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| Aufgabe | Gegeben ist ein Massenpunkt der Ladung q mit der Bahnkurve [mm] r_{q}(t).
[/mm]
a) Leiten Sie aus den Maxwell’schen Gleichungen die allgemeine Kontinuitätsgleiung
her.
b) Geben Sie die Stromdichte [mm] \vec{j}(\vec{r},t) [/mm] und die Ladungsdichte [mm] \rho(\vec{r}, [/mm] t) für das geladene
Teilchen an.
c) Berechnen Sie [mm] div\vec{j} [/mm] und zeigen Sie, dass dieser Ausdruck ungleich null ist.
d) Berechnen Sie [mm] \frac{d}{dt}\rho [/mm] und zeigen Sie, dass die Kontinuitätsgleichung erfüllt ist. |
Hey haben diese Aufgabe. Also a) bekomm ich hin, allerdings hab ich bei b) Probleme, denn ich weiss nicht so recht, wie ich [mm] \vec{j} [/mm] und [mm] \rho [/mm] angeben kann, bzw. soll. kann mir da jemand helfen, da ich das ja benötige, um c) und d) zu berechnen
mfg
piccolo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:47 Sa 24.10.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo piccolo!
> Gegeben ist ein Massenpunkt der Ladung q mit der Bahnkurve
> [mm]r_{q}(t).[/mm]
>
> a) Leiten Sie aus den Maxwell’schen Gleichungen die
> allgemeine Kontinuitätsgleiung
> her.
> b) Geben Sie die Stromdichte [mm]\vec{j}(\vec{r},t)[/mm] und die
> Ladungsdichte [mm]\rho(\vec{r},[/mm] t) für das geladene
> Teilchen an.
> c) Berechnen Sie [mm]div\vec{j}[/mm] und zeigen Sie, dass dieser
> Ausdruck ungleich null ist.
> d) Berechnen Sie [mm]\frac{d}{dt}\rho[/mm] und zeigen Sie, dass die
> Kontinuitätsgleichung erfüllt ist.
> Hey haben diese Aufgabe. Also a) bekomm ich hin,
> allerdings hab ich bei b) Probleme, denn ich weiss nicht so
> recht, wie ich [mm]\vec{j}[/mm] und [mm]\rho[/mm] angeben kann, bzw. soll.
> kann mir da jemand helfen, da ich das ja benötige, um c)
> und d) zu berechnen
Wenn der Massenpunkt an einem festen Ort [mm] $\vec{r}_0$ [/mm] liegen würde, könntest du dann die Ladungsdichte angeben? Wenn du diese Frage beantworten kannst, musst du nur noch den festen Ort [mm] $\vec{r}_0$ [/mm] durch die zeitabhängigen Koordinaten $ [mm] r_{q}(t)$ [/mm] ersetzen.
Tipp für die Stromdichte: benutze den Geschwindigkeitsvektor des Massenpunktes!
Viele Grüße
Rainer
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Ist die Ladungsdichte für eine Punktladung bei [mm] \vec{r_{0}} [/mm] dann nicht unendlich und sonst gleich 0 [mm] für\vec{r}\not=\vec{r_{0}}? [/mm] Dann könnte ich ja mit delta distribution weitermachen [mm] \rho(\vec{r})=q*\delta(\vec{r}-\vec{r_{0}})
[/mm]
Kann ich dann für die Stromdichte schreiben:
[mm] \vec{j}(\vec{\vec{r_{q}}})=\rho(\vec{r_{q}})*\vec{v}(\vec{r_{q}}) [/mm] ?? Die Zeitabhängigkeit hab ich dann ja bei [mm] \vec{r_{q}} [/mm] mit drinne oder???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:19 Mo 26.10.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ist die Ladungsdichte für eine Punktladung bei [mm]\vec{r_{0}}[/mm]
> dann nicht unendlich und sonst gleich 0
> [mm]für\vec{r}\not=\vec{r_{0}}?[/mm] Dann könnte ich ja mit delta
> distribution weitermachen
> [mm]\rho(\vec{r})=q*\delta(\vec{r}-\vec{r_{0}})[/mm]
Richtig, das heisst, deine gesuchte Ladungsdichte ist
[mm]\rho (\vec{r},t) = q \delta(\vec{r} - \vec{r}_q(t)) [/mm].
>
> Kann ich dann für die Stromdichte schreiben:
>
> [mm]\vec{j}(\vec{\vec{r_{q}}})=\rho(\vec{r_{q}})*\vec{v}(\vec{r_{q}})[/mm]
> ?? Die Zeitabhängigkeit hab ich dann ja bei [mm]\vec{r_{q}}[/mm]
> mit drinne oder???
Ja, aber was ist denn [mm] $\vec{v}$?
[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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[mm] \vec{v} [/mm] ist der geschwindigkeitsvektor des Massenpunktes. würd ich sagen ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:57 Mo 26.10.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> [mm]\vec{v}[/mm] ist der geschwindigkeitsvektor des Massenpunktes.
> würd ich sagen ?
Ja, und bekommst du den aus [mm] $\vec{r}_q(t)$?
[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:17 Di 27.10.2009 | | Autor: | mb588 |
Ich misch mich einfach mal mit ein^^.
Ich würde sagen die Antwort ist [mm] \vec{j}(\vec{r},t) =q*\bruch{\partial\vec{r_{q}}}{\partial t}*\delta (\vec{r}-\vec{r_{q}}(t)).
[/mm]
So und jetzt gehts ja darum in Aufgabenteil c) div [mm] \vec{j} [/mm] zu berechnen.
Da kenne ich die Formel
[mm] div\vec{j}=q*div (\bruch{\partial\vec{r_{q}}}{\partial t}*\delta (\vec{r}-\vec{r_{q}}(t)))= \bruch{\partial\vec{r_{q}}}{\partial t}*grad (\delta (\vec{r}-\vec{r_{q}}(t))) [/mm] + [mm] \delta (\vec{r}-\vec{r_{q}}(t))*div \bruch{\partial\vec{r_{q}}}{\partial t}
[/mm]
Hier weiß nicht, wie ich die [mm] \delta [/mm] Funktion behandeln soll?! Also was grad [mm] (\delta (\vec{r}-\vec{r_{q}}(t))) [/mm] ist?
Bei d) ist es ähnlich:
[mm] \rho (t)=q*\bruch{\partial\delta (\vec{r}-\vec{r_{q}}(t))}{\partial t}.
[/mm]
Was ja die erste Ableitung der [mm] \delta [/mm] -Funktion nach der Zeit ist, wo ich aber auch nicht weiß wie ich die behandeln soll.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:38 Di 27.10.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ich misch mich einfach mal mit ein^^.
> Ich würde sagen die Antwort ist [mm]\vec{j}(\vec{r},t) =q*\bruch{\partial\vec{r_{q}}}{\partial t}*\delta (\vec{r}-\vec{r_{q}}(t)).[/mm]
Nicht ganz: die Geschwindigkeit ist die totale Zeitableitung, also
[mm]\vec{j}(\vec{r},t) =q*\bruch{d\vec{r_{q}}}{dt}*\delta (\vec{r}-\vec{r_{q}}(t))[/mm].
Das ist aber hier egal, weil [mm] $\vec{r}_q(t)$ [/mm] nur von t abhängt und daher partielle und totale Ableitung identisch sind.
>
> So und jetzt gehts ja darum in Aufgabenteil c) div [mm]\vec{j}[/mm]
> zu berechnen.
> Da kenne ich die Formel
> [mm]div\vec{j}=q*div (\bruch{\partial\vec{r_{q}}}{\partial t}*\delta (\vec{r}-\vec{r_{q}}(t)))= \bruch{\partial\vec{r_{q}}}{\partial t}*grad (\delta (\vec{r}-\vec{r_{q}}(t)))[/mm]
> + [mm]\delta (\vec{r}-\vec{r_{q}}(t))*div \bruch{\partial\vec{r_{q}}}{\partial t}[/mm]
$ [mm] \mathop{\mathrm{div}}\bruch{\partial\vec{r_{q}}}{\partial t} [/mm] = 0$, denn [mm] $\vec{r}_q$ [/mm] hängt nicht vom Ort [mm] $\vec{r}$ [/mm] ab.
Also ist
[mm] \mathop{\mathrm{div}}\vec{\jmath} = q \Dot{\Vec{r}}_q(t) * \mathop{\mathrm{grad}} \delta (\vec{r}-\vec{r_{q}}(t)) [/mm].
> Hier weiß nicht, wie ich die [mm]\delta[/mm] Funktion behandeln
> soll?! Also was grad [mm](\delta (\vec{r}-\vec{r_{q}}(t)))[/mm]
> ist?
(Dann ist es einfacher, mit der Integralform der Kontinuitätsgleichung zu arbeiten. Durch die [mm] $\delta$-Distributionen [/mm] sind die Integrale ja ganz einfach auszurechnen.)
Die n-dimensionale [mm] $\delta$-Distribution [/mm] ist das Produkt der eindimensionalen, also
[mm] \delta (\vec{r}-\vec{r_{q}}(t)) = \delta(x-x_q(t))*\delta(y-y_q(t))*\delta(z-z_q(t)) [/mm].
In der x-Komponente des Gradienten tritt also [mm] $\delta'(x-x_q(t))$ [/mm] auf, usw.
Aber das brauchst du nicht, denn:
>
> Bei d) ist es ähnlich:
>
> [mm]\rho (t)=q*\bruch{\partial\delta (\vec{r}-\vec{r_{q}}(t))}{\partial t}.[/mm]
>
> Was ja die erste Ableitung der [mm]\delta[/mm] -Funktion nach der
> Zeit ist, wo ich aber auch nicht weiß wie ich die
> behandeln soll.
[mm] \bruch{\partial\rho(\vec{r},t)}{\partial t} = q*\bruch{\partial\delta (\vec{r}-\vec{r_{q}}(t))}{\partial t} [/mm],
und das ist gerade nach der Kettenregel
[mm] = q* \mathop{\mathrm{grad}} \delta (\vec{r}-\vec{r_{q}}(t))} * \bruch{\partial (\vec{r}-\vec{r_{q}}(t))}{\partial t} = q* \mathop{\mathrm{grad}} \delta (\vec{r}-\vec{r_{q}}(t))} * (-\Dot{\Vec{r}}_q(t)) [/mm]
Viele Grüße
Rainer
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