surjektive Abbildung < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:45 Fr 14.01.2005 | | Autor: | SusPie6 |
Hi ihr,
wir Dresdner Studies haben ja nächstes Wochenende die LAAG - Prüfung vor uns. Und ich bin grad beim Lernen auf eine Aufgabe gekommen, wo ich nicht so richtig weiß, ob meine Antwort richtig ist. Würd mich über eure Tipps bzw. Meinungen freuen. Danke im Voraus.
Die Aufgabe:
Sei M eine beliebige Menge. Zeigen Sie: Es gibt keine surjektive Abbildung f von M auf die Potenzmenge [mm] \cal{p} [/mm] (M). [Hinweis: Man betrachte die Menge [mm] B_{f} [/mm] := {x [mm] \in [/mm] M|x [mm] \not\in [/mm] f(x)}.
Um die Aussage zu zeigen, geh ich von der Annahme an:
f: M [mm] \to \cal{P} [/mm] (M) sei surjektiv
[mm] \Rightarrow \forall [/mm] b [mm] \in \cal{P} [/mm] (M) [mm] \exists [/mm] a [mm] \in [/mm] M: f(a)=b.
Laut der Abbildungsdefinition folgt, dass M gleich viele Elemente wie die Potenzmenge M besitzt.
Ich definiere nun k als die Anzahl der Elemente einer Menge:
[mm] k_{M} \ge k_{\cal{P}} \Rightarrow [/mm] n [mm] \ge 2^{n} [/mm] falsche Aussage, denn aus der Bernoulliungleichung ergibt sich, dass n [mm] \le [/mm] 1+n [mm] \le (1+1)^{n} [/mm] = [mm] 2^{n} \Rightarrow [/mm] f ist nicht surjektiv.
Und, was meint ihr denn dazu?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:05 Fr 14.01.2005 | | Autor: | Paulus |
Hallo SusPie6
> Die Aufgabe:
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> Sei M eine beliebige Menge. Zeigen Sie: Es gibt keine
> surjektive Abbildung f von M auf die Potenzmenge [mm]\cal{P}[/mm]
> (M). [Hinweis: Man betrachte die Menge [mm]B_{f} := {x \in M|x
> \not\in f(x)}[/mm].
>
> Um die Aussage zu zeigen, geh ich von der Annahme an:
> f: M [mm]\to \cal{P}[/mm] (M) sei surjektiv
> [mm]\Rightarrow \forall[/mm] b [mm]\in \cal{P}[/mm] (M) [mm]\exists[/mm] a [mm]\in[/mm] M:
> f(a)=b.
>
> Laut der Abbildungsdefinition folgt, dass M gleich viele
> Elemente wie die Potenzmenge M besitzt.
>
Hier meine ich, dass es genauer heissen sollte: ..., dass M mindestens so viele Elemente ...
> Ich definiere nun k als die Anzahl der Elemente einer
> Menge:
>
> [mm]k_{M} \ge k_{\cal{P}} \Rightarrow[/mm] n [mm]\ge 2^{n}[/mm] falsche
> Aussage, denn aus der Bernoulliungleichung ergibt sich,
> dass n [mm]\le[/mm] 1+n [mm]\le (1+1)^{n}[/mm] = [mm]2^{n} \Rightarrow[/mm] f ist
> nicht surjektiv.
>
> Und, was meint ihr denn dazu?
>
Meine Meinung ist, dass das nur für endliche Mengen richtig ist. Es heisst aber: Sei M eine beliebige Menge.
Frag mich aber nicht, wie das dann geht. Da müsste ich auch noch etwas recherchieren! 
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:18 Fr 14.01.2005 | | Autor: | Marcel |
> Hi ihr,
Hi du!
Ich habe jetzt nur flüchtig drübergeguckt; Paulus hatte ja schon was dazu gesagt. Ich schreibe dir jetzt einfach mal den Beweis zu deiner Aufgabe auf (dann muss Paul den auch nicht mehr suchen gehen ).
> Sei M eine beliebige Menge. Zeigen Sie: Es gibt keine
> surjektive Abbildung f von M auf die Potenzmenge [mm]\cal{p}[/mm]
> (M). [Hinweis: Man betrachte die Menge [mm]B_{f}:= \{x \in M\,|\,x \not\in f(x)\}[/mm].]
Der Fall $M = [mm] \emptyset$ [/mm] ist klar. O.B.d.A. sei also $M [mm] \not= \emptyset$.
[/mm]
Angenommen, doch und $f: M [mm] \to \cal{P}(M)$ [/mm] sei eine solche surjektive Abbildung. Nach Definition von [mm] $B_f$ [/mm] gilt:
[mm] $B_f \subset [/mm] M$, also gilt [m]B_f \in \cal{P}(M)[/m].
Da $f$ surjektiv sein soll, gibt es ein [mm] $x_0 \in [/mm] M$ mit
[mm] $(\star)$[/mm] [m]f(x_0)=B_f[/m].
Nun gibt es zwei mögliche Fälle für dieses [mm] $x_0$ [/mm] (beachte jetzt, dass im letzten Satz schon steht, dass [mm] $x_0 \in [/mm] M$!):
1.Fall:
[m]x_0 \in B_f[/m].
Dann folgt aber:
[m]x_0 \in \;\,B_f\stackrel{wegen\;(\star)}{=}f(x_0)[/m], also gilt einerseits [m]x_0 \in f(x_0)[/m]; andererseits folgt aber aus [m]x_0 \in B_f[/m] unmittelbar, dass [m]x_0 \not\in f(x_0)[/m] gelten muss (da [m]B_f=\{x \in M:\;x \not\in f(x)\}[/m]). Widerspruch!
2.Fall:
[m]x_0 \not\in B_f[/m].
Dann folgt aber [mm] $x_0 \not\in \;\,B_f\stackrel{wegen\;(\star)}{=}f(x_0)$, [/mm] also [m]x_0 \not\in f(x_0)[/m]. Damit muss aber wiederum [mm] $x_0 \in B_f$ [/mm] gelten (so ist [mm] $B_f$ [/mm] ja gerade definiert), was im Widerspruch zu [m]x_0 \not\in B_f[/m] steht!
In allen Fällen erhalten wir also einen Widerspruch. Also muss die Annahme, dass es eine solche surjektive Abbildung [m]f: M \to \cal{P}(M)[/m] gibt, verworfen werden. [mm] $\Box$
[/mm]
Viele Grüße,
Marcel
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