel dieser betrachtet
angenommen man hat als experiment den münzwurf und definiert zahl als 1 und kopf als 0
dann müsste das doch für alle zufallsvariablen [mm] X_i [/mm] gelten wobei [mm] X_i [/mm] jeweiles ein wurf ist. dann wäre das arith. mittel aber immer das selbe.
das omega müsste in diesem fall doch die menge aus kopf und zahl sein oder nicht?
verstehst du ca was ich meine und wo das problem liegt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:41 Do 17.01.2008 | | Autor: | luis52 |
>
> verstehst du ca was ich meine und wo das problem liegt?
Ich meine, ja. Wir muessen das etwas genauer fassen. Gegeben ist ein
Zufallvektor [mm] $\mathbf{x}:\Omega\to \IR^n$ [/mm] mit [mm] $\mathbf{x}(\omega)=(X_1(\omega),\dots,X_n(\omega))$. [/mm]
Dieser hat eine (gemeinsame) Verteilung, die sich auf [mm] $g(\mathbf{x})=(X_1+\dots+X_n)/n$ [/mm] vererbt.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:42 Do 17.01.2008 | | Autor: | AriR |
wie wären denn bei dem bsp mit dem münzwurf die [mm] X_i [/mm] beispielsweise definiert.
omega wäre ja [mm] \{kopf, zahl\} [/mm] oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:00 Do 17.01.2008 | | Autor: | luis52 |
> wie wären denn bei dem bsp mit dem münzwurf die [mm]X_i[/mm]
> beispielsweise definiert.
> omega wäre ja [mm]\{kopf, zahl\}[/mm] oder?
[mm] $\Omega=\{K,W\}$, $X_i(W)=0$, $X_i(K)=1$. [/mm] Angenommen $n=2$.
[mm] $P(X_1=i,X_2=j)=1/4$, [/mm] $i,j=0,1$. [mm] $P(X_1+X_2=0)=1/4$, $P(X_1+X_2=1)=1/2$,
[/mm]
[mm] $P(X_1+X_2=2)=1/4$ $P(\bar [/mm] X=0)=1/4$, [mm] $P(\bar [/mm] X=1/2)=1/2$,
[mm] $P(\bar [/mm] X=1)=1/4$.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:17 Do 17.01.2008 | | Autor: | AriR |
vielen dank schonmal.. was ich immer noch nicht ganz verstehe ist folgendes.. wenn [mm] X_1 [/mm] und [mm] X_2 [/mm] beide gleich definiert sind, dann gilt ja immer [mm] X_1(w)=X_2(w)
[/mm]
wenn man dann guckt was [mm] P[X_1=i,X_2=j] [/mm] für [mm] i\not= [/mm] j dann müsste das doch immer 0 sein oder nicht. das kann ja nicht sein, dass [mm] X_1 [/mm] was anderes ausgibt wie [mm] X_2, [/mm] wenn diese funktionen gleich definiert sind
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:22 Sa 19.01.2008 | | Autor: | AriR |
ist dir noch was dazu eingafellen? :)
gruß ari
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:51 Sa 19.01.2008 | | Autor: | luis52 |
> ist dir noch was dazu eingafellen? :)
>
Ja, siehe oben.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:27 Sa 19.01.2008 | | Autor: | AriR |
ich denke mal, dass dann das i der erste wurf sein soll und j der 2-te wurf, aber eigentlich darf amn sich doch gar nicht einschränken auf die anzahl der würfe weil man ja später mit n gegen unendlich geht, was bedeutet man muss unendlich viele zufallsvariablen definieren können
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:28 Sa 19.01.2008 | | Autor: | luis52 |
Hallo,
ich greife noch einmal dein Beispiel auf:
>
> angenommen man hat als experiment den münzwurf und
> definiert zahl als 1 und kopf als 0
>
Fuer jedes [mm] $n\in\IN$ [/mm] definieren wir den Wahrscheinlichkeitsraum
[mm] $(\Omega_n,\mathcal{A}_n,P)$ [/mm] mit [mm] $\Omega_n=\{(i_1,\dots,i_n)\mid i_k=\mbox{0 oder 1},k=1,\dots,n\}$, [/mm] wobei
$P$ das Wahrscheinlichkeitsmass des Gleichmoeglichkeitsmodells ist.
Betrachte die $n$ Zufallsvariablen [mm] $X_j\colon\Omega_n\to\IR$ [/mm] mit
[mm] $X_j(\omega)=X_j((i_1,\dots,i_n))=i_j$, $j=1,\dots,n$. [/mm] Dann ist [mm] $X_j$ [/mm] Bernoulli-verteilt
fuer alle $j$, genauer [mm] $P(X_j=0)=1/2=P(X_j=1)$. [/mm] Durch [mm] $S_n\colon\Omega_n\to\IR$ [/mm] mit
[mm] $S_n(\omega)=X_1(\omega)+\dots+X_n(\omega)$ [/mm] = Anzahl der Einsen in [mm] $\omega$
[/mm]
wird eine Folge [mm] $(S_n)$ [/mm] binomialverteilter Zufallsvariablen definiert.
Ferner ist mit [mm] $(\bar X_n)$, $\bar X_n=S_n/n$, [/mm] eine Folge von
arithmetischen Mitteln definiert.
Also: Bei einer Folge von Zufallsvariablen steht auch eine Folge von
Ergebnismengen im Hintergrund.
vg
Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Fr 25.01.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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