symmetrische Matrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:26 Sa 07.07.2007 | | Autor: | jaylo |
| Aufgabe | Gegegeben ist er Kegelschnitt [mm] x_{1}^{2} [/mm] + [mm] x_{2}^{2} [/mm] + [mm] 4x_{2}^{3} [/mm] - [mm] 2x_{1}^{2} [/mm] = 1.
Geben Sie die symmetrische Marix der quadratischen Form an. |
Hallo liebe Community,
ich habe folgendes berechnet.
A = [mm] \pmat{ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 4 }
[/mm]
Danach habe ich das folgende Polynom erhalten:
[mm] \lambda^{3} [/mm] - 6 [mm] \lamba^{2} [/mm] + 9 [mm] \lambda
[/mm]
Aber damit ich kann ich irgendwie keine weiteren Eigenwerte berechnen, denn nach der Divison habe ich folgendes erhalten:
[mm] \lambda^{3} [/mm] - 6 [mm] \lamba^{2} [/mm] + 9 [mm] \lambda [/mm] : ( [mm] \lambda [/mm] 3 ) = [mm] \lambda^{2}-3\lambda.
[/mm]
Könnte dies Rechnungen Stimmen?
Gruß v. Jaylo
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:22 So 08.07.2007 | | Autor: | Disap |
> Gegegeben ist er Kegelschnitt [mm]x_{1}^{2}[/mm] + [mm]x_{2}^{2}[/mm] +
> [mm]4x_{2}^{3}[/mm] - [mm]2x_{1}^{2}[/mm] = 1.
>
> Geben Sie die symmetrische Marix der quadratischen Form
> an.
> Hallo liebe Community,
Hallo jaylo.
>
> ich habe folgendes berechnet.
>
> A = [mm]\pmat{ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 4 }[/mm]
Leider muss ich hier passen. Ich habe keine Ahnung, wie man auf die symmetrische Matrix kommen kann. Aber gehen wir einmal davon aus, dass die Matrix richtig ist.
> Danach habe ich das folgende Polynom erhalten:
>
> [mm]\lambda^{3}[/mm] - 6 [mm]\lambda^{2}[/mm] + 9 [mm]\lambda[/mm]
Nein, die ist falsch.
Wir betrachten
$det A = [mm] \vmat{ 1-t & -1 & 0 \\ -1 & 1-t & 0 \\ 0 & 0 & 4-t }$
[/mm]
Nach der Regel von Sarrus ergibt sich aber
$=(1-t)*(1-t)*(4-t) + 0 +0 - (-1)(-1)(4-t)-0-0 $
$=- [mm] t^3 [/mm] + [mm] 6t^2 [/mm] - 9t + 4-(4-t) = - [mm] t^3 [/mm] + [mm] 6t^2 [/mm] - 8t$
mit den Nullstellen [mm] t_1=4, t_2=2, t_3 [/mm] = 0
> Aber damit ich kann ich irgendwie keine weiteren Eigenwerte
> berechnen, denn nach der Divison habe ich folgendes
> erhalten:
>
> [mm]\lambda^{3}[/mm] - 6 [mm]\lamba^{2}[/mm] + 9 [mm]\lambda[/mm] : ( [mm]\lambda[/mm] 3 ) =
> [mm]\lambda^{2}-3\lambda.[/mm]
>
> Könnte dies Rechnungen Stimmen?
Nach dem falschen charakteristischen Polynom habe ich diese Rechnung nicht überprüft
> Gruß v. Jaylo
Viele Grüße
Disap
|
|
|
|
