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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:28 Mi 31.12.2008 | | Autor: | bonanza |
| Aufgabe | [mm] a_{n}= (-1)^{n+1}+\bruch{1+(-1)^n}{n}+(1+\bruch{1}{n+1})(-1)^{[n/2]}
[/mm]
[x] = Gaußklammer
Berechnen sie die Häufungspunkte, lim sup, lim inf, sup und inf der Folge. |
Hey,
ich versuche mich gerade an dieser Aufgabe und weiß noch, von der Lösung der Aufgabe, dass man die Folge wegen [n/2] in 4 Teilfolgen zerlegen kann bzw muss.
und zwar in n=4k,4k+1,4k+2 und 4k+3.
Aber warum 4 Teilfolgen ? würden nicht auch 2 reichen ? und warum wird ausgerechnet bei 4k begonnen?
Wie ich aus den TF die HP berechne ist mir auch soweit klar und ich glaub, dass es hier {-2,0,2} sind. Wie kommt man allerdings von den HP zum Inf bzw sup der Folge?
danke schonmal im voraus für eure Hilfe
und nen guten Rutsch ;)
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Hallo Peter,
> [mm]a_{n}= (-1)^{n+1}+\bruch{1+(-1)^n}{n}+(1+\bruch{1}{n+1})(-1)^{[n/2]}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> [x] = Gaußklammer
> Berechnen sie die Häufungspunkte, lim sup, lim inf, sup
> und inf der Folge.
> Hey,
>
> ich versuche mich gerade an dieser Aufgabe und weiß noch,
> von der Lösung der Aufgabe, dass man die Folge wegen [n/2]
> in 4 Teilfolgen zerlegen kann bzw muss.
> und zwar in n=4k,4k+1,4k+2 und 4k+3.
> Aber warum 4 Teilfolgen ? würden nicht auch 2 reichen ?
> und warum wird ausgerechnet bei 4k begonnen?
Naja, zuerst kommt man ja zu der Überlegung, das $n$ gerade/ungerade genügen könnte.
Aber wenn man sich das mal genauer aufschreibt, sieht man, dass man in den Fällen $n$ gerade/ungerade jeweils noch eine Fallunterscheidung machen muss
Nehmen wir mal an, $n$ sei gerade, also $n=2k$ mit einem $k\in\IN$
Dann ist $a_n=(-1)^{\overbrace{2k+1}^{\text{ungerade}}}+\frac{1+(-1)^{\overbrace{2k}^{\text{gerade}}}}{\underbrace{2k}_{\text{gerade}}}}+\left(1+\frac{1}{\underbrace{2k+1}_{\text{ungerade}}}\right)\cdot{}(-1)^{\red{k}}$
Nun gibt's verschiedene Werte für $a_n$, je nachdem, ob nun $k$ gerade oder ungerade ist
Daher sind die Fallunterscheidungen und die damit verbundenen 4 Teilfolgen zu betrachen
Probiere mal, was du für $k$ gerade, also $k=2l$ und $k$ ungerade, also $k=2l+1$ erhältst ...
Geh's mal für den Fall $n$ ungerade genauso durch, also $n=2k+1$
Da brauchst du wieder die Unterscheidung $k$ gerade/ungerade ...
Die Gaußklammer ist schuld 
Das mit den 4 Fällen und dem Beginn bei 4k rührt daher, dass du mit der Betrachtung der möglichen Reste bei Division durch 4 genau die Fälle abdeckst
Jede nat. Zahl lässt bei Division durch 4 Rest 0,1,2 oder 3
Genauer:
1.Fall: n gerade, also $n=2k$
1.a): k gerade, also $k=2l$, also $n=2(2l)=4l$ (lässt Rest 0)
1.b): k ungerade, also $k=2l+1$, also $n=2(2l+1)=4l+2$ (lässt Rest 2)
2.Fall: n ungerade, also $n=2k+1$
2.a): k gerade, also $k=2l$, also $n=2(2l)+1=4l+1$ (Rest 1)
2.b): k ungerade, also $k=2l+1$, also $n=2(2l+1)+1=4l+3$ (Rest 3)
>
> Wie ich aus den TF die HP berechne ist mir auch soweit klar
> und ich glaub, dass es hier {-2,0,2} sind. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Jo, die habe ich auch heraus bekommen
> Wie kommt man allerdings von den HP zum Inf bzw sup der Folge?
Das habe ich nicht genau nachgerechnet, aber als Ansatz würde ich mir die 4 Teilfolgen hernehmen, ihre Grenzwerte betrachten, das hast du ja schon gemacht und dann schauen, wie es mit der Monotonie der einzelnen Teilfolgen aussieht ...
> danke schonmal im voraus für eure Hilfe
> und nen guten Rutsch ;)
Dir auch einen guten Rutsch
![[prost]](/images/smileys/prost.gif "[prost]")
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:33 Do 01.01.2009 | | Autor: | bonanza |
> Hallo Peter,
>
> > [mm]a_{n}= (-1)^{n+1}+\bruch{1+(-1)^n}{n}+(1+\bruch{1}{n+1})(-1)^{[n/2]}[/mm]
>
> >
> > [x] = Gaußklammer
> > Berechnen sie die Häufungspunkte, lim sup, lim inf, sup
> > und inf der Folge.
> > Hey,
> >
> > ich versuche mich gerade an dieser Aufgabe und weiß noch,
> > von der Lösung der Aufgabe, dass man die Folge wegen [n/2]
> > in 4 Teilfolgen zerlegen kann bzw muss.
> > und zwar in n=4k,4k+1,4k+2 und 4k+3.
> > Aber warum 4 Teilfolgen ? würden nicht auch 2 reichen ?
> > und warum wird ausgerechnet bei 4k begonnen?
>
> Naja, zuerst kommt man ja zu der Überlegung, das [mm]n[/mm]
> gerade/ungerade genügen könnte.
>
> Aber wenn man sich das mal genauer aufschreibt, sieht man,
> dass man in den Fällen [mm]n[/mm] gerade/ungerade jeweils noch eine
> Fallunterscheidung machen muss
>
> Nehmen wir mal an, [mm]n[/mm] sei gerade, also [mm]n=2k[/mm] mit einem
> [mm]k\in\IN[/mm]
>
> Dann ist
> [mm]a_n=(-1)^{\overbrace{2k+1}^{\text{ungerade}}}+\frac{1+(-1)^{\overbrace{2k}^{\text{gerade}}}}{\underbrace{2k}_{\text{gerade}}}}+\left(1+\frac{1}{\underbrace{2k+1}_{\text{ungerade}}}\right)\cdot{}(-1)^{\red{k}}[/mm]
>
> Nun gibt's verschiedene Werte für [mm]a_n[/mm], je nachdem, ob nun [mm]k[/mm]
> gerade oder ungerade ist
>
> Daher sind die Fallunterscheidungen und die damit
> verbundenen 4 Teilfolgen zu betrachen
>
> Probiere mal, was du für [mm]k[/mm] gerade, also [mm]k=2l[/mm] und [mm]k[/mm]
> ungerade, also [mm]k=2l+1[/mm] erhältst ...
>
> Geh's mal für den Fall [mm]n[/mm] ungerade genauso durch, also
> [mm]n=2k+1[/mm]
>
> Da brauchst du wieder die Unterscheidung [mm]k[/mm] gerade/ungerade
> ...
>
> Die Gaußklammer ist schuld
>
> Das mit den 4 Fällen und dem Beginn bei 4k rührt daher,
> dass du mit der Betrachtung der möglichen Reste bei
> Division durch 4 genau die Fälle abdeckst
>
> Jede nat. Zahl lässt bei Division durch 4 Rest 0,1,2 oder
> 3
>
> Genauer:
>
> 1.Fall: n gerade, also [mm]n=2k[/mm]
>
> 1.a): k gerade, also [mm]k=2l[/mm], also [mm]n=2(2l)=4l[/mm] (lässt Rest 0)
>
> 1.b): k ungerade, also [mm]k=2l+1[/mm], also [mm]n=2(2l+1)=4l+2[/mm] (lässt
> Rest 2)
>
> 2.Fall: n ungerade, also [mm]n=2k+1[/mm]
>
> 2.a): k gerade, also [mm]k=2l[/mm], also [mm]n=2(2l)+1=4l+1[/mm] (Rest 1)
>
> 2.b): k ungerade, also [mm]k=2l+1[/mm], also [mm]n=2(2l+1)+1=4l+3[/mm] (Rest
> 3)
>
Ok, das habe ich verstanden :)
Also muss ich quasi, wenn ich mal angenommen 8 TF betrachten muss, bei 8k anfangen, wegen der Teilbarkeit ?
> >
> > Wie ich aus den TF die HP berechne ist mir auch soweit klar
> > und ich glaub, dass es hier {-2,0,2} sind.
>
> Jo, die habe ich auch heraus bekommen
>
> > Wie kommt man allerdings von den HP zum Inf bzw sup der
> Folge?
>
> Das habe ich nicht genau nachgerechnet, aber als Ansatz
> würde ich mir die 4 Teilfolgen hernehmen, ihre Grenzwerte
> betrachten, das hast du ja schon gemacht und dann schauen,
> wie es mit der Monotonie der einzelnen Teilfolgen aussieht
> ...
Ok, ich hab mir mal die Monotronie und den Grenzwert anguckt und das rausbekommen:
[mm] a_{4k}=\bruch{1}{2k}+\bruch{1}{2k+1} [/mm] ist streng monoton fallend gegen 0
[mm] a_{4k+1}=2+\bruch{1}{4k+2} [/mm] ist streng monoton fallend gegen 2
[mm] a_{4k+2}=-2+\bruch{1}{4k+3}+\bruch{1}{(2k+1)(4k)+3} [/mm] streng monoton fallend gegen -2
[mm] a_{4k+3}=-\bruch{1}{4k+4} [/mm] streng monoton wachsend gegen 0
Aber wie kann ich jetzt hieraus schließen, wie das Inf bzw Sup der Folge ist?
> > danke schonmal im voraus für eure Hilfe
> > und nen guten Rutsch ;)
>
> Dir auch einen guten Rutsch
>
>
>
> LG
>
> schachuzipus
Hoffe Ihr habt den "Rutsch" so gut überstanden wie ich ;)
und schonmal danke für eure weitere Hilfe :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:30 Do 01.01.2009 | | Autor: | bonanza |
ohja... da hab ich mich wohl vertan :-/
[mm] a_{4k}=\bruch{1}{2k}+\bruch{1}{4k+1}
[/mm]
und das andere sollte ansich so aussehen, da hab ich wohl was mit dem klammern falsch gemacht:
[mm] a_{4k+2}=-2+\bruch{1}{4k+3}+\bruch{1}{(2k+1)(4k+3)}
[/mm]
ich hab jetzt mal für [mm] a_{4k+3} [/mm] den Wert für k=0 berechnet und [mm] -\bruch{1}{4} [/mm] rausbekommen.
Also wäre doch -2 das Inf., da [mm] a_{4k+3} [/mm] zwar von "unten" kommt, aber der kleinste Wert: [mm] -\bruch{1}{4} [/mm] ist, oder?
Und bei [mm] a_{4k+1} [/mm] ist der kleinste wert (k=0): [mm] \bruch{5}{2}, [/mm] was dann das Sup. wäre oder?
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Sieh Dir nochmal den letzten Bruch an. Da erhalte ich [mm] $\bruch{1}{\red{4}k+1}$ [/mm] .
