symmetrische Differenz < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:58 Mi 12.10.2011 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Hallo, ich befasse mich gerade mit verschiedenen zu beweisenden Aussagen über die symmetrische Differenz
[mm]A\Delta B=(A\backslash B)\cup (B\backslash A)[/mm].
Zu zeigen sind:
1.) [mm]A\Delta A=\emptyset[/mm]
2.) [mm]A\Delta \emptyset=A [/mm]
3.) [mm]A\Delta B=(A\cup B)\backslash (A\cap B)[/mm]
4.) [mm]A\Delta B=B\Delta A[/mm]
5.) [mm](A\Delta B)\cup C=(A\cup C)\Delta (B\cup C)[/mm] |
Meine Ideen:
Zu 1.)
[mm]A\Delta A=(A\backslash A)\cup (A\backslash A)=\emptyset\cup\emptyset=\emptyset[/mm]
Zu 2.)
[mm]A\Delta\emptyset=(A\backslash\emptyset)\cup (\emptyset\backslash A)=A\cup\emptyset=A[/mm]
Zu 3.)
Hier ist mir anschaulich (Venn-Diagramm) klar, daß die Identität stimmt. Aber formal habe ich keine wirklich Idee, wie es sauber mengentheoretisch zu zeigen ist.
Der einzige Ansatz, den ich hätte, ist:
[mm]A\Delta B=(A\backslash B)\cup (B\backslash A)=(A\cap B^C)\cup (B\cap A^C)[/mm], wobei ich mit dem Exponenten C das Komplement der jeweiligen Menge meine.
So recht weiter komme ich damit jedoch nicht und frage deswegen:
Wer kann mir bitte behilflich sein?
Dankesehr für jeden Hinweis!
mikexx
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:47 Mi 12.10.2011 | | Autor: | Fulla |
Hallo mikexx,
> Hallo, ich befasse mich gerade mit verschiedenen zu
> beweisenden Aussagen über die symmetrische Differenz
>
> [mm]A\Delta B=(A\backslash B)\cup (B\backslash A)[/mm].
>
> Zu zeigen sind:
>
> 1.) [mm]A\Delta A=\emptyset[/mm]
>
> 2.) [mm]A\Delta \emptyset=A[/mm]
>
> 3.) [mm]A\Delta B=(A\cup B)\backslash (A\cap B)[/mm]
>
> 4.) [mm]A\Delta B=B\Delta A[/mm]
>
> 5.) [mm](A\Delta B)\cup C=(A\cup C)\Delta (B\cup C)[/mm]
>
>
>
> Meine Ideen:
>
> Zu 1.)
>
> [mm]A\Delta A=(A\backslash A)\cup (A\backslash A)=\emptyset\cup\emptyset=\emptyset[/mm]
>
> Zu 2.)
>
> [mm]A\Delta\emptyset=(A\backslash\emptyset)\cup (\emptyset\backslash A)=A\cup\emptyset=A[/mm]
Das stimmt alles.
> Zu 3.)
>
> Hier ist mir anschaulich (Venn-Diagramm) klar, daß die
> Identität stimmt. Aber formal habe ich keine wirklich
> Idee, wie es sauber mengentheoretisch zu zeigen ist.
>
> Der einzige Ansatz, den ich hätte, ist:
>
> [mm]A\Delta B=(A\backslash B)\cup (B\backslash A)=(A\cap B^C)\cup (B\cap A^C)[/mm],
> wobei ich mit dem Exponenten C das Komplement der
> jeweiligen Menge meine.
So weit, so gut. Jetzt "multiplizier" das mal aus:
[mm](A\cap B^C)\cup (B\cap A^C)=[(A\cap B^C)\cup B]\cap [(A\cap B^C)\cup A^C]=\ldots[/mm]
Lieben Gruß,
Fulla
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:10 Mi 12.10.2011 | | Autor: | mikexx |
> So weit, so gut. Jetzt "multiplizier" das mal aus:
> [mm](A\cap B^C)\cup (B\cap A^C)=[(A\cap B^C)\cup B]\cap [(A\cap B^C)\cup A^C]=\ldots[/mm]
>
>
Dann mache ich weiter mit:
[mm][(A\cap B^C)\cup B]\cap [(A\cap B^C)\cup A^C]=[(A\cup B)\cap (B^C\cup B)]\cap [(A\cup A^C)\cap (B^C\cup A^C)
= (A\cup B)\cap (A^C\cap B^C)
= (A\cup B)\backslash (A\cap B)[/mm]
So?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:39 Mi 12.10.2011 | | Autor: | Fulla |
Genau! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:52 Mi 12.10.2011 | | Autor: | mikexx |
Dann bleiben nun noch Teilaufgabe 4 und 5.
Zu 4.)
[mm]A\Delta B=(A\backslash B)\cup (B\backslash A)=(B\backslash A)\cup (A\backslash B)=B\Delta A[/mm]
Das erscheint mir relativ klar.
Meine Probleme habe ich jedoch bei
5.)
[mm](A\Delta B)\cup C=[(A\backslash B)\cup (B\backslash A)]\cup C=[(A\backslash B)\cup C]\cup [(B\backslash A)\cup C][/mm]
Ist dieser Ansatz korrekt und wie ginge es dann weiter?
LG
mikexx
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Hallo mikexx,
> Dann bleiben nun noch Teilaufgabe 4 und 5.
>
> Zu 4.)
>
> [mm]A\Delta B=(A\backslash B)\cup (B\backslash A)=(B\backslash A)\cup (A\backslash B)=B\Delta A[/mm]
>
> Das erscheint mir relativ klar.
Ja, das ist einfach nur die Kommutativität der Vereinigung
>
> Meine Probleme habe ich jedoch bei
>
> 5.)
>
> [mm](A\Delta B)\cup C=[(A\backslash B)\cup (B\backslash A)]\cup C=[(A\backslash B)\cup C]\cup [(B\backslash A)\cup C][/mm]
>
> Ist dieser Ansatz korrekt
Ja, das sieht schon richtig aus...
> und wie ginge es dann weiter?
Vllt. kannst du besser die Darstellung [mm]A\Delta B=(A\cap \overline B) \ \cup \ (\overline A\cap B)[/mm] nehmen.
Aber hast du dich denn mal mit einem Mengendiagramm oder - übersetzt in eine aussagenlogische Form - mit einer WWT davon überzeugt, ob die letzte Aussage überhaupt stimmt?
Ich kenne für die symm. Differenz nur ein Distributivgesetz mit dem Schnitt, das mit der Vereinigung habe ich noch nicht gesehen.
Das will aber nichts heißen ...
>
>
>
> LG
>
> mikexx
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:09 Do 13.10.2011 | | Autor: | mikexx |
Hallo!
Also ich habe mir ein Venn-Diagramm aufgemalt (von einer Menge A und einer Menge B, die sich schneiden) und meines Erachtens sieht man damit, daß
[mm]A\Delta B=(A\cap B^C)\cup (A^C\cap B)[/mm],
daher nahm ich an, daß das so korrekt ist.
Ist dem nicht so?
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Hallo nochmal,
> Hallo!
>
> Also ich habe mir ein Venn-Diagramm aufgemalt (von einer
> Menge A und einer Menge B, die sich schneiden) und meines
> Erachtens sieht man damit, daß
>
> [mm]A\Delta B=(A\cap B^C)\cup (A^C\cap B)[/mm],
>
> daher nahm ich an, daß das so korrekt ist.
Ja schon, ich meinte aber, ob du mal mit Bildchen die Aussage in (5) getestet hast, ich kenne das wie gesagt nur mit [mm]...\cap C[/mm] ...
>
> Ist dem nicht so?
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:15 Do 13.10.2011 | | Autor: | mikexx |
Ah, jetzt verstehe ich, was Du meintest.
Und ich muss mich für meine Schlamperei entschuldigen:
Ich habe gestern Abend noch festgestellt, daß die ursprüngliche Aufgabe so formuliert ist:
"[...] Geben Sie ein Gegenbeispiel an, wenn eine der Aussagen nicht für alle Mengen A, B, C wahr ist."
Das heißt, dass obige Aussagen auch durchaus nicht wahr sein können und Dein Hinweis weist ja genau darauf hin.
Ich werde das mal jetzt näher betrachten und meine Idee dann posten.
[Ich füge es dann als Mitteilung an diese "Frage" an.]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:25 Do 13.10.2011 | | Autor: | mikexx |
Kann man nicht als Gegenbeispiel den Fall nehmen, daß [mm]B=\emptyset, C\neq\emptyset[/mm] gilt?
Dann hat man m.E. [mm](A\Delta\emptyset)\cup C=A\cup C=[(A\cup C)\backslash C]\cup [C\backslash (A\cup C)]=A\backslash C[/mm], was ja nicht sein kann.
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Hallo nochmal,
> Kann man nicht als Gegenbeispiel nehmen, wenn [mm]B=\emptyset, C\neq\emptyset[/mm]
> gilt?
Das sollte klappen, nimm der Einfachheit halber noch [mm]C=A[/mm]
Dann hast du mit 1) und 2)
[mm]A\Delta A=\emptyset[/mm] und [mm]A\Delta\emptyset=A[/mm]
Also linkerhand: [mm](A\Delta B)\cup C=(A\Delta\emptyset)\cup A=A\cup A=A[/mm]
Rechterhand: [mm](A\cup C)\Delta(B\cup C)=(A\cup A)\Delta(\emptyset\cup A)=A\Delta A=\emptyset[/mm]
Und i.A. ist [mm]A\neq\emptyset[/mm]
Wenn du magst, kannst du auch ganz konkrete Mengen angeben, meinetwegen irgendwas einelementiges für [mm]A=C[/mm] ...
>
> Dann hat man m.E. [mm](A\cup C)=[(A\cup C)\backslash C]\cup [C\backslash (A\cup C)]=A\backslash C[/mm],
> was ja nicht sein kann.
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:57 Do 13.10.2011 | | Autor: | mikexx |
Das mit [mm]A=C[/mm] ist eine gute Idee, damit ist es wirklich klar, daß die Aussage 5 (im Allgemeinen) nicht stimmt.
Vielen lieben Dank für die Hilfe!
mikexx
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