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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:26 Mo 15.11.2004 | | Autor: | barunka |
Kann mir bitte jemand ein Hinweis geben,wie ich am besten folgende aufgabe lösen soll:
Seien U, V [mm] \subseteq \IC [/mm] und U offen. Beweisen Sie: U [mm] \cap \overline{V} \subseteq \overline{U \cap V}.
[/mm]
Vielen dank.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:25 Mo 15.11.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo barunka!
Es sei also $x [mm] \in [/mm] U [mm] \cap \bar{V}$ [/mm] beliebig gewählt. Zu zeigen ist:
$x [mm] \in \overline{U \cap V}$.
[/mm]
Wir müssen also zeigen, dass $x$ ein Berührpunkt von $U [mm] \cap [/mm] V$ ist und somit die folgende Aussage beweisen:
Für alle [mm] $\blue{\varepsilon >0}$ [/mm] gilt:
(1) [mm] $\blue{B_{\varepsilon}(x) \cap(U \cap V) \ne \emptyset}$.
[/mm]
Nun ist $U$ nach Voraussetzung offen. Wegen $x [mm] \in [/mm] U$ gibt es ein [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] mit
(2) [mm] $B_{\varepsilon}(x) \subset [/mm] U$.
Nach Voraussetzung gilt zudem $x [mm] \in \bar{V}$, [/mm] d.h. $x$ ist ein Berührpunkt von $V$. Daraus folgt:
(3) [mm] $B_{\varepsilon}(x) \cap [/mm] V [mm] \ne \emptyset$.
[/mm]
Jetzt musst du nur noch (1) mit Hilfe von (2) und (3) zeigen. Schaffst du das? 
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:15 Mo 15.11.2004 | | Autor: | barunka |
das Problem ist. ich habe diesen analysis kram noch nie vorher gesehen...kann also gar nichts damit anfangen...und jetzt soll ich diese aufgaben aus dem Stehgreif lösen....bitte-bitte, helft mir!!!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:13 Mo 15.11.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo barunka!
>...bitte-bitte, helft mir!!!!
Soll das ein Witz sein? ![[kopfkratz]](/images/smileys/kopfkratz.gif "[kopfkratz]") Ich habe dir doch schon geholfen und die Aufgabe fast komplett vorgerechnet. Der Rest folgt jetzt so:
[mm] $B_{\varepsilon}(x) \cap [/mm] (U [mm] \cap [/mm] V) = [mm] (B_{\varepsilon}(x) \cap [/mm] U) [mm] \cap [/mm] V [mm] \stackrel{(2)}{=} B_{\varepsilon}(x) \cap [/mm] V [mm] \stackrel{(3)}{\ne} \emptyset$.
[/mm]
Liebe Grüße
Julius
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