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| Aufgabe | | bestimmen sie das konvergenzverhalten folgender reihe: [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{\wurzel{n(n+1)}} [/mm] |
also ich bin jetzt langsam am ende mit meinem latein, hab das wurzelkriterium, quotientenkr., partialbruchzerlegung,... ausprobiert aber nichts führt zum ziel. weiß jemand weiter?danke
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Hallo sepp-sepp,
> bestimmen sie das konvergenzverhalten folgender reihe:
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{\wurzel{n(n+1)}}[/mm]
> also ich
> bin jetzt langsam am ende mit meinem latein, hab das
> wurzelkriterium, quotientenkr., partialbruchzerlegung,...
> ausprobiert aber nichts führt zum ziel. weiß jemand
> weiter?danke
Nun, die Reihe ist für große n doch von der Form [mm] $\sum\frac{1}{\sqrt{n^2}}=\sum\frac{1}{n}$ [/mm]
Das ist die bekanntermaßen divergente harmonische Reihe.
Versuche also gem. Vergleichskriterium (auch: Majoranten-/Minorantenkrit.) deine Reihe gegen eine Variante der harmonischen Reihe, also [mm] $M\cdot{}\sum\frac{1}{n}, [/mm] \ \ [mm] (M\neq [/mm] 0)$ abzuzschätzen.
Gruß
schachuzipus
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du meinst also das minorantekriterium, richtig? das heißt ich suche eine divergierende reihe, welche stets kleiner ist als [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{\wurzel{n(n+1)}} [/mm] oder kann ich da gleich meine angenäherte form verwenden und dazu eine kleinere div. reihe suchen. was meinst du mit dem faktor "M"? hast du es so gedacht, dass z.b. für M=0,5 die harmonische reihe kleiner ist als für M=1 oder wie meinst du das?
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Hallo nochmal,
> du meinst also das minorantekriterium, richtig? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
genau!
> das heißt
> ich suche eine divergierende reihe, welche stets kleiner
> ist als [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{\wurzel{n(n+1)}}[/mm]
Ja!
> oder kann ich da gleich meine angenäherte form verwenden
> und dazu eine kleinere div. reihe suchen. was meinst du mit
> dem faktor "M"? hast du es so gedacht, dass z.b. für M=0,5
> die harmonische reihe kleiner ist als für M=1 oder wie
> meinst du das?
Es ist [mm] $\frac{1}{\sqrt{n(n+\blue{1})}} [/mm] \ > \ [mm] \frac{1}{\sqrt{n(n+\blue{n})}}$ [/mm] (für $n>1$)
Nenner vergrößert [mm] \rightarrow [/mm] Bruch verkleinert
[mm] $=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot{}\frac{1}{n}$
[/mm]
Damit [mm] $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n(n+1)}} [/mm] \ > \ [mm] \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot{}\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$
[/mm]
LG
schachuzipus
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