total differenzierbar < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:24 Fr 03.06.2011 | | Autor: | fract |
| Aufgabe | Untersuche f auf Differenzierbarkeit!
$ f: [mm] \IR^2 \to \IR [/mm] , [mm] f(x,y)=\begin{cases} \bruch{x^3}{\wurzel{x^2+y^2}}, & \mbox{für } (x,y)^T \not= (0,0)^T \\ 0, & \mbox{für }(x,y)^T = (0,0)^T \end{cases} [/mm] $ |
ich hab gerade ein problem mit der aufgabe. und zwar ist doch ein kriterium damit f diff'bar ist, dass alle partiellen ableitungen existieren und stetig sein müssen. also für [mm] (x,y)^T \not= (0,0)^T [/mm] existieren ja alle part. Ableitungen und sind auch stetig. Also muss ich [mm] (x,y)^T [/mm] = [mm] (0,0)^T [/mm] untersuchen, aber da fängt's an zu haken...: es gilt:$ f(0,y)=0 [mm] \not= x^2=f(x,0)$
[/mm]
oder hab ich einen fehler in meiner überlegung bzw. ist meine Herangehensweise falsch???
danke für hilfe
fract
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:02 Fr 03.06.2011 | | Autor: | ron |
Hallo,
es sind hier Grenzwertbetrachtungen um 0 zu untersuchen.
Im [mm] \IR^{n} [/mm] sind alle Richtung auf den kritischen Punkt (0,0) zu untersuchen.
Der Ansatz ist ja richtig, nur beachte y [mm] \not= [/mm] 0 mit y [mm] \in \IR [/mm] und x=0
Dann Limes y strebt gegen 0 (zur Optimierung vom + und - betrachtet, wer möchte) untersuchen.
Das gleiche mit umgekehrten Rollen für y=0 und x [mm] \not=0
[/mm]
für die Funktion und die Richtungsableitungen müssen dann jeweils die gleichen Grenzwerte herauskommen. Beachte f(0,0) = 0 und f'(0,0)=0 !!!!
Der Fehler in der Ansatzüberlegung:
y=0 und [mm] \limes_{x\rightarrow\{ 0}}f(x,0) [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\{ 0}} x^{2} [/mm] = 0
Hoffe diese kurze Ausführung hilft für den weiteren Rechenweg. Wichtig, immer aufpassen welche "Variable" im Limes betrachtet wird!
Gruß
ron
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:22 Fr 03.06.2011 | | Autor: | fract |
danke erstmal.^^ also wenn ich das richtig versteh, muss ich folgendes untersuchen:
für (x,y)=(0,0) gilt:
Fall 1: [mm] x\not=0 [/mm] , y=0
$ [mm] \limes_{x\rightarrow 0}f(x,0) [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow 0}x^2 [/mm] = 0 $
Fall 2: [mm] y\not=0 [/mm] , x=0
$ [mm] \limes_{y\rightarrow 0}f(0,y) [/mm] = [mm] \limes_{y\rightarrow 0}0 [/mm] = 0 $
damit weiß ich jetzt, dass f stetig ist in (0,0) ?
und wie gehts jetzt weiter? sorry aber ich werd nicht ganz so schlau aus deiner mitteilung
fract
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:41 Sa 04.06.2011 | | Autor: | fred97 |
> danke erstmal.^^ also wenn ich das richtig versteh, muss
> ich folgendes untersuchen:
> für (x,y)=(0,0) gilt:
> Fall 1: [mm]x\not=0[/mm] , y=0
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0}f(x,0) = \limes_{x\rightarrow 0}x^2 = 0[/mm]
>
> Fall 2: [mm]y\not=0[/mm] , x=0
> [mm]\limes_{y\rightarrow 0}f(0,y) = \limes_{y\rightarrow 0}0 = 0[/mm]
>
> damit weiß ich jetzt, dass f stetig ist in (0,0) ?
> und wie gehts jetzt weiter? sorry aber ich werd nicht
> ganz so schlau aus deiner mitteilung
....................ich auch nicht.....
Mach es so: Zeige zunächst: gradf(0,0)=(0,0). Dann betrachte
$Q(x,y):= [mm] \bruch{f(x,y)-f(0,0)-gradf(0,0)*\vektor{x \\ y}}{\wurzel{x^2+y^2}}$
[/mm]
f ist in (0,0) genau dann total differenzierbar,
wenn Q(x,y) [mm] \to [/mm] 0 für (x,y) [mm] \to [/mm] (0,0)
FRED
>
> fract
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:01 Sa 04.06.2011 | | Autor: | fract |
ok. gut das versteh ich.
$ grad f = [mm] \begin{cases}( \bruch{2x^4+3x^2y^2}{\wurzel[3]{x^2+y^2}},\bruch{-x^3y}{\wurzel[3]{x^2+y^2}}) & \mbox{für } (x,y)^T \not= (0,0)^T \\ (0,0) & \mbox{für }(x,y)^T = (0,0)^T \end{cases} [/mm] $
schreibt man das so auf??
weiter:
$ Q(x,y)= [mm] \bruch{f(x,y)-f(0,0)-gradf(0,0)\cdot{}\vektor{x \\ y}}{\wurzel{x^2+y^2}} [/mm] = [mm] \bruch{\bruch{x^3}{\wurzel{x^2+y^2}}-0-0}{\wurzel{x^2+y^2}}= \bruch{x^3}{x^2+y^2} [/mm] $
dann gilt: $ Q(x,0) = x [mm] \to [/mm] 0 $ für $ x [mm] \to [/mm] 0 $ und $ Q(0,y) = 0 $ also folgt [mm] $\limes_{(x,y)\rightarrow (0,0)}Q(x,y) [/mm] = 0 $
damit hätt ich das gezeigt, was du meintest. bin ich dann jetzt fertig oder fehlt noch was??
danke^^
gruß fract
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:47 So 05.06.2011 | | Autor: | fred97 |
> ok. gut das versteh ich.
>
> [mm]grad f = \begin{cases}( \bruch{2x^4+3x^2y^2}{\wurzel[3]{x^2+y^2}},\bruch{-x^3y}{\wurzel[3]{x^2+y^2}}) & \mbox{für } (x,y)^T \not= (0,0)^T \\ (0,0) & \mbox{für }(x,y)^T = (0,0)^T \end{cases}[/mm]
>
> schreibt man das so auf??
>
> weiter:
> [mm]Q(x,y)= \bruch{f(x,y)-f(0,0)-gradf(0,0)\cdot{}\vektor{x \\ y}}{\wurzel{x^2+y^2}} = \bruch{\bruch{x^3}{\wurzel{x^2+y^2}}-0-0}{\wurzel{x^2+y^2}}= \bruch{x^3}{x^2+y^2}[/mm]
>
> dann gilt: [mm]Q(x,0) = x \to 0[/mm] für [mm]x \to 0[/mm] und [mm]Q(0,y) = 0[/mm]
> also folgt [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow (0,0)}Q(x,y) = 0[/mm]
Nein. Im allg. folgt aus
[mm]Q(x,0) \to 0[/mm] für [mm]x \to 0[/mm]
und
[mm]Q(0,y) \to 0[/mm] für [mm]y \to 0[/mm]
nicht , dass [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow (0,0)}Q(x,y) = 0[/mm] !!!
Zeige: $|Q(x,y)| [mm] \le [/mm] |x|$
FRED
>
> damit hätt ich das gezeigt, was du meintest. bin ich dann
> jetzt fertig oder fehlt noch was??
> danke^^
>
> gruß fract
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:09 So 05.06.2011 | | Autor: | fract |
ahh oke. danke.
das hab ich jetzt gezeigt und damit weiß ich dann, dass $ [mm] \limes_{(x,y)\rightarrow (0,0)}Q(x,y) [/mm] = 0 $. und damit hab ich die diff'barkeit gezeigt und bin dann fertig... /oder fehlt noch etwas??
danke
fract
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:51 So 05.06.2011 | | Autor: | fred97 |
> ahh oke. danke.
>
> das hab ich jetzt gezeigt und damit weiß ich dann, dass
> [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow (0,0)}Q(x,y) = 0 [/mm]. und damit hab
> ich die diff'barkeit gezeigt und bin dann fertig... /oder
> fehlt noch etwas??
Nein
FRED
>
> danke
> fract
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Ich hätte auch nochmal eine Frage hierzu.
Man will doch jetzt zeigen, dass gilt.
[mm] \limes_{(x,y)\rightarrow\ (0,0)} [/mm] Q(x,y) = [mm] limes_{(x,y)\rightarrow\ (0,0)} \bruch{x^3}{x^2+y^2} [/mm] = 0
Dahin führt zweimal l'hospital. Darf man das machen? Ich verstehe nämlich deinen Einwand mit dem |Q(x,y)| <= |x|
Liebe Grüße, D.be
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Hallo Dominik.be,
> Ich hätte auch nochmal eine Frage hierzu.
>
> Man will doch jetzt zeigen, dass gilt.
>
> [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow\ (0,0)}[/mm] Q(x,y) =
> [mm]limes_{(x,y)\rightarrow\ (0,0)} \bruch{x^3}{x^2+y^2}[/mm] = 0
>
> Dahin führt zweimal l'hospital.
Aha, und wie im Detail?
> Darf man das machen? Ich
> verstehe nämlich deinen Einwand mit dem |Q(x,y)| <= |x|
Na, es ist doch [mm]|Q(x,y)|=\frac{\left|x^3\right|}{x^2+y^2}\overset{(\star)}{\le}\frac{\left|x^3\right|}{x^2}=|x|\longrightarrow 0[/mm]
[mm](\star): y^2\ge 0\Rightarrow x^2+y^2\ge x^2\Rightarrow \frac{1}{x^2+y^2}\le\frac{1}{x^2}[/mm]
>
> Liebe Grüße, D.be
Gruß
schachuzipus
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Ach ja.... ich bin aber auch blind... und zu l'Hospital nochmal:
Darf man nicht nach x und y gleichzeitig ableiten? War leider die letzte Woche nicht im Tutorium und mir wurde erzählt, dass es da so gemacht wurde. :x
Das wäre dann:
[mm] limes_{(x,,y)\rightarrow\ (0,0)} [/mm] Q(x,y)
= [mm] limes_{(x,,y)\rightarrow\ (0,0)} \bruch{x^3}{x^2+y^2}
[/mm]
= [mm] limes_{(x,,y)\rightarrow\ (0,0)} \bruch{3*x^2}{2*x+2*y}
[/mm]
= [mm] limes_{(x,,y)\rightarrow\ (0,0)} \bruch{6*x}{2+2}
[/mm]
= 0
Erlaubt, verboten, Unfug? Klärt mich bitte auf. :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:46 Di 07.06.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ach ja.... ich bin aber auch blind... und zu l'Hospital
> nochmal:
>
> Darf man nicht nach x und y gleichzeitig ableiten? War
> leider die letzte Woche nicht im Tutorium und mir wurde
> erzählt, dass es da so gemacht wurde. :x
... dann gehört der Tutor sofort entlassen .....
>
> Das wäre dann:
>
> [mm]limes_{(x,,y)\rightarrow\ (0,0)}[/mm] Q(x,y)
> = [mm]limes_{(x,,y)\rightarrow\ (0,0)} \bruch{x^3}{x^2+y^2}[/mm]
> =
> [mm]limes_{(x,,y)\rightarrow\ (0,0)} \bruch{3*x^2}{2*x+2*y}[/mm]
> =
> [mm]limes_{(x,,y)\rightarrow\ (0,0)} \bruch{6*x}{2+2}[/mm]
> = 0
>
> Erlaubt
Nein
> verboten,
Ja
Unfug?
Ja, ganz großer !
FRED
Klärt mich bitte auf. :)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:42 Mo 06.06.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ich hätte auch nochmal eine Frage hierzu.
>
> Man will doch jetzt zeigen, dass gilt.
>
> [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow\ (0,0)}[/mm] Q(x,y) =
> [mm]limes_{(x,y)\rightarrow\ (0,0)} \bruch{x^3}{x^2+y^2}[/mm] = 0
>
> Dahin führt zweimal l'hospital.
Und nach was differenzierst Du ? Nach x oder nach y oder nach x und y oder nach Otto ?
FRED
> Darf man das machen? Ich
> verstehe nämlich deinen Einwand mit dem |Q(x,y)| <= |x|
>
> Liebe Grüße, D.be
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:47 Mo 04.07.2011 | | Autor: | karimb |
> > danke erstmal.^^ also wenn ich das richtig versteh, muss
> > ich folgendes untersuchen:
> > für (x,y)=(0,0) gilt:
> > Fall 1: [mm]x\not=0[/mm] , y=0
> > [mm]\limes_{x\rightarrow 0}f(x,0) = \limes_{x\rightarrow 0}x^2 = 0[/mm]
>
> >
> > Fall 2: [mm]y\not=0[/mm] , x=0
> > [mm]\limes_{y\rightarrow 0}f(0,y) = \limes_{y\rightarrow 0}0 = 0[/mm]
>
> >
> > damit weiß ich jetzt, dass f stetig ist in (0,0) ?
> > und wie gehts jetzt weiter? sorry aber ich werd nicht
> > ganz so schlau aus deiner mitteilung
>
>
>
> ....................ich auch nicht.....
>
>
>
> Mach es so: Zeige zunächst: gradf(0,0)=(0,0).
um das zu zeigen sollte man die folgende Formel benutzen: [mm] \limes_{h\rightarrow\0} \bruch{f(0+h;0) - f(0,0)}{h} [/mm] = [mm] \limes_{h\rightarrow\0} \bruch{f(0;0+h) - f(0,0)}{h} [/mm] = 0 ??
danke!!
>Dann betrachte
>
> [mm]Q(x,y):= \bruch{f(x,y)-f(0,0)-gradf(0,0)*\vektor{x \\ y}}{\wurzel{x^2+y^2}}[/mm]
>
> f ist in (0,0) genau dann total differenzierbar,
>
> wenn Q(x,y) [mm]\to[/mm] 0 für (x,y) [mm]\to[/mm] (0,0)
>
> FRED
> >
> > fract
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Hallo karimb,
> > Mach es so: Zeige zunächst: gradf(0,0)=(0,0).
> um das zu zeigen sollte man die folgende Formel benutzen:
> [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(0+h;0) - f(0,0)}{h}[/mm] = [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(0;0+h) - f(0,0)}{h}[/mm] = 0 ??
Ja, so solltest du ansetzen!
> danke!!
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:31 Mo 04.07.2011 | | Autor: | karimb |
> Hallo karimb,
>
>
>
> > > Mach es so: Zeige zunächst: gradf(0,0)=(0,0).
> > um das zu zeigen sollte man die folgende Formel benutzen:
> > [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(0+h;0) - f(0,0)}{h}[/mm] =
> [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(0;0+h) - f(0,0)}{h}[/mm] = 0
> ??
>
> Ja, so solltest du ansetzen!
aber das wurde schon ausgerechnet, oder? bei den zwei Fällen:
Fall 1: x!=0 , y=0 ; limes f= 0 (x-->0)
Fall 2: y!=0 , x=0 ; limes f= 0 (y-->0)
warum sollte ich nochmal "fast" das gleiche Sache zeigen?
danke!!
karimb
>
> Gruß
>
> schachuzipus
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Hallo nochmal,
> > Hallo karimb,
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> > > > Mach es so: Zeige zunächst: gradf(0,0)=(0,0).
> > > um das zu zeigen sollte man die folgende Formel benutzen:
> > > [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(0+h;0) - f(0,0)}{h}[/mm]
> =
> > [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(0;0+h) - f(0,0)}{h}[/mm] = 0
> > ??
> >
> > Ja, so solltest du ansetzen!
>
> aber das wurde schon ausgerechnet, oder? bei den zwei
> Fällen:
> Fall 1: x!=0 , y=0 ; limes f= 0 (x-->0)
> Fall 2: y!=0 , x=0 ; limes f= 0 (y-->0)
> warum sollte ich nochmal "fast" das gleiche Sache zeigen?
> danke!!#
Nein, das genügt nicht (das hat Fred irgendwo in einer Antwort weiter oben geschrieben - allerdings bezogen auf [mm]Q(x,y)[/mm], was weiter oben drfiniert ist)
Du musst schon die partiellen Ableitungen in [mm](0,0)[/mm] mit der Formel ausrechnen ...
>
> karimb
Gruß
schachuzipus
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