topologisch äquivalent < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:51 Mi 04.05.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Sei X eine Menge und d und d' zwei Metriken auf X.Dann heißen d und d' topologisch äquivalent,falls:
[mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] X und [mm] \forall \varepsilon>0 \exists \varepsilon'>0:K_{d}(x,\varepsilon') \subset K_{d'}(x;\varepsilon) [/mm] und
[mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] X und [mm] \forall \varepsilon>0 \exists \varepsilon'>0:K_{d'}(x,\varepsilon') \subset K_{d}(x;\varepsilon).
[/mm]
a) Seien d und d' zwei äquivalente Metriken auf X.Man zeige,dass eine Folge [mm] x_{1},x_{2},...\in [/mm] X genau dann bezüglich d konvergiert,wenn sie bezüglich d' konvergiert und die Grenzwerte sind gleich. |
Hallo^^
Ich habe einige Probleme mit dieser Aufgabe und komme nicht mehr weiter.
Ich hab mal mit der Hinrichtung angefangen:
Angenommen [mm] \{x_{n}\} [/mm] konvergiert bzgl. d gegen ein x [mm] \in [/mm] X.Dann gilt:
[mm] \forall \varepsilon>0 \exists [/mm] N [mm] \in \IN: d(c_{n},x)< \varepsilon \forall [/mm] n>N und [mm] \{x_{n}\} \in K_{d}(x,\varepsilon).
[/mm]
Jetzt weiß ich,dass [mm] \{x_{n}\} \in K_{d}(x,\varepsilon) \supset K_{d'}(x,\varepsilon'). [/mm] Damit gilt auch [mm] \{x_{n}\} \in K_{d'}(x,\varepsilon').
[/mm]
Das bedeutet aber,dass [mm] \{x_{n}\} [/mm] bezüglich d' gegen [mm] \varepsilon' [/mm] konvergiert. Eigentlich ist es doch damit gezeigt, aber das ist bestimmt wieder falsch,weils so zu leicht wäre.
Kann mir bitte jemand sagen, wo mein Fehler liegt?
Vielen Dank
lg
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:11 Mi 04.05.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Sei X eine Menge und d und d' zwei Metriken auf X.Dann
> heißen d und d' topologisch äquivalent,falls:
> [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] X und [mm]\forall \varepsilon>0 \exists \varepsilon'>0:K_{d}(x,\varepsilon') \subset K_{d'}(x;\varepsilon)[/mm]
> und
> [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] X und [mm]\forall \varepsilon>0 \exists \varepsilon'>0:K_{d'}(x,\varepsilon') \subset K_{d}(x;\varepsilon).[/mm]
>
> a) Seien d und d' zwei äquivalente Metriken auf X.Man
> zeige,dass eine Folge [mm]x_{1},x_{2},...\in[/mm] X genau dann
> bezüglich d konvergiert,wenn sie bezüglich d' konvergiert
> und die Grenzwerte sind gleich.
> Hallo^^
>
> Ich habe einige Probleme mit dieser Aufgabe und komme nicht
> mehr weiter.
> Ich hab mal mit der Hinrichtung angefangen:
>
> Angenommen [mm]\{x_{n}\}[/mm] konvergiert bzgl. d gegen ein x [mm]\in[/mm]
> X.Dann gilt:
>
> [mm]\forall \varepsilon>0 \exists N \in \IN: d(c_{n},x)< \varepsilon \,\, \forall n>N [/mm]
> und [mm]\{x_{n}\} \in K_{d}(x,\varepsilon).[/mm]
> Jetzt weiß
> ich,dass [mm]\{x_{n}\} \in K_{d}(x,\varepsilon) \supset K_{d'}(x,\varepsilon').[/mm]
> Damit gilt auch [mm]\{x_{n}\} \in K_{d'}(x,\varepsilon').[/mm]
>
> Das bedeutet aber,dass [mm]\{x_{n}\}[/mm] bezüglich d' gegen
> [mm]\varepsilon'[/mm] konvergiert. Eigentlich ist es doch damit
> gezeigt, aber das ist bestimmt wieder falsch,weils so zu
> leicht wäre.
Nein, es ist nicht ganz gezeigt. Schau dir die Definition der Konvergenz genau an. Den Anfang hast du richtig, aber das Ende nicht.
Angenommen [mm]\{x_{n}\}[/mm] konvergiert bzgl. d gegen ein [mm]x\in X[/mm] . Dann gilt
[mm]\forall \varepsilon>0 : \exists N\in \IN: d(x_n,x) < \varepsilon \,\, \forall n>N [/mm]
und [mm] $d(x_n,x) [/mm] < [mm] \varepsilon \gdw x_n \in K_{d}(x,\varepsilon) [/mm] $ .
Zu zeigen: [mm]\{x_{n}\}[/mm] konvergiert bzgl. $d'$, also:
[mm]\forall \varepsilon>0 : \exists N'\in \IN: d(x_n,x) < \varepsilon \,\,\forall n>N' [/mm]
und wieder [mm] $d'(x_n,x) [/mm] < [mm] \varepsilon \gdw x_n \in K_{d'}(x,\varepsilon) [/mm] $ .
Siehst du den Unterschied? In deinem Ansatz hast du [mm] $\varepsilon$ [/mm] und [mm] $\varepsilon'$. [/mm] Das geht aber nicht, weil in der Definition der Konvergenz das [mm] $\varepsilon$ [/mm] vorgegeben ist. Da musst das $N'$ finden.
Dafür ist es besser, den Beweis von hinten aufzurollen: du brauchst am Schluss die Aussage [mm] $x_n \in K_{d'}(x,\varepsilon) [/mm] $ für $n>N'$ . Nun weisst du, dass es ein [mm] $\varepsilon'$ [/mm] gibt, sodass
[mm] K_{d}(x,\varepsilon') \subset K_{d'}(x,\varepsilon) [/mm]
und damit sicher [mm] $x_n \in K_{d'}(x,\varepsilon) [/mm] $ ist, wenn [mm] $x_n \in K_{d}(x,\varepsilon')$ [/mm] .
Wie musst du also $N'$ wählen?
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:20 Mi 04.05.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo rainerS,
Danke, du hast Ordnung in meine Gedanken gebracht.Diese ganzen Kugeln, d's und Epsilons haben mich ein bisschen durcheinander gebracht.
> Angenommen [mm]\{x_{n}\}[/mm] konvergiert bzgl. d gegen ein [mm]x\in X[/mm]
> . Dann gilt
>
> [mm]\forall \varepsilon>0 : \exists N\in \IN: d(x_n,x) < \varepsilon \,\, \forall n>N[/mm]
>
> und [mm]d(x_n,x) < \varepsilon \gdw x_n \in K_{d}(x,\varepsilon)[/mm]
> .
>
> Zu zeigen: [mm]\{x_{n}\}[/mm] konvergiert bzgl. [mm]d'[/mm], also:
>
> [mm]\forall \varepsilon>0 : \exists N'\in \IN: d(x_n,x) < \varepsilon \,\,\forall n>N'[/mm]
>
> und wieder [mm]d'(x_n,x) < \varepsilon \gdw x_n \in K_{d'}(x,\varepsilon)[/mm]
> .
>
> Siehst du den Unterschied? In deinem Ansatz hast du
> [mm]\varepsilon[/mm] und [mm]\varepsilon'[/mm]. Das geht aber nicht, weil in
> der Definition der Konvergenz das [mm]\varepsilon[/mm] vorgegeben
> ist. Da musst das [mm]N'[/mm] finden.
Ja,jetzt sehe ich den Unterschied.
>
> Dafür ist es besser, den Beweis von hinten aufzurollen: du
> brauchst am Schluss die Aussage [mm]x_n \in K_{d'}(x,\varepsilon)[/mm]
> für [mm]n>N'[/mm] . Nun weisst du, dass es ein [mm]\varepsilon'[/mm] gibt,
> sodass
>
> [mm]K_{d}(x,\varepsilon') \subset K_{d'}(x,\varepsilon)[/mm]
>
> und damit sicher [mm]x_n \in K_{d'}(x,\varepsilon)[/mm] ist, wenn
> [mm]x_n \in K_{d}(x,\varepsilon')[/mm] .
>
> Wie musst du also [mm]N'[/mm] wählen?
Also wenn ich das jetzt richtig verstanden habe, ist es so:
Wir nehmen an, dass [mm] \{x_{n}\}
[/mm]
bzgl. d gegen ein x [mm] \in [/mm] X konvergiert, d.h. [mm] x_{n} \in K_{d}(x,\varepsilon).
[/mm]
Und wir wissen,dass es ein [mm] \varepsilon' [/mm] gibt mit [mm] K_{d}(x,\varepsilon') \subset K_{d'}(x,\varepsilon). [/mm]
Jetzt brauchen wir ein N',sodass [mm] x_{n} \in K_{d'}(x,\varepsilon).
[/mm]
Demnach müssten wir unser N'>N wählen,richtig?
lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:23 Mi 04.05.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo rainerS,
>
> Danke, du hast Ordnung in meine Gedanken gebracht.Diese
> ganzen Kugeln, d's und Epsilons haben mich ein bisschen
> durcheinander gebracht.
> > Angenommen [mm]\{x_{n}\}[/mm] konvergiert bzgl. d gegen ein [mm]x\in X[/mm]
> > . Dann gilt
> >
> > [mm]\forall \varepsilon>0 : \exists N\in \IN: d(x_n,x) < \varepsilon \,\, \forall n>N[/mm]
> >
> > und [mm]d(x_n,x) < \varepsilon \gdw x_n \in K_{d}(x,\varepsilon)[/mm]
> > .
> >
> > Zu zeigen: [mm]\{x_{n}\}[/mm] konvergiert bzgl. [mm]d'[/mm], also:
> >
> > [mm]\forall \varepsilon>0 : \exists N'\in \IN: d(x_n,x) < \varepsilon \,\,\forall n>N'[/mm]
> >
> > und wieder [mm]d'(x_n,x) < \varepsilon \gdw x_n \in K_{d'}(x,\varepsilon)[/mm]
> > .
> >
> > Siehst du den Unterschied? In deinem Ansatz hast du
> > [mm]\varepsilon[/mm] und [mm]\varepsilon'[/mm]. Das geht aber nicht, weil in
> > der Definition der Konvergenz das [mm]\varepsilon[/mm] vorgegeben
> > ist. Da musst das [mm]N'[/mm] finden.
>
> Ja,jetzt sehe ich den Unterschied.
> >
> > Dafür ist es besser, den Beweis von hinten aufzurollen: du
> > brauchst am Schluss die Aussage [mm]x_n \in K_{d'}(x,\varepsilon)[/mm]
> > für [mm]n>N'[/mm] . Nun weisst du, dass es ein [mm]\varepsilon'[/mm] gibt,
> > sodass
> >
> > [mm]K_{d}(x,\varepsilon') \subset K_{d'}(x,\varepsilon)[/mm]
> >
> > und damit sicher [mm]x_n \in K_{d'}(x,\varepsilon)[/mm] ist, wenn
> > [mm]x_n \in K_{d}(x,\varepsilon')[/mm] .
> >
> > Wie musst du also [mm]N'[/mm] wählen?
>
> Also wenn ich das jetzt richtig verstanden habe, ist es
> so:
> Wir nehmen an, dass [mm]\{x_{n}\}[/mm]
> bzgl. d gegen ein x [mm]\in[/mm] X konvergiert, d.h. [mm]x_{n} \in K_{d}(x,\varepsilon).[/mm]
>
> Und wir wissen,dass es ein [mm]\varepsilon'[/mm] gibt mit
> [mm]K_{d}(x,\varepsilon') \subset K_{d'}(x,\varepsilon).[/mm]
> Jetzt brauchen wir ein N',sodass [mm]x_{n} \in K_{d'}(x,\varepsilon).[/mm]
>
> Demnach müssten wir unser N'>N wählen,richtig?
Nein, das muss nicht der Fall sein; du weisst doch gar nicht, wie groß [mm] $\varepsilon$ [/mm] und [mm] $\varepsilon'$ [/mm] sind.
Nimm dir zum Beispiel den einfachen Fall $d'(x,y) := 2 d(x,y)$ und spiel das mal durch.
Du willst zeigen, dass es zu jedem [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] ein $N'$ gibt, sodass [mm] $x_n\in K_{d'}(x,\varepsilon)$ [/mm] für $n>N'$. Nun gibt es ein [mm] $\varepsilon'>0$, [/mm] sodass [mm] $K_{d}(x,\varepsilon') \subset K_{d'}(x,\varepsilon)$. [/mm] Wenn nun gilt
(*) [mm] x_n \in K_{d}(x,\varepsilon') [/mm],
dann gilt damit auch
(**) [mm] x_n \in K_{d'}(x,\varepsilon) [/mm] .
Soweit sind wir uns ja einig.
Nach Voraussetzung konvergiert [mm] $\{x_n\}$ [/mm] bzgl d, d.h. zu [mm] $\varepsilon'>0$ [/mm] gibt es ein $N'$, sodass (*) gilt für $n>N'$. Damit gilt auch (**) für $n>N'$, und das heisst, du hasst zu dem vorgegebenen [mm] $\varepsilon$ [/mm] über den Umweg mit [mm] $\varepsilon'$ [/mm] ein passendes $N'$ gefunden, also konvergiert [mm] $\{x_n\}$ [/mm] auch bzgl. $d'$.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
|
