surjektiv/injektiv < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:29 Mo 17.08.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen!
Ich habe hier eine Aussage, die ich nicht so ganz nachvollziehen kann.
Erstmal zur Surjektivität. Da steht:
Für $f:M [mm] \to [/mm] N$ und [mm] $g:N\to [/mm] P$ gilt:
a) $g [mm] \circ [/mm] f$ surjektiv [mm] \Rightarrow [/mm] $g$ surjektiv
b) $g [mm] \circ [/mm] f$ injektiv [mm] \Rightarrow [/mm] $g$ injektiv
Die erste Aussage kann ich glaub ich nachvollziehen. $g [mm] \circ [/mm] f$ bildet ja aus der Menge $N$ ab, aber nicht aus der ganzen Menge, sondern nur aus dem Teil, der Bild der Abbildung $f$ ist, also aus $f(M) [mm] \subset [/mm] N$. Und da diese "verkleinerte" Abbildung (also ein kleinerer Definitonsbereich für $g$) schon alle Werte aus $P$ trifft (da $g [mm] \circ [/mm] f$ surjektiv), dann kann ja $g$ alleine, auch wenn es noch andere Punkte aus der Menge $N$ benutzen kann, nicht noch mehr Punkte in $P$ treffen (weil es dort keine unbenutzen Punkte mehr gibt). Stimmt das so?
Aber die Aussage mit der Injektivität kann ich mir nicht erklären. Wenn $g [mm] \circ [/mm] f$ injektiv ist, dann bedeutet das doch, dass diese "verkleinerte" Abbildung keinen Punkt in $P$ doppelt trifft. So, aber ich verstehe nicht, warum ich daraus folgern kann, dass auch $g$ injektiv ist. Da $g$ ja von allen Punkten aus $N$ abbildet, kann doch einer dabei sein (der nicht Teil des Bildes von $f$ ist), der einen Punkt trifft, der auch schon von $g [mm] \circ [/mm] f$ getroffen wurde, oder nicht?
Vielen Dank für eure Hilfe.
LG, Nadine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:59 Mo 17.08.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Nadine!
> Hallo zusammen!
>
> Ich habe hier eine Aussage, die ich nicht so ganz
> nachvollziehen kann.
>
> Erstmal zur Surjektivität. Da steht:
>
> Für [mm]f:M \to N[/mm] und [mm]g:N\to P[/mm] gilt:
> a) [mm]g \circ f[/mm] surjektiv [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]g[/mm] surjektiv
> b) [mm]g \circ f[/mm] injektiv [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]g[/mm] injektiv
>
> Die erste Aussage kann ich glaub ich nachvollziehen. [mm]g \circ f[/mm]
> bildet ja aus der Menge [mm]N[/mm] ab, aber nicht aus der ganzen
> Menge, sondern nur aus dem Teil, der Bild der Abbildung [mm]f[/mm]
> ist, also aus [mm]f(M) \subset N[/mm]. Und da diese "verkleinerte"
> Abbildung (also ein kleinerer Definitonsbereich für [mm]g[/mm])
> schon alle Werte aus [mm]P[/mm] trifft (da [mm]g \circ f[/mm] surjektiv),
> dann kann ja [mm]g[/mm] alleine, auch wenn es noch andere Punkte aus
> der Menge [mm]N[/mm] benutzen kann, nicht noch mehr Punkte in [mm]P[/mm]
> treffen (weil es dort keine unbenutzen Punkte mehr gibt).
> Stimmt das so?
Ja, das stellst du dir richtig vor.
> Aber die Aussage mit der Injektivität kann ich mir nicht
> erklären. Wenn [mm]g \circ f[/mm] injektiv ist, dann bedeutet das
> doch, dass diese "verkleinerte" Abbildung keinen Punkt in [mm]P[/mm]
> doppelt trifft. So, aber ich verstehe nicht, warum ich
> daraus folgern kann, dass auch [mm]g[/mm] injektiv ist. Da [mm]g[/mm] ja von
> allen Punkten aus [mm]N[/mm] abbildet, kann doch einer dabei sein
> (der nicht Teil des Bildes von [mm]f[/mm] ist), der einen Punkt
> trifft, der auch schon von [mm]g \circ f[/mm] getroffen wurde, oder
> nicht?
Das ist richtig, die Folgerung gilt nur, wenn f surjektiv ist. Allerdings folgt aus [mm]g \circ f[/mm] injektiv, dass f injektiv ist. Vielleicht ist das ein Fehler in der Aufgabe?
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:30 Mo 17.08.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Rainer!
> Das ist richtig, die Folgerung gilt nur, wenn f surjektiv
> ist. Allerdings folgt aus [mm]g \circ f[/mm] injektiv, dass f
> injektiv ist. Vielleicht ist das ein Fehler in der
> Aufgabe?
Vielleicht hab ich einfach nur falsch abgeschrieben 
Aber auch da hab ich Schwierigkeiten.
Also wenn [mm]g \circ f[/mm] injektiv ist, dann heißt dass, dass verschiedene Elemente aus dem Bildraum von $f$, also aus $f(M)$, auf verschiedene Elemente von $P$ abgebildet werden.
Aber wieso kann ich daraus folgern, dass die Abbildung $f$ auch verschiedene Elemente aus $M$ auf verschiedene Elemente aus $f(M)$ abbildet? Es kann doch sein, dass $f(a)=f(b)=c$ wobei $a,b [mm] \in [/mm] M$ und $c [mm] \in [/mm] f(M)$, oder nicht? Aber das wäre ja dann nicht injektiv...
LG, Nadine
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> Also wenn [mm]g \circ f[/mm] injektiv ist, dann heißt dass, dass
> verschiedene Elemente aus dem Bildraum von [mm]f[/mm], also aus
> [mm]f(M)[/mm], auf verschiedene Elemente von [mm]P[/mm] abgebildet werden.
Hallo,
nein.
[mm] g\circ [/mm] f ist eine Abbildung von M nach P.
Wenn diese injektiv ist, bedeutet das, daß verschiedene Elemente aus M auf verschiedene Elemente aus P abgebildet werden.
> Aber wieso kann ich daraus folgern, dass die Abbildung [mm]f[/mm]
> auch verschiedene Elemente aus [mm]M[/mm] auf verschiedene Elemente
> aus [mm]f(M)[/mm] abbildet? Es kann doch sein, dass [mm]f(a)=f(b)=c[/mm]
Nein, dann kann [mm] g\cirg [/mm] f nicht injektiv sein, denn dann wäre ja [mm] (g\circ f)(a)=(g\circ [/mm] f)(b).
> wobei [mm]a,b \in M[/mm] und [mm]c \in f(M)[/mm], oder nicht? Aber das wäre
> ja dann nicht injektiv...
Was wäre nicht injektiv?
Irgendwie klingt's, als hättest Du den roten Faden verloren.
Zeigen willst Du:
[mm] g\circ [/mm] f injektiv ==> f injektiv
Dies kannst Du tun, indem Du annimmst, es wäre f nicht injektiv, und dies zum Widerspruch führst.
Der Beweis steht oben eigentlich schon.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:22 Mo 17.08.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Angela!
> [mm]g\circ[/mm] f ist eine Abbildung von M nach P.
>
> Wenn diese injektiv ist, bedeutet das, daß verschiedene
> Elemente aus M auf verschiedene Elemente aus P abgebildet
Äh, ja, stimmt ja...
... aber jetzt bin ich grad voll verwirrt...
Bei der ersten Folgerung mit dem surjektiv, da hatte ich doch auch geschrieben, dass [mm]g\circ f[/mm] aus einer Teilmenge von $N$, nämlich aus $f(M)$ abbildet, und da war es noch richtig:
> [...] Die erste Aussage kann ich glaub ich nachvollziehen. $ g [mm] \circ [/mm] f $
> bildet ja aus der Menge $ N $ ab, aber nicht aus der ganzen
> Menge, sondern nur aus dem Teil, der Bild der Abbildung $ f $
> ist, also aus $ f(M) [mm] \subset [/mm] N $ [...]
Was ist denn nun richtig?
LG, Nadine
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> Hallo Angela!
>
> > [mm]g\circ[/mm] f ist eine Abbildung von M nach P.
> >
> > Wenn diese injektiv ist, bedeutet das, daß verschiedene
> > Elemente aus M auf verschiedene Elemente aus P abgebildet
>
> Äh, ja, stimmt ja...
>
> ... aber jetzt bin ich grad voll verwirrt...
>
> Bei der ersten Folgerung mit dem surjektiv, da hatte ich
> doch auch geschrieben, dass [mm]g\circ f[/mm] aus einer Teilmenge
> von [mm]N[/mm], nämlich aus [mm]f(M)[/mm] abbildet, und da war es noch
> richtig:
Hallo,
über die Funktionen f und g schriebst Du:
"$ f:M [mm] \to [/mm] N $ und $ [mm] g:N\to [/mm] P $ ",
und wenn dies weiterhin wahr ist, ist [mm] g\circ [/mm] f eine Abbildung, die aus der Menge M in die Menge P geht.
Der Definitionsbereich von [mm] g\circ [/mm] f ist M - und zwar die komplette Menge M.
Für die Surjektivität ist von belang, daß wirklich jedes Element aus P "getroffen" wird, daß das Bild von [mm] g\circ [/mm] f, also [mm] (g\circ [/mm] f)(M), also nicht nur eine Teilmenge von P ist - die ist es ja sowieso.
Gruß v. Angela
P.S.: eventuell ist Dir nicht klar, daß bei [mm] g\circ [/mm] f zuerst die Funktion f auf das abzubildende Element losgelassen wird, und aufs Ergebnis dann g.
In Zeichen [mm] (g\circ [/mm] f)(x)=g(f(x)).
Spätestens hier siehst Du, daß die x der Menge M entstammen müssen.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:39 Mo 17.08.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Angela.
> > Bei der ersten Folgerung mit dem surjektiv, da hatte ich
> > doch auch geschrieben, dass [mm]g\circ f[/mm] aus einer Teilmenge
> > von [mm]N[/mm], nämlich aus [mm]f(M)[/mm] abbildet, und da war es noch
> > richtig:
>
> Hallo,
>
> über die Funktionen f und g schriebst Du:
>
> "[mm] f:M \to N[/mm] und [mm]g:N\to P[/mm] ",
>
> und wenn dies weiterhin wahr ist, ist [mm]g\circ[/mm] f eine
> Abbildung, die aus der Menge M in die Menge P geht.
>
> Der Definitionsbereich von [mm]g\circ[/mm] f ist M - und zwar die
> komplette Menge M.
>
> Für die Surjektivität ist von belang, daß wirklich jedes
> Element aus P "getroffen" wird, daß das Bild von [mm]g\circ[/mm] f,
> also [mm](g\circ[/mm] f)(M), also nicht nur eine Teilmenge von P ist
Ok, also noch mal von vorn:
$ g [mm] \circ [/mm] f $ bildet aus der Menge $ M $ ab. Diese trifft schon alle Werte aus $ P $ (da $ g [mm] \circ [/mm] f $ surjektiv).
Warum kann ich aber nun daraus folgern, dass $g$ surjektiv?
Wenn $ g [mm] \circ [/mm] f $ alle Werte in $P$ trifft, und ich zuerst $f$ ausführe und dann $g$, kann $ g [mm] \circ [/mm] f $ überhaupt surjektiv sein, wenn $g$ nicht surjektiv ist?
Wenn $g$ z.B. nur injektiv wäre, dann würde doch die Komposition nicht zwingend alle Punkte in $P$ treffen, oder?
Also ist quasi Surjektivität von $g$ Vorraussetzung für Surjektivität von $ g [mm] \circ [/mm] f $?
Kann ich dann nicht sogar sagen: $ g [mm] \circ [/mm] f $ surjektiv [mm] \gdw [/mm] $g$ surjektiv?
LG, Nadine
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> > über die Funktionen f und g schriebst Du:
> >
> > "[mm] f:M \to N[/mm] und [mm]g:N\to P[/mm] ",
> >
> > und wenn dies weiterhin wahr ist, ist [mm]g\circ[/mm] f eine
> > Abbildung, die aus der Menge M in die Menge P geht.
> >
> > Der Definitionsbereich von [mm]g\circ[/mm] f ist M - und zwar die
> > komplette Menge M.
> >
> > Für die Surjektivität ist von Belang, daß wirklich jedes
> > Element aus P "getroffen" wird, daß das Bild von [mm]g\circ[/mm] f,
> > [mm](g\circ[/mm] f)(M), also nicht nur eine Teilmenge von P ist
>
> Ok, also noch mal von vorn:
>
> [mm]g \circ f[/mm] bildet aus der Menge [mm]M[/mm] ab.
Ja.
> Diese trifft schon
> alle Werte aus [mm]P[/mm] (da [mm]g \circ f[/mm] surjektiv).
Ja.
>
> Warum kann ich aber nun daraus folgern, dass [mm]g[/mm] surjektiv?
Das ist die Frage...
>
> Wenn [mm]g \circ f[/mm] alle Werte in [mm]P[/mm] trifft, und ich zuerst [mm]f[/mm]
> ausführe und dann [mm]g[/mm], kann [mm]g \circ f[/mm] überhaupt surjektiv
> sein, wenn [mm]g[/mm] nicht surjektiv ist?
Haargenau dies ist die Sache, der Du auf den Grund gehen mußt.
> Wenn [mm]g[/mm] z.B. nur injektiv wäre,
> dann würde doch die
> Komposition nicht zwingend alle Punkte in [mm]P[/mm] treffen, oder?
Ja.
Wenn g nicht surjektiv ist, also schon g(N) [mm] \not=P, [/mm] dann ist erst recht [mm] g(f(M))\not=p, [/mm] denn schließlich ist [mm] f(M)\subseteq [/mm] N.
> Also ist quasi Surjektivität von [mm]g[/mm] Vorraussetzung für
> Surjektivität von [mm]g \circ f [/mm]?
Richtig. Ohne Surjektivität von g kann [mm] g\circ [/mm] f nicht surjektiv sein.
> Kann ich dann nicht sogar
> sagen: [mm]g \circ f[/mm] surjektiv [mm]\gdw[/mm] [mm]g[/mm] surjektiv?
Darüber solltest Du lieber selber ein Weilchen nachdenken.
Beweise es oder bring ein Gegenbeispiel.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:53 Di 18.08.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Angela!
> > Wenn [mm]g \circ f[/mm] alle Werte in [mm]P[/mm] trifft, und ich zuerst [mm]f[/mm]
> > ausführe und dann [mm]g[/mm], kann [mm]g \circ f[/mm] überhaupt surjektiv
> > sein, wenn [mm]g[/mm] nicht surjektiv ist?
>
> Haargenau dies ist die Sache, der Du auf den Grund gehen
> mußt.
Bei dem anderen Punkt ($g [mm] \circ [/mm] f$ injektiv [mm] \Rightarrow [/mm] $f$ injektiv) ist das dann doch quasi genau so. Wenn $g [mm] \circ [/mm] f$ injektiv, dann kann $f$ doch gar nicht anders, als injektiv zu sein, weil sonst die Komposition nicht mehr injektiv sein kann, oder? Also ist hier Injektivität von [mm]f[/mm] Vorraussetzung für Injektivität von [mm]g \circ f [/mm]?
> > Kann ich dann nicht sogar
> > sagen: [mm]g \circ f[/mm] surjektiv [mm]\gdw[/mm] [mm]g[/mm] surjektiv?
>
> Darüber solltest Du lieber selber ein Weilchen
> nachdenken.
> Beweise es oder bring ein Gegenbeispiel.
Hmm, also ich finde weder ein Gegenbeispiel noch einen Beweis...
Wahrscheinlich ist es nicht so, weil sonst in unserer Vorlesung etwas anderes stehen würde
Aber irgendwie sagt mein Gefühl, dass wenn $g$ surjektiv ist, dass dann eine Komposition, in der $g$ als zweites ausgeführt wird, immer surjektiv ist...
LG, Nadine
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Hallo,
das mit der Injektivität sieht man aber auch schnell anhand der Def.
Ich denke ihr müsstet soetwas gehabt haben wie:
[mm] $g\circ [/mm] f$ injektiv [mm] $\gdw g\circ f(x)=g\circ [/mm] f(y) [mm] \Rightarrow [/mm] x=y$.
Ann.: $f$ nicht injektiv.
d.h. es gibt $f(x)=f(y)$, aber [mm] $x\not=y$.
[/mm]
und damit folgt dann wegen $ [mm] g\circ f(x)=g\circ [/mm] f(y)$ injektiv $g(f(x))=g(f(y)) [mm] \Rightarrow [/mm] x=y$ (Wid.) denn nach Vor. ist [mm] $x\not=y$. [/mm]
Zu der Surjektivität:
Nimm dir doch einfach ein surjektives g, und dann eine Funktion f, die g so einschränkt, dass [mm] $g\circ [/mm] f$ eben nicht mehr surjektiv ist. (Das kannst du dir auch skizzieren, einfach 3 Mengen malen und 3 Pfeile für Funktionen.)
lg Kai
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:02 Mi 16.09.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Kai!
> das mit der Injektivität sieht man aber auch schnell
> anhand der Def.
>
> Ich denke ihr müsstet soetwas gehabt haben wie:
>
> [mm]g\circ f[/mm] injektiv [mm]\gdw g\circ f(x)=g\circ f(y) \Rightarrow x=y[/mm].
Nein, sowas hatten wir nicht... :-(
> Zu der Surjektivität:
>
> Nimm dir doch einfach ein surjektives g, und dann eine
> Funktion f, die g so einschränkt, dass [mm]g\circ f[/mm] eben nicht
> mehr surjektiv ist. (Das kannst du dir auch skizzieren,
> einfach 3 Mengen malen und 3 Pfeile für Funktionen.)
Hmm, das versuch ich schon die ganze Zeit, aber irgendwie krieg ich's nicht hin.
Kannst du mir einen Tipp geben?
LG, Nadine
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> Hallo Kai!
>
>
>
> > das mit der Injektivität sieht man aber auch schnell
> > anhand der Def.
> >
> > Ich denke ihr müsstet soetwas gehabt haben wie:
> >
> > [mm]g\circ f[/mm] injektiv [mm]\gdw g\circ f(x)=g\circ f(y) \Rightarrow x=y[/mm].
>
> Nein, sowas hatten wir nicht... :-(
Hallo,
das kann ja wohl nicht sein. Die def. für Injektivität einer Funktion h müßte doch drangewesen sein. Sonst wären ja die ganzen Aufgeben unlösbar.
> > Zu der Surjektivität:
> >
> > Nimm dir doch einfach ein surjektives g, und dann eine
> > Funktion f, die g so einschränkt, dass [mm]g\circ f[/mm] eben nicht
> > mehr surjektiv ist. (Das kannst du dir auch skizzieren,
> > einfach 3 Mengen malen und 3 Pfeile für Funktionen.)
>
> Hmm, das versuch ich schon die ganze Zeit, aber irgendwie
> krieg ich's nicht hin.
>
> Kannst du mir einen Tipp geben?
Worum geht's jetzt? (Ich habe die Diskussion nach einem Monat nicht mehr so gut im Kopf...)
Darum, daß aus g surjektiv nicht [mm] g\circ [/mm] f surjektiv folgt?
Nimm z.B.
[mm] g:\{1,2,3\}\to \{1,2,3\}
[/mm]
g(x):=x
und
[mm] f:\\{1,2,3\}\to \{1,2,3\}
[/mm]
f(x):=1.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:27 So 20.09.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Angela!
> das kann ja wohl nicht sein. Die def. für Injektivität
> einer Funktion h müßte doch drangewesen sein. Sonst
> wären ja die ganzen Aufgeben unlösbar.
Oh ja, na klar hatten wir die Definition von Injektiv.
Ich habs nur wegen der Komposition nicht gesehen... ![[verlegen]](/images/smileys/verlegen.gif "[verlegen]")
> Worum geht's jetzt? (Ich habe die Diskussion nach einem
> Monat nicht mehr so gut im Kopf...)
> Darum, daß aus g surjektiv nicht [mm]g\circ[/mm] f surjektiv
> folgt?
>
> Nimm z.B.
>
> [mm]g:\{1,2,3\}\to \{1,2,3\}[/mm]
> g(x):=x
>
> und
>
> [mm]f:\\{1,2,3\}\to \{1,2,3\}[/mm]
> f(x):=1.
Danke für das Beispiel.
LG, Nadine
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:10 Mi 16.09.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Angela!
> > Kann ich dann nicht sogar
> > sagen: [mm]g \circ f[/mm] surjektiv [mm]\gdw[/mm] [mm]g[/mm] surjektiv?
>
> Darüber solltest Du lieber selber ein Weilchen
> nachdenken.
> Beweise es oder bring ein Gegenbeispiel.
Ich hab hierzu immer noch keinen Beweis oder ein Gegenbeispiel gefunden, aber irgendwie bin ich immer noch der Überzeugung, dass das Ganze äquivalent sein muss.
Kannst du mir vielleicht einen Tipp geben?
LG, Nadine
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:20 Mi 16.09.2009 | | Autor: | fred97 |
Die Funktion [mm] g:\IR \to \IR, [/mm] $g(x) = x, $ ist surjektiv.
Ist nun f: [mm] \IR \to \IR [/mm] eine konstante Funktion, so ist $g [mm] \circ [/mm] f$ ebenfalls konstant, und somit nicht surjektiv.
FRED
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:28 Mi 16.09.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Fred.
> Die Funktion [mm]g:\IR \to \IR,[/mm] [mm]g(x) = x,[/mm] ist surjektiv.
>
> Ist nun f: [mm]\IR \to \IR[/mm] eine konstante Funktion, so ist [mm]g \circ f[/mm]
> ebenfalls konstant, und somit nicht surjektiv.
Danke für dein Beispiel, das hab ich verstanden.
Voraussetzung für etwas zu sein, heißt also nicht, dass aus der Vorausetzung das dann auch immer folgen muss, richtig?
Aber wenn es folgt, dann muss die Voraussetzung immer gegeben sein, richtig?
Zum Vergleich: Es muss ja auch nicht regnen, wenn Wolken da sind, aber wenn ich keine hab, kann es auch nicht regnen. Wolken sind also Voraussetzung für Regen, aber es muss nicht zwingend folgen.
[Doofes Beispiel, aber mir fiel grad nix anderes ein...]
LG, Nadine
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> Voraussetzung für etwas zu sein, heißt also nicht, dass
> aus der Vorausetzung das dann auch immer folgen muss,
> richtig?
>
> Aber wenn es folgt, dann muss die Voraussetzung immer
> gegeben sein, richtig?
Hallo,
Dein Wolkenbeispiel find' ich nicht blöd.
regnet ==> es sind Wolken da
ist gleichbedeutend mit
es sind keine Wolken da ==> es regnet nicht
So etwas kennt man ja auch aus der Schule von den Extremwerten und der ersten Ableitung.
f'(x)=0 ist Voraussetzung dafür, daß man einen Extremwert hat, aber keine Garantie.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:17 Mi 16.09.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Rainer!
> Das ist richtig, die Folgerung gilt nur, wenn f surjektiv
> ist. Allerdings folgt aus [mm]g \circ f[/mm] injektiv, dass f
> injektiv ist. Vielleicht ist das ein Fehler in der
> Aufgabe?
Ich war jetzt ne Zeit lang nicht da und irgendwie kann ich meine eigenen Gedanken nicht mehr nachvollziehen...
Mittlerweile versteh ich nicht mehr, warum die Folgerung, so wie sie bei mir in der Vorlesung steht, falsch ist...
Das war ja: $f: M [mm] \to [/mm] N$ und $g: N [mm] \to [/mm] P$, $g [mm] \circ [/mm] f$ injektiv [mm] \Rightarrow [/mm] $g$ injektiv.
Wenn die Komposition injektiv ist, also verschiedene Werte aus $M$ auf verschiedene Werte aus $P$ abgebildet werden, dann muss doch auch $g$ injektiv sein, weil wäre $g$ nicht injektiv, kann es doch sein, dass $g$ zwei Funktionswerte von $f$ auf den selben Wert in $P$ abbildet und dann wäre die Komposition nicht mehr injektiv...
Stimmt das so nicht?
LG, Nadine
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:27 Mi 16.09.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Rainer!
>
>
>
> > Das ist richtig, die Folgerung gilt nur, wenn f surjektiv
> > ist. Allerdings folgt aus [mm]g \circ f[/mm] injektiv, dass f
> > injektiv ist. Vielleicht ist das ein Fehler in der
> > Aufgabe?
>
> Ich war jetzt ne Zeit lang nicht da und irgendwie kann ich
> meine eigenen Gedanken nicht mehr nachvollziehen...
>
> Mittlerweile versteh ich nicht mehr, warum die Folgerung,
> so wie sie bei mir in der Vorlesung steht, falsch ist...
>
> Das war ja: [mm]f: M \to N[/mm] und [mm]g: N \to P[/mm], [mm]g \circ f[/mm] injektiv
> [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]g[/mm] injektiv.
Diese Aussage ist falsch !!
Sei f: [0, [mm] \infty) \to \IR, [/mm] f(x) = [mm] \wurzel{x} [/mm] und [mm] g:\IR \to \IR, [/mm] g(x) = [mm] x^2.
[/mm]
Dann ist $g [mm] \circ [/mm] f$ injektiv, g aber nicht
FRED
>
> Wenn die Komposition injektiv ist, also verschiedene Werte
> aus [mm]M[/mm] auf verschiedene Werte aus [mm]P[/mm] abgebildet werden, dann
> muss doch auch [mm]g[/mm] injektiv sein, weil wäre [mm]g[/mm] nicht
> injektiv, kann es doch sein, dass [mm]g[/mm] zwei Funktionswerte von
> [mm]f[/mm] auf den selben Wert in [mm]P[/mm] abbildet und dann wäre die
> Komposition nicht mehr injektiv...
>
> Stimmt das so nicht?
>
>
>
> LG, Nadine
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:47 Mi 16.09.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Fred.
> Diese Aussage ist falsch !!
>
> Sei f: [0, [mm]\infty) \to \IR,[/mm] f(x) = [mm]\wurzel{x}[/mm] und [mm]g:\IR \to \IR,[/mm]
> g(x) = [mm]x^2.[/mm]
>
> Dann ist [mm]g \circ f[/mm] injektiv, g aber nicht
Hmm, achso...
Das hat was mir der Umkehrabbildung zu tun, oder?
Aber zumindest für das Bild von $f$, also für die Werte in $f(M) [mm] \subset [/mm] N$ muss $g$ doch injektiv sein, oder?
Weil wenn zwei verschiedene $f(x)$ auf ein $g(f(x))$ abgebildet werden, dann ist die Komposition doch nicht nicht mehr injektiv, oder?
So, Rainer hat ja gesagt, die Aussage muss wie folgt lauten: $g [mm] \circ [/mm] f$ injektiv [mm] \Rightarrow [/mm] $f$ injektiv.
Das verstehe ich noch nicht.
Was wäre so schlimm daran, wenn ein $f(x)$ doppelt getroffen würde?
Das schließt doch nicht aus, das im Zielbereich $P$ der Komposition nicht wieder jeder Wert nur einmal getroffen wird, oder doch?
[Das in einer Abbildung Funktionswerte mehrfach getroffen werden, bedeutet noch nicht, dass die Abbildung surjektiv ist, oder? Für Surjektivität müsste der komplette Wertebereich der Abbildung getroffen werden, oder?]
LG, Nadine
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:52 Mi 16.09.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred.
>
>
>
> > Diese Aussage ist falsch !!
> >
> > Sei f: [0, [mm]\infty) \to \IR,[/mm] f(x) = [mm]\wurzel{x}[/mm] und [mm]g:\IR \to \IR,[/mm]
> > g(x) = [mm]x^2.[/mm]
> >
> > Dann ist [mm]g \circ f[/mm] injektiv, g aber nicht
>
>
>
> Hmm, achso...
>
> Das hat was mir der Umkehrabbildung zu tun, oder?
>
> Aber zumindest für das Bild von [mm]f[/mm], also für die Werte in
> [mm]f(M) \subset N[/mm] muss [mm]g[/mm] doch injektiv sein, oder?
>
> Weil wenn zwei verschiedene [mm]f(x)[/mm] auf ein [mm]g(f(x))[/mm] abgebildet
> werden, dann ist die Komposition doch nicht nicht mehr
> injektiv, oder?
>
>
>
> So, Rainer hat ja gesagt, die Aussage muss wie folgt
> lauten: [mm]g \circ f[/mm] injektiv [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]f[/mm] injektiv.
>
> Das verstehe ich noch nicht.
Sei $f(x) =f(y)$ . Dann ist $(g [mm] \circ [/mm] f)(x) = (g [mm] \circ [/mm] f)(y)$. Da [mm]g \circ f[/mm] injektiv ist, folgt x=y
FRED
>
> Was wäre so schlimm daran, wenn ein [mm]f(x)[/mm] doppelt getroffen
> würde?
>
> Das schließt doch nicht aus, das im Zielbereich [mm]P[/mm] der
> Komposition nicht wieder jeder Wert nur einmal getroffen
> wird, oder doch?
>
>
>
> [Das in einer Abbildung Funktionswerte mehrfach getroffen
> werden, bedeutet noch nicht, dass die Abbildung surjektiv
> ist, oder? Für Surjektivität müsste der komplette
> Wertebereich der Abbildung getroffen werden, oder?]
>
>
>
> LG, Nadine
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:06 Mi 16.09.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Fred.
> Sei [mm]f(x) =f(y)[/mm] . Dann ist [mm](g \circ f)(x) = (g \circ f)(y)[/mm].
> Da [mm]g \circ f[/mm] injektiv ist, folgt x=y
Ich verstehe hier die Beweisführung nicht so recht.
Warum fängst du an mit [mm]f(x) =f(y)[/mm]?
Wir wollen doch aus der Komposition etwas folgern, warum fangen wir nicht damit an?
Also so: Sei [mm](g \circ f)(x) = (g \circ f)(y)[/mm], daraus folgt, dass $x=y$ weil $g [mm] \circ [/mm] f$ injektiv.
Und daraus müsste man dann zeigen, dass $f$ injektiv (wie?)...
Ich verstehe nicht, warum man von vornherein sagen muss, dass [mm]f(x) =f(y)[/mm] ist und daraus die Gleichheit, der Kompositions-Funktionswerte folgert.
Möglicherweise können diese ja auch gleich sein, ohne das es die Funktionswerte von $f$ sind, wir kennen ja die konkrete Abbild nicht....
Das ist mir irgendwie schleierhaft... ![[nixweiss]](/images/smileys/nixweiss.gif "[nixweiss]")
Was war eigentlicht mit meiner Vermutung, dass $g$ zumindest mal auf dem Bildbereich $f(M) [mm] \subset [/mm] N$ injektiv sein muss?
Stimmt das?
LG, Nadine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:16 Mi 16.09.2009 | | Autor: | fred97 |
Voraussetzung: g [mm] \circ [/mm] f ist injektiv.
Behauptung: f ist injektiv.
So, nun brauchst Du noch die Def. von "injektiv":
f ist injektiv [mm] \gdw [/mm] aus f(x) =f(y) folgt stets x=y
FRED
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:24 Mi 16.09.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Fred!
> Voraussetzung: g [mm]\circ[/mm] f ist injektiv.
>
> Behauptung: f ist injektiv.
>
> So, nun brauchst Du noch die Def. von "injektiv":
>
> f ist injektiv [mm]\gdw[/mm] aus f(x) =f(y) folgt stets x=y
Hmm, ... aber es kann doch immer noch sein, dass $g(f(x))=g(f(y))$ ohne das $f(x)=f(y)$ oder nicht?
(Entschuldige bitte meine vielen Nachfragen, aber bei mir dauert es immer, bis es bei einem Beweis mal Klick macht...)
Ich versuch vielleicht mal in einem Bild zu zeigen, was ich meine:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Die Kompostion $g [mm] \circ [/mm] f$ hier ist doch injektiv, weil verschiedene Werte aus $M$ auf verschiedene Werte aus $P$ abgebildet werden.
Trotzdem ist $f$ nicht injektiv.
Das ist doch eigentlich ein Gegenbeispiel zu der Aussage, oder?
LG, Nadine
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:32 Mi 16.09.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred!
>
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> > Voraussetzung: g [mm]\circ[/mm] f ist injektiv.
> >
> > Behauptung: f ist injektiv.
> >
> > So, nun brauchst Du noch die Def. von "injektiv":
> >
> > f ist injektiv [mm]\gdw[/mm] aus f(x) =f(y) folgt stets x=y
>
>
>
> Hmm, ... aber es kann doch immer noch sein, dass
> [mm]g(f(x))=g(f(y))[/mm] ohne das [mm]f(x)=f(y)[/mm] oder nicht?
>
Nochmal: zu zeigen ist, dass f injektiv ist. Dazu ist zu zeigen: aus f(x) = f(y) folgt : x= y.
Sei also f(x) = f(y). Dann ist auch (g [mm] \circ [/mm] f)(x) = (g [mm] \circ [/mm] f)(y). Nach Vor. ist
g [mm] \circ [/mm] f injektiv. Folglich ist x=y.
> (Entschuldige bitte meine vielen Nachfragen, aber bei mir
> dauert es immer, bis es bei einem Beweis mal Klick
> macht...)
>
> Ich versuch vielleicht mal in einem Bild zu zeigen, was ich
> meine:
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Die Kompostion [mm]g \circ f[/mm] hier ist doch injektiv, weil
> verschiedene Werte aus [mm]M[/mm] auf verschiedene Werte aus [mm]P[/mm]
> abgebildet werden.
Das stimmt doch nicht ! Die ersten 2 schwarzen Punkte in M werden durch
g [mm] \circ [/mm] f auf den gleichen Punkt in P abgebildet !
g [mm] \circ [/mm] f ist also nicht injektiv.
FRED
>
> Trotzdem ist [mm]f[/mm] nicht injektiv.
>
> Das ist doch eigentlich ein Gegenbeispiel zu der Aussage,
> oder?
>
>
>
> LG, Nadine
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:26 Mi 16.09.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Fred.
> Nochmal: zu zeigen ist, dass f injektiv ist. Dazu ist zu
> zeigen: aus f(x) = f(y) folgt : x= y.
>
> Sei also f(x) = f(y). Dann ist auch (g [mm]\circ[/mm] f)(x) = (g
> [mm]\circ[/mm] f)(y). Nach Vor. ist
> g [mm]\circ[/mm] f injektiv. Folglich ist x=y.
> Das stimmt doch nicht ! Die ersten 2 schwarzen Punkte in M
> werden durch
> g [mm]\circ[/mm] f auf den gleichen Punkt in P abgebildet !
>
> g [mm]\circ[/mm] f ist also nicht injektiv.
Achso...
Ok, ich denke, dass es mir jetzt einigermaßen klar ist.
Danke.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:30 Mi 16.09.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo!
Ich wollte nochmal eine Frage von mir vorholen, die noch offen geblieben ist:
> > Diese Aussage ist falsch !!
> >
> > Sei f: [0, [mm]\infty) \to \IR,[/mm] f(x) = [mm]\wurzel{x}[/mm] und [mm]g:\IR \to \IR,[/mm]
> > g(x) = [mm]x^2.[/mm]
> >
> > Dann ist [mm]g \circ f[/mm] injektiv, g aber nicht
>
>
>
> Hmm, achso...
>
> Das hat was mir der Umkehrabbildung zu tun, oder?
>
> Aber zumindest für das Bild von [mm]f[/mm], also für die Werte in
> [mm]f(M) \subset N[/mm] muss [mm]g[/mm] doch injektiv sein, oder?
>
> Weil wenn zwei verschiedene [mm]f(x)[/mm] auf ein [mm]g(f(x))[/mm] abgebildet
> werden, dann ist die Komposition doch nicht nicht mehr
> injektiv, oder?
Stimmt das mit der Injektivität von $g$ für die eingeschränkte Menge [mm]f(M) \subset N[/mm]?
LG, Nadine
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> Hallo!
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>
>
> Ich wollte nochmal eine Frage von mir vorholen, die noch
> offen geblieben ist:
>
>
>
> > > Diese Aussage ist falsch !!
> > >
> > > Sei f: [0, [mm]\infty) \to \IR,[/mm] f(x) = [mm]\wurzel{x}[/mm] und [mm]g:\IR \to \IR,[/mm]
> > > g(x) = [mm]x^2.[/mm]
> > >
> > > Dann ist [mm]g \circ f[/mm] injektiv, g aber nicht
> >
> >
> >
> > Hmm, achso...
> >
> > Das hat was mir der Umkehrabbildung zu tun, oder?
> >
> > Aber zumindest für das Bild von [mm]f[/mm], also für die Werte in
> > [mm]f(M) \subset N[/mm] muss [mm]g[/mm] doch injektiv sein, oder?
> >
> > Weil wenn zwei verschiedene [mm]f(x)[/mm] auf ein [mm]g(f(x))[/mm] abgebildet
> > werden, dann ist die Komposition doch nicht nicht mehr
> > injektiv, oder?
>
>
>
> Stimmt das mit der Injektivität von [mm]g[/mm] für die
> eingeschränkte Menge [mm]f(M) \subset N[/mm]?
Hallo,
Du verlangst viel Kombinationsvermögen. Weiß der geier, was Du hier gerade mit M und N meinst. So 'ne kleine Gedankenstütze wäre nicht übel, denn die wenigsten werden Lust haben, den kompletten Thread zu durchforsten.
Falls Du sagen willst, daß die Funktion [mm] g_1 [/mm] mit
[mm] g_1: [0,\infty) \to \IR [/mm] mit
[mm] g_1(x):=g(x)= x^2
[/mm]
injektiv ist, so hast Du recht.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:30 So 20.09.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Angela!
> Du verlangst viel Kombinationsvermögen. Weiß der geier,
> was Du hier gerade mit M und N meinst. So 'ne kleine
> Gedankenstütze wäre nicht übel, denn die wenigsten
> werden Lust haben, den kompletten Thread zu durchforsten.
Oh ja, klar, da hast du recht, da hab ich gar nicht dran gedacht...
Entschuldigung.
> Falls Du sagen willst, daß die Funktion [mm]g_1[/mm] mit
>
> [mm]g_1: [0,\infty) \to \IR[/mm] mit
> [mm]g_1(x):=g(x)= x^2[/mm]
>
> injektiv ist, so hast Du recht.
Danke für deine Hilfe.
LG, Nadine
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