symmetrische Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:45 Mi 11.01.2012 | | Autor: | Unk |
| Aufgabe | Seien $A$ und $M$ quadratische symmetrische Matrizen mit Koeffizienten in [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] und sei $A$ positiv definit. Zeigen Sie, dass aus der Gleichung
[mm] $AFA^{-1}=A^{-1}MA^{-1}$ [/mm] folgt, dass die quadratische Matrix $F$ reell diagonalisierbar ist. |
Hallo,
ich habe dann erstmal [mm] $A=SDS^{-1}$ [/mm] mit orthogonaler Matrix $S$ und Diagonalmatrix $D$, sowie [mm] $M=QPQ^{-1}$ [/mm] mit orthogonaler Matrix $Q$ und Diagonalmatrix $P$ geschrieben und in die Gleichung eingesetzt.
Man bekommt dann also
[mm] $SDS^{-1}FS^{-1}D^{-1}S=S^{-1}D^{-1}SQPQ^{-1}S^{-1}D^{-1}S$.
[/mm]
Da habe ich jetzt versucht geeignet zu Klammern bzw. mit entsprechenden Matrizen zu multiplizieren. Das hat aber leider noch nicht geklappt.
Man kann z.B. ja [mm] $S^{-1}D^{-1}=(DS)^{-1}$ [/mm] schreiben, aber das bringt mich nicht wirklich weiter. Sieht jemand einen geeigneten Ansatz?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:20 Mi 11.01.2012 | | Autor: | Blech |
Hi,
> $ [mm] A=SDS^{-1} [/mm] $
Dann ist
[mm] $A^{-1}=S D^{-1} S^{-1},$
[/mm]
nicht
[mm] $A^{-1}=S^{-1} D^{-1} [/mm] S,$
Außerdem:
Bist Du Dir sicher, daß
> $ [mm] AFA^{-1}=A^{-1}MA^{-1} [/mm] $
das so stimmt?
$ [mm] AFA^{-1}=A^{-1}MA$
[/mm]
sieht "normaler" aus.
ciao
Stefan
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:10 Mi 11.01.2012 | | Autor: | Unk |
> Hi,
>
> > [mm]A=SDS^{-1}[/mm]
>
> Dann ist
> [mm]A^{-1}=S D^{-1} S^{-1},[/mm]
> nicht
> [mm]A^{-1}=S^{-1} D^{-1} S,[/mm]
>
Natürlich, hab mich verschrieben, wobei der Hinweis ja leider auch nichts an meinem Problem ändert.
>
> Außerdem:
>
> Bist Du Dir sicher, daß
> > [mm] AFA^{-1}=A^{-1}MA^{-1} [/mm]
> das so stimmt?
>
> [mm]AFA^{-1}=A^{-1}MA[/mm]
> sieht "normaler" aus.
>
Nein, es soll schon so sein, wie ichs geschrieben habe. Ursprünglich sah die Aufgabe mal so aus: Gegeben eine symmetrische positiv definite Matrix $A$ und eine symmetrische Matrix [mm] M [/mm]. Dann folgt aus [mm] AF=M [/mm], dass [mm] F [/mm] reell diagonalisierbar ist.
Kann man mit der Info mehr anfangen? Ich finde leider nicht, bisher zumindest.
> ciao
> Stefan
>
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 20:38 Mi 11.01.2012 | | Autor: | wieschoo |
Noch einmal Humbug von mir
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:03 Mi 11.01.2012 | | Autor: | Unk |
> edit: nur Tipps:
> 1) Invertierbarkeit (symmetrischer) positiv definiter
> Matrizen
> 2) Die symmetrischen Matrizen bilden eine Gruppe
Bzgl. was? Sie bilden ja gerade keine multiplikative Gruppe. Sonst wäre die Aufgabe wirklich leicht.
> 3) Spektralsatz
>
> komplett:
> - Eine positiv definite symmetrische Matrix ist stets
> invertierbar
> - Ist A symmetrisch => [mm]A^{-1}[/mm] ist symmetrisch
> - Ist A symmetrisch und B symmetrisch => AB ist
> symmetrisch
> - Ist C symmetrisch => C ist diagonalisierbar und hat
> reelle Eigenwerte
>
> edit: diese blöden Rechtschreibfehler
Diese Tipps habe ich doch alle bereits berücksichtig und sie bringen mich nicht wirklich weiter.
Ich muss also wirklich irgendwie die orthogonalen und die Diagonalmatrizen so hin und herschieben, dass ich was Vernünftiges bekomme. Das sehe ich leider absolut immer noch nicht (?).
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(Antwort) fehlerhaft | | Datum: | 21:29 Mi 11.01.2012 | | Autor: | wieschoo |
hier stand ebenfalls Humbug
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:45 Mi 11.01.2012 | | Autor: | wieschoo |
alles falsch, was hier stand.
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> >
> > Bist Du Dir sicher, daß
> > > [mm]AFA^{-1}=A^{-1}MA^{-1}[/mm]
> > das so stimmt?
> >
> > [mm]AFA^{-1}=A^{-1}MA[/mm]
> > sieht "normaler" aus.
> >
> Nein, es soll schon so sein, wie ichs geschrieben habe.
> Ursprünglich sah die Aufgabe mal so aus: Gegeben eine
> symmetrische positiv definite Matrix [mm]A[/mm] und eine
> symmetrische Matrix [mm]M [/mm]. Dann folgt aus [mm]AF=M [/mm], dass [mm]F[/mm] reell
> diagonalisierbar ist.
Hallo,
und wie kommst Du dann auf [mm] $AFA^{-1}=A^{-1}MA^{-1}$?
[/mm]
Ich bekomme [mm] AFA^{-1}=MA^{-1}.
[/mm]
LG Angela
> Kann man mit der Info mehr anfangen? Ich finde leider
> nicht, bisher zumindest.
>
> > ciao
> > Stefan
> >
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:49 Do 12.01.2012 | | Autor: | Unk |
> > >
> > > Bist Du Dir sicher, daß
> > > > [mm]AFA^{-1}=A^{-1}MA^{-1}[/mm]
> > > das so stimmt?
> > >
> > > [mm]AFA^{-1}=A^{-1}MA[/mm]
> > > sieht "normaler" aus.
> > >
> > Nein, es soll schon so sein, wie ichs geschrieben habe.
> > Ursprünglich sah die Aufgabe mal so aus: Gegeben eine
> > symmetrische positiv definite Matrix [mm]A[/mm] und eine
> > symmetrische Matrix [mm]M [/mm]. Dann folgt aus [mm]AF=M [/mm], dass [mm]F[/mm] reell
> > diagonalisierbar ist.
>
> Hallo,
>
> und wie kommst Du dann auf [mm]AFA^{-1}=A^{-1}MA^{-1}[/mm]?
>
> Ich bekomme [mm]AFA^{-1}=MA^{-1}.[/mm]
>
> LG Angela
Das stimmt auch erstmal. Ich habe verwendet, dass positiv definite symmetrische Matrizen eine wohldefinierte Wurzel besitzen. Dann ist die Matrix $A$ aus [mm]AFA^{-1}=A^{-1}MA^{-1}[/mm] die Wurzel der Matrix $A'$ aus [mm]A'FA'^{-1}=MA'^{-1}[/mm], oder besser ausgedrückt:
Aus $AF=M$, also [mm] $A^{\frac{1}{2}}A^{\frac{1}{2}}F=M$ [/mm] folgt äquivalenterweise [mm] $A^{\frac{1}{2}}FA^{-\frac{1}{2}}=A^{-\frac{1}{2}}MA^{-\frac{1}{2}}$.
[/mm]
Ich dachte, dass man in dieser Darstellung vielleicht bereits mehr sieht.
>
>
>
> > Kann man mit der Info mehr anfangen? Ich finde leider
> > nicht, bisher zumindest.
> >
> > > ciao
> > > Stefan
> > >
> >
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Hallo,
wie man die Aufgabelösen kann, ist mir übrigens auch noch nicht klar.
Nur, daß Du nicht denkst, daß sich niemand für Dein Problem interessiert.
LG Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:35 So 15.01.2012 | | Autor: | wieschoo |
ich bin auch noch auf der Suche nach einer Lösung.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Fr 13.01.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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