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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:15 Mi 30.01.2008 | | Autor: | Kreide |
| Aufgabe | [mm] f^{-1}(Y)=X
[/mm]
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Warum kann man nicht sagen, dass das auch surjektivität beschreibt?
wieso gilt also nicht
f(X)=Y [mm] \gdw f^{-1}(Y)=X
[/mm]
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Hallo,
ich nehme an, daß Du gerade über eine Abbildung f: [mm] X\to [/mm] Y sprechen möchtest.
Deine Frage beantworte ich mit einem Beispiel:
betrachte [mm] f:\IN \to \IN
[/mm]
mit f(x):= 2x
Bevor Du jetzt einfach irgendetwas tust, mach Dich schlau darüber, wie das Urbild definiert ist. Erst dann beginne nachzudenken.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:31 Mi 30.01.2008 | | Autor: | Kreide |
y=2x
die umkehrfunktion lautet: [mm] x=\bruch{2}{y}
[/mm]
Nun gibt es aber nicht für jedes y ein x, wenn z.B. y=0 ist....(man darf ja nicht durch 0 teilen)
also beschreibt [mm] f^{-1}(Y)=X [/mm] nicht die surjektivität
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> y=2x
>
> die umkehrfunktion lautet: [mm]x=\bruch{2}{y}[/mm]
??? ??? ???
Außerdem wiederhole meine Aufforderung: schau nach, wie [mm] f^{-1}(Y) [/mm] definiert ist. Solange Du das nicht tust, kannst Du Dich gleich ins Bett legen. Die Zeit wäre so dann besser genutzt. Das hat nichts mit der Umkehrfunktion zu tun!
Und wenn Du das dann getan hast, schreibe für meine konkrete Funktion auf, was [mm] f(\IN) [/mm] ist, und was [mm] f^{-1}(\IN).
[/mm]
Gruß v. Angela
P.S.: Bitte schau, daß Du Deine Fragen im richtigen Forum einsortierst, es erspart uns die Verschieberei.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:45 Mi 30.01.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Kreide,
Angela hat Dir einen gutgemeinten Rat gegeben, zur Orientierung:
Kapitel 1
![[]](/images/popup.gif) http://www.mathematik.uni-trier.de/~mueller/AnalysisI-IV.pdf
Dort findest Du die benötigten Grundlagen.
Konkreter:
Ich weiß nicht, ob bei Angela $0 [mm] \in \IN$, [/mm] bei mir ist jedenfalls $0 [mm] \notin \IN$. [/mm] Jetzt hat Angela die Funktion
$f: [mm] \IN \to \IN$ [/mm] mit $f(n):=2n$ $(n [mm] \in \IN)$
[/mm]
betrachtet:
Du kennst gerade und ungerade natürliche Zahlen. Wie könnte man [mm] $f(\IN)$ [/mm] hier sehr leicht beschreiben?
Weiterhin:
[mm] $f^{-1}(\IN)=\{...: \exists ...\}$ [/mm] (nachgucken!)
Betrachten wir mal [mm] $M:=\{2,3,6\}$ [/mm] und überlegen uns, was [mm] $f^{-1}(M)$ [/mm] ist:
Es gilt hier [mm] $f(n_1)=2 \gdw n_1=1$, $f(n_2)=6 \gdw n_2=3$. [/mm] Weiterhin:
Es gibt kein [mm] $n_0 \in \IN$ [/mm] mit [mm] $f(n_0)=3$, [/mm] also:
[mm] $f^{-1}(M)=f^{-1}(\{2\}) \cup f^{-1}(\{3\}) \cup f^{-1}(\{6\})=\{1\} \cup \emptyset \cup \{3\}=\{1,3\}$
[/mm]
So, und jetzt solltest Du nochmal genauer drüber nachdenken und genau und verständlich formulieren, was Du meinst.
Und wenn Du nochmal Angelas Beispiel anguckst:
Dort gilt [mm] $f^{-1}(Y)=X$, [/mm] aber es ist nicht $f(X)=Y$.
Um zu Deiner Ausgangsfrage zurückzukehren:
Es gilt die Folgerung $f(X)=Y [mm] \Rightarrow X=f^{-1}(Y)$ [/mm] (Beweis dazu? Es ist eigentlich noch banaler, weil in der Tat für $f: X [mm] \to [/mm] Y$ eh stets [mm] $f^{-1}(Y)=X$ [/mm] gilt, man also die Voraussetzung $f(X)=Y$ gar nicht benötigt!), aber die Folgerung [mm] $f^{-1}(Y)=X \Rightarrow [/mm] f(X)=Y$ ist i.a. falsch.
Es gilt zwar stets $f(X) [mm] \subseteq [/mm] Y$, aber leider i.a. NICHT
$f(X) [mm] \supseteq [/mm] Y$.
P.S.:
Man könnte übrigens oben auch mal
$f: [mm] \IZ \to \IN$ [/mm] mit $f(z)=2*|z|$ betrachten.
Zum Verständnis des Begriffes Urbild:
Hier wäre
[mm] $f^{-1}(\{2,3,6\})=\{\pm 1,\pm 3\}$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:59 Mi 30.01.2008 | | Autor: | Kreide |
[mm] f:\IN \to \IN
[/mm]
M Teilmenge von [mm] \IN
[/mm]
[mm] f(\IN)= [/mm] {f(x) | x [mm] \in [/mm] M }
[mm] f^{-1}(\IN)= {x\in \IN | f(x) \in M }
[/mm]
da f(x)=2x
[mm] f(\IN)= [/mm] {2x | x [mm] \in [/mm] M }
[mm] f^{-1}(\IN)= {x\in \IN | 2x \in M } [/mm] und das ist [mm] \not= \IN, [/mm] da ja M nur Teilmenge von [mm] \IN [/mm] ist
daraus folgt, dass dass [mm] f^{-1}(X)=Y [/mm] im Allgemeinen nicht die Surjektivität beschreibt....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:15 Mi 30.01.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Kreide,
> [mm]f:\IN \to \IN[/mm]
> M Teilmenge von [mm]\IN[/mm]
Das ist ein wenig ein Verwirrspiel. Welchen Zweck hat bei Dir das $M [mm] \subset \IN$?
[/mm]
> [mm]f(\IN)=\{f(x) | x \in M \}[/mm]
Das ist sehr sinnfrei. Es ist für $M [mm] \subset \IN=D_f$
[/mm]
[mm] $f(M)=\{f(x) | x \in M\}$
[/mm]
und zudem dann natürlich für [mm] $M=\IN$
[/mm]
[mm] $f(\IN)=\{f(x) | x \in \IN\}$
[/mm]
> [mm]f^{-1}(\IN)= \{x\in \IN | f(x) \in M \}[/mm]
Schreibe doch bitte [mm] \{ \} ($\leftarrow$ anklicken) für die Mengenklammern damit der Formeleditor diese auch anzeigt. Der folgende Link sollte Dir auch helfen:
[/mm] https://matheraum.de/mm
Zu Deiner obigen Gleichheit: Das macht keinen Sinn. Eben war noch $M [mm] \subset D_f$ [/mm] (letzteres bezeichne den Definitionsbereich von $f$), nun ist $M [mm] \subset Z_f$ [/mm] (Zielbereich von $f$), wobei ich für $f:X [mm] \to [/mm] Y$ dann [mm] $D_f=X$ [/mm] und [mm] $Z_f=Y$ [/mm] meine.
Da hier [mm] $D_f=Z_f$, [/mm] ist das zwar nicht ganz so tragisch, aber Deine obige Gleichung ist zu korrigieren:
Ich nehme hier nun $N [mm] \subset \IN=Z_f$, [/mm] sodann folgt
[mm] $f^{-1}(N)=\{x \in \IN | f(x) \in N\}$ [/mm]
bzw. mit [mm] $N=\IN$
[/mm]
[mm] $f^{-1}(\IN)=\{x \in \IN | f(x) \in \IN\}$
[/mm]
> da f(x)=2x
> [mm]f(\IN)=\{2x | x \in M \}[/mm]
???
Du meinst einfach:
[mm] $f(\IN)=\{2x | x \in \IN\}=\{\mbox{gerade } \mbox{natürliche } \mbox{Zahlen}\}$
[/mm]
> [mm]f^{-1}(\IN)= \{x\in \IN | 2x \in M \}[/mm] und das ist [mm]\not= \IN[/mm],
> da ja M nur Teilmenge von [mm]\IN[/mm] ist
>
> daraus folgt, dass dass [mm]f^{-1}(X)=Y[/mm] im Allgemeinen nicht
> die Surjektivität beschreibt....
Ehrlich gesagt arbeitest Du etwas chaotisch und unstrukturiert, ich verliere ein wenig den Überblick, was Du eigentlich machen willst.
Es ist ganz einfach:
$f: [mm] \IN \to \IN$ [/mm] mit $f(x)=2x$ erfüllt:
1.) [mm] $f(\IN)=\{2x | x \in \IN\}=\{\mbox{gerade } \mbox{natürliche } \mbox{Zahlen}\}$
[/mm]
Daher kann $f$ schonmal nicht surjektiv sein (andernfalls gäbe es ja zu $3 [mm] \in Z_f=\IN$ [/mm] ein $x [mm] \in D_f=\IN$ [/mm] mit $f(x)=3 [mm] \gdw [/mm] 2x=3 [mm] \gdw x=\frac{3}{2} \in \IN$, [/mm] wobei letzteres offensichtlich nicht sein kann).
Weiterhin gilt:
2.) [mm] $f^{-1}(\IN)=\IN$.
[/mm]
Denn: Für jede Abbildung $g: X [mm] \to [/mm] Y$ gilt [mm] $g^{-1}(Y)=X$:
[/mm]
Nach Definition ist nämlich [mm] $g^{-1}(Y)=\{x \in X | g(x) \in Y\} \subset [/mm] X$. Weiterhin gilt für jedes $x [mm] \in [/mm] X$, dass $g(x) [mm] \in [/mm] Y$, also $x [mm] \in g^{-1}(Y)$ [/mm] und daher $X [mm] \subset g^{-1}(Y)$.
[/mm]
Damit gilt natürlich oben insbesondere [mm] $f^{-1}(\IN)=\IN$
[/mm]
Natürlich kann man das auch nochmal per Hand hier nachweisen:
Behauptung:
Für $f: [mm] \IN \to \IN$ [/mm] mit $f(x)=2x$ gilt [mm] $f^{-1}(\IN)=\IN$. [/mm] Denn:
[mm] $f^{-1}(\IN) \subset \IN=D_f$ [/mm] ist klar nach Definition des Urbildes. Es bleibt also zu zeigen, dass [mm] $\IN \subset f^{-1}(\IN)$:
[/mm]
Ist $x [mm] \in \IN=D_f$, [/mm] so ist $f(x)=2x [mm] \in \IN=Z_f$, [/mm] also ist $x [mm] \in f^{-1}(Z_f)=f^{-1}(\IN)$
[/mm]
Und um es mal vielleicht weniger "theoretisch" zu machen, eigentlich erkennt man ja hier sofort:
[mm] $f^{-1}(\IN)=\{x \in \IN=D_f: f(x)\in \IN=Z_f\}=\{x \in \IN: 2x \in \IN\}=\IN$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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