surjektiv und injektiv < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:40 Mo 19.11.2007 | | Autor: | JanJan |
| Aufgabe | Gegeben sei die lineare Abbildung T : [mm] \IR^{3} \to \IR^{2} [/mm] durch
T [mm] \vektor{x_{1}\\ x_{2}\\x_{3}} [/mm] := [mm] \vektor{x_{1}-2x_{3}\\ 2x_{1}+5x_{2}+x_{3}}.
[/mm]
Bestimmen Sie den Kern von T und untersuchen Sie, ob T injektiv oder surjektiv ist. |
Mein Ansatz:
[mm] x_{1}-2x_{3} [/mm] = 0
[mm] 2x_{1}+5x_{2}+x_{3} [/mm] = 0
Also gilt: Kern(T) = [mm] \begin{Bmatrix} \vektor{x_{1}\\ -\bruch{1}{2}x_{1}\\ \bruch{1}{2}x_{1}} \end{Bmatrix}.
[/mm]
Somit hat der Kern die Dimension 1 [mm] \not= [/mm] 0,
also ist T nicht injektiv.
Stimmt das?
Wie würde ich jetzt für eine Prüfung auf Surjektivität vorgehen?
Ich könnte ja alle Elemente aus dem Bild von T durch [mm] \vektor{u \\ 2u+5x_{3}+5x_{2}}, [/mm] mit u [mm] \in \IR, [/mm] also wäre u frei wählbar, wodurch der x-Komponente und der y-Komponente unabhängig voneinander jeder beliebige Wert aus [mm] \IR [/mm] zugewiesen werden kann.
Folglich ist Bild = Bildraum => T surjektiv. Geht das?
PS: Gibt es so etwas wie Schlüsselkriterien für Untersuchungen auf Injektivität und Surjktivität bei Linearen Abbildungen? so etwas wie, wenn dim(Kern(L)) [mm] \not= [/mm] 0, L nicht injektiv?
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Hallo Jan,
> Gegeben sei die lineare Abbildung T : [mm]\IR^{3} \to \IR^{2}[/mm]
> durch
>
> T [mm]\vektor{x_{1}\\ x_{2}\\x_{3}}[/mm] := [mm]\vektor{x_{1}-2x_{3}\\ 2x_{1}+5x_{2}+x_{3}}.[/mm]
>
> Bestimmen Sie den Kern von T und untersuchen Sie, ob T
> injektiv oder surjektiv ist.
> Mein Ansatz:
>
> [mm]x_{1}-2x_{3}[/mm] = 0
> [mm]2x_{1}+5x_{2}+x_{3}[/mm] = 0
>
> Also gilt: Kern(T) = [mm]\begin{Bmatrix} \vektor{x_{1}\\ -\bruch{1}{2}x_{1}\\ \bruch{1}{2}x_{1}} \end{Bmatrix}.[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Somit hat der Kern die Dimension 1 [mm]\not=[/mm] 0,
> also ist T nicht injektiv. ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
>
> Stimmt das?
Jo, das ist gut !!
> Wie würde ich jetzt für eine Prüfung auf Surjektivität
> vorgehen?
>
> Ich könnte ja alle Elemente aus dem Bild von T durch
> [mm] \vektor{u \\ 2u+5x_{3}+5x_{2}}, [/mm] mit [mm] u\in \IR,
[/mm]
wie kommst du darauf, ich seh's gerade nicht ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Du müsstest zeigen, dass es zu jedem Vektor [mm] $u=\vektor{u_1\\u_2}\in\IR^2$ [/mm] einen Vektor [mm] $x=\vektor{x_1\\x_2\\x_3}\in\IR^3$ [/mm] gibt mit $T(x)=u$
> also wäre u
> frei wählbar, wodurch der x-Komponente und der y-Komponente
> unabhängig voneinander jeder beliebige Wert aus [mm]\IR[/mm]
> zugewiesen werden kann.
Mach's dir nicht zu schwer, was sagt denn der Kern-Bild-Satz....
Wie ist die Dimension des Bildes von T ?
... *klingel* 
> Folglich ist Bild = Bildraum => T surjektiv. Geht das?
Genau das gibt ja der Kern-Bild Satz her...
>
> PS: Gibt es so etwas wie Schlüsselkriterien für
> Untersuchungen auf Injektivität und Surjktivität bei
> Linearen Abbildungen? so etwas wie, wenn dim(Kern(L)) [mm]\not=[/mm]
> 0, L nicht injektiv?
Ja, das ist ein wichtiges Kriterium, das immer wiederkehrt.
Dann ist der Kern-Bild Satz immer nützlich...
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:29 Di 20.11.2007 | | Autor: | JanJan |
>
> Ich könnte ja alle Elemente aus dem Bild von T durch
> $ [mm] \vektor{u \\ 2u+5x_{3}+5x_{2}}, [/mm] $ mit $ [mm] u\in \IR, [/mm] $
>
>wie kommst du darauf, ich seh's gerade nicht
an der Stelle habe ich aus diesem Vektor: $ [mm] \vektor{x_{1}-2x_{3}\\ 2x_{1}+5x_{2}+x_{3}}$ [/mm] mit der Substitution [mm] u=x_{1}-2x_{3}, [/mm] diesen Vektor gemacht: [mm] \vektor{u \\ 2u+5x_{3}+5x_{2}}
[/mm]
Das ganze dient dann dem Zweck, dass man "leicht" sehen kann, dass man für die 1. Komponente einen beliebigen Wert u [mm] \in \IR [/mm] erhalten kann, und für die 2. Komponente jeden anderen beliebigen Wert.
Folglich kann man jeden Vektor des [mm] \IR^{2} [/mm] damit darstellen.
[mm] \Rightarrow [/mm] T ist surjektiv
Wäre diese Begründung in Ordnung?
Meinst du mit Kern-Bild Satz den Dimensionssatz?
Bei diesem Beispiel also:
dim V = dim Bild + dim Kern [mm] \Rightarrow [/mm] 3 = 2 + 1
Nur inwieweit sagt mir dieses Ergebnis etwas über die Surjektivität aus?
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Hallo nochmal,
nur kurz, muss ins Bett ![[saumuede]](/images/smileys/saumuede.gif "[saumuede]")
> >
> > Ich könnte ja alle Elemente aus dem Bild von T durch
> > [mm]\vektor{u \\ 2u+5x_{3}+5x_{2}},[/mm] mit [mm]u\in \IR,[/mm]
> >
> >wie kommst du darauf, ich seh's gerade nicht
>
> an der Stelle habe ich aus diesem Vektor:
> [mm]\vektor{x_{1}-2x_{3}\\ 2x_{1}+5x_{2}+x_{3}}[/mm]
Wieso dieser spezielle Vektor des [mm] \IR^2??
[/mm]
Surjektivität bedeutet doch, dass du zu jedem (beliebigen) Vektor u des [mm] \IR^2 [/mm] (Zielraumes) einen Vektor [mm] x\in\IR^3 [/mm] angeben kannst mit T(x)=u
> mit der
> Substitution [mm]u=x_{1}-2x_{3},[/mm] diesen Vektor gemacht:
> [mm]\vektor{u \\ 2u+5x_{3}+5x_{2}}[/mm]
>
> Das ganze dient dann dem Zweck, dass man "leicht" sehen
> kann, dass man für die 1. Komponente einen beliebigen Wert
> u [mm]\in \IR[/mm] erhalten kann, und für die 2. Komponente jeden
> anderen beliebigen Wert.
> Folglich kann man jeden Vektor des [mm]\IR^{2}[/mm] damit
> darstellen.
> [mm]\Rightarrow[/mm] T ist surjektiv
>
> Wäre diese Begründung in Ordnung?
Mir ist das etwas suspekt, weil du von nem speziellen Vektor ausgehst.
Nochmal, du musst für nen bel. Vektor [mm] u=\vektor{u_1\\u_2} [/mm] einen Vektor [mm] x=\vektor{x_1\\x_2\\x_3} [/mm] angeben mit T(x)=u
Gib also die [mm] x_1,x_2,x_3 [/mm] in abhängigkeit von den [mm] u_i [/mm] an, dann ist das ok.
> Meinst du mit Kern-Bild Satz den Dimensionssatz?
genau den
> Bei diesem Beispiel also:
>
> dim V = dim Bild + dim Kern [mm]\Rightarrow[/mm] 3 = 2 + 1
> Nur inwieweit sagt mir dieses Ergebnis etwas über die
> Surjektivität aus?
Na der Zielraum ist der [mm] \IR^2, [/mm] der hat Dimension 2
Das Bild von T hat auch Dimension 2, die Basis des Bildes bilden also 2 linear unabhängige Vektoren des [mm] \IR^2.
[/mm]
Na und die spannen doch wohl immer den ganzen [mm] \IR^2 [/mm] auf.
Also ist das Bild von F der gesamte [mm] \IR^2
[/mm]
Also ist T surj.
N8 und bis die Tage
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:55 Mi 21.11.2007 | | Autor: | JanJan |
Vielen Dank! :D
Vor allem dies hat mir geholfen:
>Na der Zielraum ist der $ [mm] \IR^2, [/mm] $ der hat Dimension 2
>
>Das Bild von T hat auch Dimension 2, die Basis des Bildes bilden also 2 >linear unabhängige Vektoren des $ [mm] \IR^2. [/mm] $
>
>Na und die spannen doch wohl immer den ganzen $ [mm] \IR^2 [/mm] $ auf.
>
>Also ist das Bild von F der gesamte $ [mm] \IR^2 [/mm] $
Der Tipp hat mich an die ganze Sache anders ran gehen lassen ;)
So logisch, dass ich ihn die ganze Zeit übersehen hatte...
Nochmal vielen Dank, dass du wegen mir auf Teile deines Schlafes verzichtet hast ;)
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