taylorentwicklung < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:14 So 14.11.2004 | | Autor: | zwerg |
Moin an alle!
Stehe bei folgender Aufgabe ein wenig auf dem Schlauch.
Sei f [mm] \in C^{4} [/mm] [a,b] 4mal stetig diffbar auf [a,b], a<x<b. Sei h<0 so, dass
x [mm] \pm [/mm] h [mm] \in [/mm] [a,b]. Dan gibt es eine Konstante C>0 , so dass gilt:
| f''(x)- [mm] \bruch{f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^{2}} \le Ch^{2}.
[/mm]
Hinweis Taylorentwicklung)
Vielleicht kann mir einer von euch beim Lösen helfen .
Dank im Voraus
MfG zwerg
|
|
| |
|
Hallo Zwerg,
Du kannst ja mal für f(x+h),f(x-h) die Taylorentwicklung(incl. Restglied) einsetzen und schauen was passiert.
gruß
mathemaduenn
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:13 Mo 15.11.2004 | | Autor: | zwerg |
Moin mathemaduenn!
Dank dir erstmal für die Anregung. Mal sehen ob ich dich richtig verstanden habe.
[mm] T_{n,y} [/mm] (x) bezeichne das nte Tayorpolynom von x um y
also
[mm] T_{3,0} [/mm] (x+h) = [mm] \summe_{n=0}^{3} \bruch{1}{n!} f^{(n)} (x+h)(x+h)^{n} +\bruch{1}{(n+1)!} f^{(n+1)} (\alpha (x+h))(x+h)^{(n+1)} [/mm]
[mm] \alpha \in [/mm] ]0,1[
[mm] T_{3,0} (x-h)=\summe_{n=0}^{3} \bruch{1}{n!} f^{(n)} (x-h)(x-h)^{n} +\bruch{1}{(n+1)!} f^{(n+1)} (\alpha (x-h))(x-h)^{(n+1)}
[/mm]
damit ergibt sich für die Summe
[mm] T_{3,0} (x+h)+T_{3,0} [/mm] (x-h) =
[mm] =\summe_{n=0}^{3} \bruch{1}{n!} [f^{(n)} (x+h)(x+h)^{n} +f^{(n)} (x-h)(x-h)^{n} ]+\bruch{1}{(n+1)!} [f^{(n+1)} (\alpha (x+h))(x+h)^{(n+1)} +f^{(n+1)} (\alpha (x-h))(x-h)^{(n+1)} [/mm] ] =
[mm] f(x+h)+f(x-h)+\summe_{n=1}^{3} \bruch{1}{n!} [f^{(n)} (x+h)(x+h)^{n} +f^{(n)} (x-h)(x-h)^{n} ]+\bruch{1}{(n+1)!} [f^{(n+1)} (\alpha (x+h))(x+h)^{(n+1)} +f^{(n+1)} (\alpha (x-h))(x-h)^{(n+1)} [/mm] ]
= f(x+h)+f(x-h)+(D-y)
(D-y) bezeichne der Einfachheit halber [mm] \summe_{n=1}^{3} [/mm] ...
sei y [mm] \in \IR [/mm] eine Zahl mit:
[mm] y=|f''(x)-\bruch{f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^{2}} [/mm] | =
einsetzen der Taylorentwicklung:
[mm] =|f''(x)-\bruch{f(x+h)-2f(x)+f(x-h)+(D-y)}{h^{2}} [/mm] | [mm] \to
[/mm]
[mm] \bruch{y+(D-y)}{h^{2}} =|f''(x)-\bruch{f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^{2}} [/mm] |
[mm] \to [/mm] mit [mm] C=\bruch{D}{h^{2}}
[/mm]
[mm] h^{2} [/mm] C > [mm] |f''(x)-\bruch{f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^{2}} [/mm] |
kann man das so lassen?
nochmal Dank
MfG zwerg
|
|
|
| |
|
Hallo Zwerg,
> [mm]T_{n,y}[/mm] (x) bezeichne das nte Tayorpolynom von x um y
> also
> [mm]T_{3,0}[/mm] (x+h) = [mm]\summe_{n=0}^{3} \bruch{1}{n!} f^{(n)} (x+h)(x+h)^{n} +\bruch{1}{(n+1)!} f^{(n+1)} (\alpha (x+h))(x+h)^{(n+1)}[/mm]
> [mm]\alpha \in[/mm] ]0,1[
Wenn du das so schreibst sollten die Ableitungen in der Summe schon an der Stelle 0 sein.
> [mm]T_{3,0} (x-h)=\summe_{n=0}^{3} \bruch{1}{n!} f^{(n)} (x-h)(x-h)^{n} +\bruch{1}{(n+1)!} f^{(n+1)} (\alpha (x-h))(x-h)^{(n+1)}
[/mm]
>
>
> damit ergibt sich für die Summe
> [mm]T_{3,0} (x+h)+T_{3,0}[/mm] (x-h) =
> [mm]=\summe_{n=0}^{3} \bruch{1}{n!} [f^{(n)} (x+h)(x+h)^{n} +f^{(n)} (x-h)(x-h)^{n} ]+\bruch{1}{(n+1)!} [f^{(n+1)} (\alpha (x+h))(x+h)^{(n+1)} +f^{(n+1)} (\alpha (x-h))(x-h)^{(n+1)}[/mm]
> ] =
> [mm]f(x+h)+f(x-h)+\summe_{n=1}^{3} \bruch{1}{n!} [f^{(n)} (x+h)(x+h)^{n} +f^{(n)} (x-h)(x-h)^{n} ]+\bruch{1}{(n+1)!} [f^{(n+1)} (\alpha (x+h))(x+h)^{(n+1)} +f^{(n+1)} (\alpha (x-h))(x-h)^{(n+1)}[/mm]
> ]
> = f(x+h)+f(x-h)+(D-y)
> (D-y) bezeichne der Einfachheit halber [mm]\summe_{n=1}^{3}[/mm]
> ...
>
> sei y [mm]\in \IR[/mm] eine Zahl mit
> [mm]y=|f''(x)-\bruch{f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^{2}}[/mm] | =
> einsetzen der Taylorentwicklung:
> [mm]=|f''(x)-\bruch{f(x+h)-2f(x)+f(x-h)+(D-y)}{h^{2}}[/mm] | [mm]\to
[/mm]
![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
> [mm]\bruch{y+(D-y)}{h^{2}} =|f''(x)-\bruch{f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^{2}}[/mm]
> |
> [mm]\to[/mm] mit [mm]C=\bruch{D}{h^{2}}
[/mm]
eine Konstante [mm] \bruch{D}{h^2} [/mm] bringt leider wenig. Da eine Verkleinerung von [mm] h^2 [/mm] diese "Konstante" stark vergrößern würde. Mein Hinweis war hier nicht weitreichend genug. Die Entwicklungsstelle der Taylorentwicklung sollte schon x sein damit:
1. Sie existiert wie in der Voraussetzung angegeben(x [mm] \pm [/mm] h soll im Intervall liegen)
2. damit 2f(x) und die niedrigen Ableitungen wegfallen und man mit Potenzen von h rechnet die man dann mit dem Nenner kürzen kann.
Alles klar?
gruß
mathemaduenn
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:54 Mo 15.11.2004 | | Autor: | zwerg |
Moin nochmal!
das ganze sieht jetz wie folgt aus:
[mm] f(x+h)=T_{3,x} (x+h)=\summe_{k=0)}^{3} \bruch{1}{k!} f^{(k)} (x)h^{k} +\bruch{1}{(k+1)!} f^{(k+1)} (x+\alpha h)h^{(k+1)}
[/mm]
[mm] f(x-h)=T_{3,x} (x-h)=\summe_{k=0}^{3} \bruch{1}{k!} f^{(k)} (x)(-h)^{k}+\bruch{1}{(k+1)!} f^{(k+1)} (x-\alpha h)h^{(k+1)}
[/mm]
somit ergibt sich für f(x+h)+f(x-h):
[mm] f(x+h)+f(x-h)=2f(x)+f''(x)h^{2} +\bruch{1}{24} [f^{(4)} (x+\alpha h)+(f^{(4)} (x-\alpha h)]h^{4} [/mm]
somit:
[mm] |f''(x)-\bruch{f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^{2}} [/mm] |=
[mm] =|f''(x)-f''(x)+\bruch{1}{24} [f^{(4)}(x+\alpha h)+f^{(4)} (x-\alpha h)]h^{2} [/mm] |=
[mm] =|\bruch{1}{24} [f^{(4)}(x+\alpha h)+f^{(4)} (x-\alpha h)]h^{2} [/mm] |
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:37 Di 16.11.2004 | | Autor: | zwerg |
moin!
wir waren stehengeblieben bei:
[mm] |\bruch{1}{24} [f^{(4)} (x+\alpha h)+f^{(4)}(x-\alpha h)]h^{2}|\le
[/mm]
[mm] \le \bruch{1}{24} 2max(f^{(4)}(a),f^{(4)}(b))h^{2}
[/mm]
sei C also:
[mm] C=\bruch{1}{12}max(f^{(4)}(a),f^{(4)}(b))
[/mm]
hoffe das stimmt jetzt
MfG zwerg
|
|
|
| |
|
Hallo zwerg,
Vielleicht ist Dir die Doppelbedeutung der Variablen a,b bewußt wenn Du das aber aufschreibst sollte man das imho vermeiden.
>
> [mm]\le \bruch{1}{24} 2max(f^{(4)}(a),f^{(4)}(b))h^{2}
[/mm]
a,b Sind am Anfang deine Intervallgrenzen(global) und hier?
> sei C
> also:
> [mm]C=\bruch{1}{12}max(f^{(4)}(a),f^{(4)}(b))
[/mm]
Alles klar?
gruß
mathemaduenn
|
|
|
| |
|
Hallo zwerg,
So hatte ich das gedacht. Allerdings sind ein paar Ungenauigkeiten drin.
> [mm]f(x+h)=T_{3,x} (x+h)=\summe_{k=0)}^{3} \bruch{1}{k!} f^{(k)} (x)h^{k} +\bruch{1}{(k+1)!} f^{(k+1)} (x+\alpha h)h^{(k+1)}
[/mm]
Wieso steht beim Restglied noch das k?
>
> [mm]f(x-h)=T_{3,x} (x-h)=\summe_{k=0}^{3} \bruch{1}{k!} f^{(k)} (x)(-h)^{k}+\bruch{1}{(k+1)!} f^{(k+1)} (x-\alpha h)h^{(k+1)}
[/mm]
>
>
> somit ergibt sich für f(x+h)+f(x-h):
> [mm]f(x+h)+f(x-h)=2f(x)+f''(x)h^{2} +\bruch{1}{24} [f^{(4)} (x+\alpha h)+(f^{(4)} (x-\alpha h)]h^{4}[/mm]
Da die Zwischenstellen nicht symmetrisch um x liegen fände ich es besser sie mit [mm] \alpha_1 [/mm] , [mm] \alpha_2 [/mm] zu bezeichnen.
> somit:
> [mm]|f''(x)-\bruch{f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^{2}}[/mm] |=
> [mm]=|f''(x)-f''(x)+\bruch{1}{24} [f^{(4)}(x+\alpha h)+f^{(4)} (x-\alpha h)]h^{2}[/mm]
> |=
> [mm]=|\bruch{1}{24} [f^{(4)}(x+\alpha h)+f^{(4)} (x-\alpha h)]h^{2}[/mm]
> |
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
gruß
mathemaduenn
|
|
|
|
