supremum,infimum bestimmen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | es sei M die Menge
$ [mm] M=\left\{\frac{1+2n^2}{1+n^2}\mid n\in\IN_0\right\} [/mm] $
muss man infimum,supremum,maximum und minimum von M bestimmen.
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hallo zusammen!
ich hab problem um supremum bzw.infimum zu bestimmen.eigene beispiele habe ich angesehen und jetzt bin ich verwirt ob ich es richtig verstanden habe.
supremum ist die kleinste obere schränke dann setze ich n=1 supM=3/2
es existiert kein max,weil 3/2 nicht in definitionbereich ist.M C IR
infM=minM=1
da brauche ich Hilfe,ich will es verstehen, wie man es bestimmt
danke im voraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hallo
bittesetzemalklammernundreparieredeineshifttaste
LG
schachuzipus
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Hallo niemand18,
welche Menge ist gemeint?
(1) [mm] $M=\left\{\frac{1+2n^2}{1+n^2}\mid n\in\IN_0\right\}$
[/mm]
(2) [mm] $M=\left\{1+\frac{2n^2}{1+n^2}\mid n\in\IN_0\right\}$
[/mm]
oder so, wie es bei dir steht
(3) [mm] $M=\left\{1+\frac{2n^2}{1}+n^2\mid n\in\IN_0\right\}=\{1+3n^2\mid n\in\IN_0\}$
[/mm]
Das sollten wir zuerst klären ...
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:02 Mi 13.05.2009 | | Autor: | niemand18 |
erste Menge ist das.es tut mir leid,für die schlechte Formulierung.ich hab viel probiert,besser zu formulieren.aber es hat nicht geklappt.
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> es sei M die Menge
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> [mm]M=\left\{\frac{1+2n^2}{1+n^2}\mid n\in\IN_0\right\}[/mm]
Hallo,
ich bin mir nicht ganz sicher, ob Du überhaupt verstanden hast, welche Elemente in M enthalten sind.
Es sind alle Zahlen, die man schreiben kann als [mm] \frac{1+2n^2}{1+n^2}=1+\frac{n^2}{1+n^2}, [/mm] wobei für n sämtliche natürlichen Zahlen eingesetzt werden.
Also ist [mm] M=\{1+\frac{1^2}{1+1^2}, 1+\frac{2^2}{1+2^2}, 1+\frac{3^2}{1+3^2}, 1+\frac{4^2}{1+4^2}, ...\}
[/mm]
> muss man infimum,supremum,maximum und minimum von M
> bestimmen.
>
> hallo zusammen!
> ich hab problem um supremum bzw.infimum zu
Das Infimum ist die größte untere Schranke.
Für M wären z.B. -4711, 0, [mm] \bruch{\wurzel{2}}{2} [/mm] untere Schranken.
Aber welches ist die größte von allen unteren Schranken?
Das Supremum ist die kleinste obere Schranke.
Für M wären z.B. 815 , [mm] \bruch{27}{4}, \wurzel{7} [/mm] obere Schranken.
Aber welches ist die kleinste von allen unteren Schranken?
Herausfinden kannst Du das, wenn Du Dir die Machart der Elemente von M anschaust: [mm] 1+\frac{n^2}{1+n^2}.
[/mm]
Also?
Infimum und Supremum müssen nicht (durfen aber!) in M liegen.
Minimum und Maximum hingegen müssen, sofern es sie gibt, in M sein.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:49 Mi 13.05.2009 | | Autor: | abakus |
> > es sei M die Menge
> >
> > [mm]M=\left\{\frac{1+2n^2}{1+n^2}\mid n\in\IN_0\right\}[/mm]
>
> Hallo,
>
> ich bin mir nicht ganz sicher, ob Du überhaupt verstanden
> hast, welche Elemente in M enthalten sind.
>
> Es sind alle Zahlen, die man schreiben kann als
> [mm]\frac{1+2n^2}{1+n^2}=1+\frac{n^2}{1+n^2},[/mm] wobei für n
> sämtliche natürlichen Zahlen eingesetzt werden.
Hallo,
noch informativer finde ich die mögliche Darstellung [mm]\frac{1+2n^2}{1+n^2}=2-\frac{1}{1+n^2}[/mm]
Gruß Abakus
>
> Also ist [mm]M=\{1+\frac{1^2}{1+1^2}, 1+\frac{2^2}{1+2^2}, 1+\frac{3^2}{1+3^2}, 1+\frac{4^2}{1+4^2}, ...\}[/mm]
>
> > muss man infimum,supremum,maximum und minimum von M
> > bestimmen.
> >
> > hallo zusammen!
> > ich hab problem um supremum bzw.infimum zu
>
> Das Infimum ist die größte untere Schranke.
>
> Für M wären z.B. -4711, 0, [mm]\bruch{\wurzel{2}}{2}[/mm] untere
> Schranken.
> Aber welches ist die größte von allen unteren Schranken?
>
>
> Das Supremum ist die kleinste obere Schranke.
>
> Für M wären z.B. 815 , [mm]\bruch{27}{4}, \wurzel{7}[/mm] obere
> Schranken.
> Aber welches ist die kleinste von allen unteren
> Schranken?
>
>
> Herausfinden kannst Du das, wenn Du Dir die Machart der
> Elemente von M anschaust: [mm]1+\frac{n^2}{1+n^2}.[/mm]
>
> Also?
>
>
> Infimum und Supremum müssen nicht (durfen aber!) in M
> liegen.
>
> Minimum und Maximum hingegen müssen, sofern es sie gibt, in
> M sein.
>
>
> Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:01 Fr 15.05.2009 | | Autor: | niemand18 |
danke vielmals für die Antworten
$ [mm] M=\{1+\frac{1^2}{1+1^2}, 1+\frac{2^2}{1+2^2}, 1+\frac{3^2}{1+3^2}, 1+\frac{4^2}{1+4^2}, ...\} [/mm] $
wenn ich die Folgenglieder ausrechne,sehe ich,dass sie immer grösser werden.Und das heisst,ich soll supM bzw. infM am Ende der Folge suchen oder?
dann denke ich [mm] supM=maxM=\infty
[/mm]
ich bin mir nicht sicher,ist das richtig so?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:06 Fr 15.05.2009 | | Autor: | XPatrickX |
Hallo,
das ist nicht richtig, denn was ist denn
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} \frac{1+2n^2}{1+n^2}=\limes_{n\rightarrow\infty} (2-\frac{1}{1+n^2}) [/mm] $?
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dann ist supM=maxM=2
muss man Grenzwerte anschauen?ich weiss,es ist eine blöde Frage aber ich bin wirklich Ahnungslos.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:33 Fr 15.05.2009 | | Autor: | abakus |
> dann ist supM=maxM=2
Hallo,
diese Gleichheit ist falsch. Ein Maximum gehort der Menge selbst mit an (was die Zahl 2 "persönlich" nicht tut). Sie ist Supremum, aber nicht Maximum.
Gruß Abakus
>
> muss man Grenzwerte anschauen?ich weiss,es ist eine blöde
> Frage aber ich bin wirklich Ahnungslos.
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merci vielmals
supM=2 und beweis dafür ist;
[mm] 2-\bruch{1}{1+n^{2 }}\le2 [/mm]
[mm] n\in\IN°
[/mm]
d>0 [mm] 2-d\ge0 [/mm]
[mm] 2-\bruch{1}{1+n^{2}} [/mm]
n=0
2-d [mm] \ge1 \gdw -d\ge [/mm] -1 [mm] d\ge1 [/mm] wiederspruch
und infM=0
[mm] 1+2n^{2}=0 \vee 1+n^{2}=0 [/mm] wie kann ich weiterfahren?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:27 Mi 27.05.2009 | | Autor: | niemand18 |
wie kann ich es weiterführen?
danke im voraus
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> merci vielmals
> supM=2 und beweis dafür ist;
>
> [mm]2-\bruch{1}{1+n^{2 }}\le2[/mm]
für alle
> [mm]n\in\IN°[/mm]
Hallo,
Du hast jetzt gezeigt, daß die 2 eine obere Schranke Deiner Menge ist.
Was Du dann wieter treibst, erschließt sich mir nicht.
Hilfreich wären ein paar erklärende Worte, denn so könnte man Deine Gedanken verfolgen und Mißverständnisse klären.
Zeigen müßtest Du ja, daß die 2 die kelinst der oberen Schranken ist.
Hierfür kannst Du annehmen, daß es eine kleinere Schranke 2-d gibt (mit d>0). Diese Annahme müßte zum Widerspruch geführt werden.
> d>0 [mm]2-d\ge0[/mm]
> [mm]2-\bruch{1}{1+n^{2}}[/mm]
>
> n=0
>
> 2-d [mm]\ge1 \gdw -d\ge[/mm] -1 [mm]d\ge1[/mm] wiederspruch
> und infM=0
> [mm]1+2n^{2}=0 \vee 1+n^{2}=0[/mm] wie kann ich weiterfahren?
Vielleicht sagst Du erstmal, was Du hier zeigen möchtest. Hast Du mal ein paar Elemente der Menge ausgerechnet? Bist Du sicher, daß die 0 das Infimum ist?
Gruß v. Angela
>
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es hat mir nicht geklappt,die annahme zum widerspruch zu führen.nun habe ich es anders probiert.
[mm] \varepsilon<2 [/mm] z.z: [mm] \varepsilon [/mm] ist keine obereschranke von M
ist [mm] \varepsilon\le1, [/mm]
so gilt [mm] \bruch{3}{2}>\varepsilon [/mm] und [mm] \bruch{3}{2}\inM
[/mm]
[mm] \varepsilon [/mm] keine obere schranke von M
ist [mm] \varepsilon>1, [/mm] so gilt [mm] \varepsilon< \bruch{\varepsilon+2}{2}
[/mm]
damit ist gezeigt worden,dass es keine kleinere obere schranke gibt.
InfM=MinM=1
beweis:sei p eine weitere untere schranke.
dann ist [mm] p\le\bruch{1+2n^{2}}{1+n^{2}} [/mm]
[mm] \forall n\ge0
[/mm]
angenommen:p>1.damit gibt es aber eine zahl n mit
[mm] \bruch{1+2n^{2}}{1+n^{2}} [/mm] <p(archimedes)
im widerspruch zur annahme.
diesmal habe ich es getroffen??oder immer noch nicht:((
gruss von niemand
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> es hat mir nicht geklappt,
Hallo,
ich muß nun erst mal gucken, worum es überhaupt geht.
Zu bestimmen sind Inf, Sup, Min, Mx von
$ [mm] M=\left\{\frac{1+2n^2}{1+n^2}\mid n\in\IN_0\right\} =\left\{2-\frac{1}{1+n^2} | n\in \IN\right\}$.
[/mm]
Festgestellt war bereits, daß 2 eine obere Schranke ist, und Du möchtest zeigen, daß es die kleinste obere Schranke ist.
> es hat mir nicht geklappt,die annahme zum widerspruch zu
> führen.nun habe ich es anders probiert.
>
> [mm]\varepsilon<2[/mm]
Klar, so kannst Du auch ansetzen, wenn Dir das besser gefällt.
> z.z: [mm]\varepsilon[/mm] ist keine
> obereschranke von M
>
> ist [mm]\varepsilon\le1,[/mm]
>
> so gilt [mm]\bruch{3}{2}>\varepsilon[/mm] und [mm]\bruch{3}{2} \in M[/mm]
>
> [mm]\varepsilon[/mm] keine obere schranke von M
Ja.
>
> ist [mm]\varepsilon>1,[/mm] so gilt [mm]\varepsilon< \bruch{\varepsilon+2}{2}[/mm]
Ja und? was ist dagegen einzuwenden, wenn [mm] \varepsilon< \bruch{\varepsilon+2}{2} [/mm] ist? Ich erkenne hier keinen Widerspruch.
Irgendwie scheinst Du was vergessen zu haben.
> damit ist gezeigt worden,dass es keine kleinere obere
> schranke gibt.
Eher nicht.
>
> InfM=MinM=1
Daß 1 eine untere Schranke ist, hattest Du schon irgendwo gezeigt?
(Im Grunde würde es nun reichen, wenn Du vorrechnest, daß 1 [mm] \in [/mm] M ist. Damit hättest Du: 1 ist Minimum ==> 1 ist Infimum.)
>
> beweis:sei p eine weitere untere schranke.
> dann ist [mm]p\le\bruch{1+2n^{2}}{1+n^{2}}[/mm]
>
> [mm]\forall n\ge0[/mm]
>
> angenommen:p>1.
Dann mßte gelten [mm] 1
Wenn es für alle n gilt, gilt es auch für n=0, also wäre [mm] 1
Noch eine bemerkung: wir haben jetzt die 0 zu den natürlichen Zahlen gezählt. Du mußt schauen, wie das in Deiner Vorlesung gehandhabt wird. Fangen die natürlichen zahlen bei Euch erst mit der 1 an, so ändert sich einen kleines bißchen was.
Gruß v. Angela
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