surjektiv/Komposition < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:35 Mo 17.09.2007 | | Autor: | SusanneK |
| Aufgabe | Seien A, B, C nicht leere Mengen und seien [mm] f: A \to B [/mm] und [mm] g: B \to C [/mm] Abbildungen.
Wahr oder falsch :
1. Wenn [mm] g \circ f [/mm] surjektiv ist, dann sind f und g surjektiv.
2. Wenn [mm] g \circ f [/mm] injektiv, dann sind f und g injektiv. |
Vorab: Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Zu 1.
Wenn die Komposition surjektiv ist, dann bedeutet das, dass in C alle Elemente getroffen werden müssen und dafür reicht es, wenn g surjektiv ist.
Zu 2.
Wenn die Komposition injektiv ist, dann muss f und g injektiv sein, sonst gibt es ein [mm] f(x)=f(x') [/mm] mit [mm] x \not= x' [/mm]
Stimmt das ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:15 Mo 17.09.2007 | | Autor: | Kroni |
> Seien A, B, C nicht leere Mengen und seien [mm]f: A \to B[/mm] und
> [mm]g: B \to C[/mm] Abbildungen.
> Wahr oder falsch :
> 1. Wenn [mm]g \circ f[/mm] surjektiv ist, dann sind f und g
> surjektiv.
> 2. Wenn [mm]g \circ f[/mm] injektiv, dann sind f und g injektiv.
> Vorab: Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum
> gestellt.
>
> Zu 1.
> Wenn die Komposition surjektiv ist, dann bedeutet das,
> dass in C alle Elemente getroffen werden müssen und dafür
> reicht es, wenn g surjektiv ist.
Hi,
ja, surjektiv bedeutet, wenn ich eine Abbildung $f: [mm] M\rightarrow [/mm] N$ dann gilt:
[mm] $\forall [/mm] n [mm] \in [/mm] N [mm] \exists m\in [/mm] M : f(m)=n$
Und das heitß ja eben, dass jedes Element der Zielmenge getroffen werden muss.
Daraus kann man folgen, dass g auf jeden Fall surjektiv sein muss, denn wenn g nicht surjektiv, dann kann das ganze keine surjektive Abbildung werden.
Okay, die Def-Menge von g ist ja die Zielmenge von f. D.h. du musst bei f(x) auch alle Elemente der Definitionsmenge von g treffen.
Also: Falls g surjektiv ist, und du die Def-Menge von g als Zielmenge von f nimmst, und g dann surjektiv ist, so ist die Gesamte Abbildung dann auch surjektiv.
g muss jedes Element der Zielmenge treffen, also surjektiv sein.
D.h. jedes Element aus der Zielmenge von g braucht mindestens ein Element aus der Def-Menge von g, damit die Funktion surjektiv ist.
Nun muss jedes Element der DefMenge von g, also der Zielmenge von f, von der Def-Menge von f getroffen werden.
Also wenn wir das so definieren:
Def-Menge von f wird auf die Zielmenge von f abgebildet. Die Zielmenge von f ist die Def-Menge von g, die auf die Zielmenge von g abgebildet wird.
Damit die Funktion $g [mm] \circ [/mm] f$ surjektiv ist, muss jedes Element der Zielmenge von f mindestens ein Element aus der Def-Menge von g haben.
Das setzt nicht zwingend vorraus, dass jedes Element der Def-Menge von g einem Element der Zielmenge von g zugeordnet werden muss. Das heißt also auch, dass nicht jedes Element der Zielmenge von f getroffen werden muss, also heißt das, dass f nicht zwingend surjektiv sein muss.
>
> Zu 2.
> Wenn die Komposition injektiv ist, dann muss f und g
> injektiv sein, sonst gibt es ein [mm]f(x)=f(x')[/mm] mit [mm]x \not= x'[/mm]
Okay, injektiv heißt, dass [mm] $\forall m\in [/mm] M , [mm] n\in [/mm] N : f(m)=f(n) [mm] \Rightarrow [/mm] m=n$
Oder anders gesagt: Wenn die Funktionswerte übereinstimmen, so muss auch gelten, dass die eingesetzten Werte gleich sind.
Angenommen, f sei nicht injektiv. Dann kannst du z.B. für ein x und x' den selben Funktionswert.
Setzt du diesen in g ein, so würdest du bei $g [mm] \circ [/mm] f$ mit Sicherheit den selben Funktionswert bekommen. D.h., aus $f(x)=f(x')$ folgt nicht $ x=x'$
D.h. f muss auf jeden Fall schonmal injektiv sein.
Angenommen, g sei nicht injektiv, so könnte man auch für verschieden Funktionswerte von f(x) die selben Werte bei g(f(x)) herausbekommen. So wäre die obige Bedingung für Injektivität auch nicht gegeben.
Also müssen sowohl g als auch f injektiv sein.
LG
Kroni
>
> Stimmt das ?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:24 Mo 17.09.2007 | | Autor: | SusanneK |
Vielen Dank für Deine schnelle Hilfe.
Wenn ich das richtig verstanden habe, dann sind beide Aussagen richtig ?
Es kann also nicht den Fall geben, dass in B ein Element nicht getroffen wird von f, aber durch g auf C abgebildet wird ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:30 Mo 17.09.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
doch, es kann sein, dass eine Abbildung surjektiv ist, auch wenn nicht (im Pfeildiagramm) von allen Objekten der Def-Menge von g ein Pfeil zu einem Objekt der Zielmenge von g geht. Das wäre z.B. der Fall, wenn die Zielmenge weniger Objekte hat als die Def-Menge. Denn dann können ja einige Objekte der DefMenge auf nichts abgebildet werden.
Daraus folgt dann, dass auch f nicht auf alle Objekte abgeildet werden müssen....
Es kommt eben drauf an, wie die Mengen aussehen. D.h. f muss nicht zwangsläufig surjektiv sein. (Das ist jetzt meine Überlegung).
LG
kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:36 Mo 17.09.2007 | | Autor: | SusanneK |
Das bedeutet, Aussage 1 ist falsch und Aussage 2 ist richtig.
Aus Komposition = surjektiv kann man nur schliessen, dass g auch surjektiv ist.
Aus Komposition = injektiv müssen beide injektiv sein.
..wenn ich das richtig verstanden habe..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:02 Mo 17.09.2007 | | Autor: | andreas |
hi
ich würde mir nochmal gedanken machen, ob nicht vielleicht auch aussage 2 falsch ist. um das zu beweisen genügt es ja ein gegenbeispiel anzugeben. betrachte etwa $A = C = [mm] \{1\}$, [/mm] $B = [mm] \{1, 2\}$ [/mm] sowie die abbildungen $f : A [mm] \longrightarrow [/mm] B; [mm] \; [/mm] f(1) = 1$ und $g: B [mm] \longrightarrow [/mm] C; [mm] \; [/mm] g(1) = g(2) = 1$. was kann man über die surjektivität injektivität von $f$, $g$ und $g [mm] \circ [/mm] f$ sagen?
grüße
andreas
[edit] surjektivität durch injektivität erstezt [/edit]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:19 Mo 17.09.2007 | | Autor: | Kroni |
> hi
Hi,
>
> ich würde mir nochmal gedanken machen, ob nicht vielleicht
> auch aussage 2 falsch ist.
Aufgabe 2 handelt doch von der injektivität...
um das zu beweisen genügt es ja
> ein gegenbeispiel anzugeben. betrachte etwa [mm]A = C = \{1\}[/mm],
> [mm]B = \{1, 2\}[/mm] sowie die abbildungen [mm]f : A \longrightarrow B; \; f(1) = 1[/mm]
> und [mm]g: B \longrightarrow C; \; g(1) = g(2) = 1[/mm]. was kann
> man über die surjektivität von [mm]f[/mm], [mm]g[/mm] und [mm]g \circ f[/mm] sagen?
Wenn du dieses Beispiel angibst, dann ist die erste Abbildung f ja nicht surjektiv. Die zweite Abbildung g ist aber surjektiv.
Das ist ja auch das, was ich in meiner letzten Antwort sagte....
LG
Kroni
>
> grüße
> andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:29 Mo 17.09.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> Aufgabe 2 handelt doch von der injektivität...
ja, das war ein tippfehler, da sollte natürlich
was kann man über die injektivität von $ f $, $ g $ und $ g [mm] \circ [/mm] f $ sagen?
stehen. werde das gleich mal ändern.
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:36 Mo 17.09.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
okay, also ist Behauptung 1) falsch.
Und dein Beispiel zeigt, dass $g [mm] \circ [/mm] f$ auch injektiv ist. Obwohl g nicht injektiv ist. Das liegt dann aber daran, weil f nur solche Bilder hat, dass immer nur eines der Urbilder von g getroffen wird.
Also sozusagen: da g(1)=g(2)=irgendetwas, dann darf entweder 1 oder 2 ein Bild von f sein. Beide dürfen es nicht sein, denn sonst wäre die Gesamtefunktion ja nicht injektiv.
Okay, somit habenwir ein Gegenbeweis gefunden, dass beide Funktionen injektiv sein müssen.
LG
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:36 Mo 17.09.2007 | | Autor: | SusanneK |
Hilfe, das habe ich nicht verstanden.
Erstmal vielen Dank für eure Hilfe (musste leider vorhin weg) !
Wenn ich - wie Andreas das vorschlägt - f injektiv und g surjektiv mache, warum ist dann die Komposition nicht mehr injektiv ? Ich habe das so verstanden, dass die 2 als Bild von f gar nicht vorkommt. Die 2 ist nur Element von B, wird von f nicht getroffen (geht ja bei injektiv) und erst von g abgebildet auf g(2) = 1 in der Menge C (was dann surjektiv wäre).
Die Komposition bliebe dann doch injektiv ? Oder ?
LG, Susanne.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:44 Mo 17.09.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> Wenn ich - wie Andreas das vorschlägt - f injektiv und g
> surjektiv mache, warum ist dann die Komposition nicht mehr
> injektiv ?
das $g$ surjektiv ist ist hier nicht weiter relevant. du willst ja die aussage prüfen "$g [mm] \circ [/mm] f$ injektiv [mm] $\Longrightarrow$ [/mm] $f$ und $g$ injektiv". um die aussage zu wiederlegen, musst du nur funktionen $f$ und $g$ finden, so dass $g [mm] \circ [/mm] f$ injektiv ist, daraus aber nicht folgt, dass $f$ und $g$ injektiv sind (das heißt es genügt, dass entweder $f$ oder $g$ nicht injektiv ist). kroni hat in seiner ersten antwort auch schon bewiesen, dass $f$ in solch einer situation immer injektiv ist. man muss also die funktionen $f$ und $g$ so bestimmen, dass $g [mm] \circ [/mm] f$ injektiv ist, $g$ allerdings nicht.
nun überlege dir, dass das auf das von mir angegeben beispiel zutrifft! warum ist $g [mm] \circ [/mm] f: A [mm] \longrightarrow [/mm] C$ injektiv? schreibe dir dazu zunächst die zuordnungsvorschrift auf.
warum ist $g$ nicht injektiv?
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:32 Mo 17.09.2007 | | Autor: | SusanneK |
Erstmal vielen Dank, Andreas !
Ok, mein Versuch:
g ist nicht injektiv, weil g(1) = 1 und g(2) = 1, aber 1 ungleich 2 ist.
Aber warum ist die Komposition injektiv ?
g(f(1)) = g(1) = 1
f(2) gibt es nicht.
..weil g(f(x)) = g(f(y)) bedeutet dass x=y ...also hier immer 1 ist ?
..und wenn A die Elemente 1 und 2 hätte, f(1) = 1, f(2) = 2, f also bijektiv wäre, damit aber auch injektiv beinhaltet ... und g(1) = 1 und g(2) = 1 wäre... dann wäre die Komposition [mm] g \circ f [/mm] nicht mehr injektiv - oder ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:24 Di 18.09.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> Ok, mein Versuch:
> g ist nicht injektiv, weil g(1) = 1 und g(2) = 1, aber 1
> ungleich 2 ist.
genau.
> Aber warum ist die Komposition injektiv ?
> g(f(1)) = g(1) = 1
> f(2) gibt es nicht.
warum auch, es ist doch $g [mm] \circ [/mm] f: [mm] \{ 1 \} \longrightarrow \{ 1 \}$, [/mm] gibt also keinen grund, warum die abbildung für $2$ definiert sein sollte.
> ..weil g(f(x)) = g(f(y)) bedeutet dass x=y ...also hier
> immer 1 ist ?
ja, genau. es ist ja $g [mm] \circ [/mm] f: [mm] \{ 1 \} \longrightarrow \{ 1 \}; \; [/mm] (g [mm] \circ [/mm] f)(1) = 1$ und abbildungen, die auf einelementigen mengen definiert sind, sind ja offensichtlich (nach dem von dir angeführten argument) immer injektiv.
außerdem sieht man, dass $A = C = [mm] \{1\}$ [/mm] und $g [mm] \circ [/mm] f = [mm] \textrm{id}_A$ [/mm] die identische abbildung ist und die ist ja stets bijektiv, also insbesonder injektiv.
> ..und wenn A die Elemente 1 und 2 hätte, f(1) = 1, f(2) =
> 2, f also bijektiv wäre, damit aber auch injektiv
> beinhaltet ... und g(1) = 1 und g(2) = 1 wäre... dann wäre
> die Komposition [mm]g \circ f[/mm] nicht mehr injektiv - oder ?
ja.
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:58 Di 18.09.2007 | | Autor: | SusanneK |
Uff, vielen vielen Dank !
Ich denke, ich habe das jetzt verstanden.
LG, Susanne.
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