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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:31 Mo 19.10.2015 | | Autor: | Hias |
Hallo,
eine Poissonstruktur auf einer symplektischen Mannigfaltigkeit [mm] $(M,\Lambda)$ [/mm] ist gegeben durch [mm] $$\{F,G\}=\Lambda(X_F,X_G), [/mm] $$ wobei [mm] $X_F$ [/mm] und [mm] $X_G$ [/mm] die Hamilton´schen Vektorfelder zu F und G sind.
Da [mm] $\Lambda$ [/mm] eine 2-Form ist, bedeutet das ja [mm] $\Lambda(X_F,X_G) \in \mathbb{R}$. [/mm] Meine Frage ist nun, ist die Poissonstruktur auf einer symplektischen Mannigfaltigkeit die wie oben definiert ist immer eine konstante Funktion?
Danke im Voraus
Hias
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Hallo,
> Hallo,
> eine Poissonstruktur auf einer symplektischen
> Mannigfaltigkeit [mm]$(M,\Lambda)$[/mm] ist gegeben durch
> [mm]\{F,G\}=\Lambda(X_F,X_G),[/mm] wobei [mm]$X_F$[/mm] und [mm]$X_G$[/mm] die
> Hamilton´schen Vektorfelder zu F und G sind.
> Da [mm]\Lambda[/mm] eine 2-Form ist, bedeutet das ja
> [mm]\Lambda(X_F,X_G) \in \mathbb{R}[/mm]. Meine Frage ist nun, ist
> die Poissonstruktur auf einer symplektischen
> Mannigfaltigkeit die wie oben definiert ist immer eine
> konstante Funktion?
Ja. Wobei interessant ist, was du hier als Funktion betrachtest. Denn an sich definierst du einfach nur die Poissonklammer mittels der symplektischen Form. Von daher wäre es wohl noch interessant zu wissen, was du genau unter "konstante Funktion" in diesem Kontext verstehst.
> Danke im Voraus
> Hias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:43 Di 20.10.2015 | | Autor: | Hias |
Hallo und danke für deine Antwort,
meine Funktionen F und G sind aus [mm] $C^\infty(M,\mathbb{R})$. [/mm] Was ich mir überlegt habe ist folgendes:
In die Poissonklammer [mm] $\{,\}$ [/mm] stecke ich zwei Funtionen aus [mm] $C^\infty(M,\mathbb{R})$ [/mm] und erhalte wieder eine Funktion aus [mm] $C^\infty(M,\mathbb{R})$. [/mm] In die symplektische Struktur stecke ich zwei Tangentialvektoren von M an einem Gewissen Punkt [mm] $z\in [/mm] M$ und erhalte ein Skalar.
Also erhalte ich durch die Zuweisung $ [mm] \{F,G\}=\Lambda(X_F,X_G)$, [/mm] dass [mm] $\Lambda(X_F,X_G)$ [/mm] eine Funktion auf der Mannigfaltigkeit M sein muss. Ist es möglich, die symplektische Stuktur $Lambda$ als Funktion auf dem Tangentialbündel $TM$ zu definieren?
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Hallo,
> Hallo und danke für deine Antwort,
> meine Funktionen F und G sind aus [mm]C^\infty(M,\mathbb{R})[/mm].
> Was ich mir überlegt habe ist folgendes:
> In die Poissonklammer [mm]\{,\}[/mm] stecke ich zwei Funtionen aus
> [mm]C^\infty(M,\mathbb{R})[/mm] und erhalte wieder eine Funktion aus
> [mm]C^\infty(M,\mathbb{R})[/mm].
Hier müsste man sich aber fragen, wie du die Poissonklammer überhaupt definierst. Ich kenne nur die koordinatenfreie Definition über die symplektische Struktur. Diese ist schon sehr allgemein. Die bekannte Formel via den Ableitungen von F und G sind ja dann koordinatenbezogen.
> In die symplektische Struktur
> stecke ich zwei Tangentialvektoren von M an einem Gewissen
> Punkt [mm]z\in M[/mm] und erhalte ein Skalar.
> Also erhalte ich durch die Zuweisung
> [mm]\{F,G\}=\Lambda(X_F,X_G)[/mm], dass
Wie gesagt, für mich ist das schon die Definition der Poissonklammer.
Vielleicht hilft dir noch der Fakt, dass ja [mm] \Lambda [/mm] geschlossen ist, und daher an sich der Ausdruck konstant ist.
> [mm]\Lambda(X_F,X_G)[/mm] eine
> Funktion auf der Mannigfaltigkeit M sein muss. Ist es
> möglich, die symplektische Stuktur [mm]Lambda[/mm] als Funktion auf
> dem Tangentialbündel [mm]TM[/mm] zu definieren?
Die Vektorfelder leben ja auf $TM$ und die symplektische Struktur ist ja ebenfalls auf [mm] $TM\times [/mm] TM$ definiert. Also ist es ja gerade so, dass [mm] \Lambda [/mm] auf dem Tangentialbündel definiert ist.
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