totale Diff'barkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Betrachten Sie die Funktion [mm] f : [mm] \IR^2 \to\IR [/mm] mit [mm] f(x,y):=\begin{cases} \bruch{y^2x}{\wurzel{x^2+y^2}}, & \mbox{für } (x,y) \not= (0,0) \\ 0, & \mbox{für } (x,y) = (0,0) \end{cases}
[/mm]
a) Entscheiden Sie,ob [mm]f[/mm] in [mm](0,0)[/mm] partiell diff'bar ist, und bestimmen Sie bestimmen Sie ggf. grad [mm]f (0,0)[/mm].
b) Entscheiden Sie anhand der Definition der totalen Diff'barkeit, ob [mm]f[/mm] in [mm](0,0)[/mm] total diff'bar ist. |
a) [mm] \limes_{h\rightarrow\0} \bruch{f(0,h)-f(0,0)}{h} [/mm] = [mm] \limes_{h\rightarrow\0} \bruch{\bruch{0}{\wurzel{h^2}}}{h} [/mm] = 0 = [mm] f_y(0,0)
[/mm]
[mm] \limes_{h\rightarrow\0} \bruch{f(h,0)-f(0,0)}{h} [/mm] = [mm] \limes_{h\rightarrow\0} \bruch{\bruch{0}{\wurzel{h^2}}}{h} [/mm] = 0 = [mm] f_x(0,0)
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] f ist in (0,0) part. diff'bar mit grad f(0,0) = (0,0)
Den Teil konnte ich, aber beim nächsten Teil stehe ich ein bisschen auf dem Schlauch...
LG fagottator
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Hallo fagottator,
> Betrachten Sie die Funktion [mm]f : [mm]\IR^2 \to\IR[/mm] mit [mm]f(x,y):=\begin{cases} \bruch{y^2x}{\wurzel{x^2+y^2}}, & \mbox{für } (x,y) \not= (0,0) \\ 0, & \mbox{für } (x,y) = (0,0) \end{cases}[/mm]
a) Entscheiden Sie,ob [mm]f[/mm] in [mm](0,0)[/mm] partiell diff'bar ist, und bestimmen Sie bestimmen Sie ggf. grad [mm]f (0,0)[/mm].
b) Entscheiden Sie anhand der Definition der totalen Diff'barkeit, ob [mm]f[/mm] in [mm](0,0)[/mm] total diff'bar ist.
a) [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(0,h)-f(0,0)}{h}[/mm] = [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{\bruch{0}{\wurzel{h^2}}}{h}[/mm] = 0 = [mm]f_y(0,0)[/mm]
[mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(h,0)-f(0,0)}{h}[/mm] = [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{\bruch{0}{\wurzel{h^2}}}{h}[/mm] = 0 = [mm]f_x(0,0)[/mm]
[mm]\Rightarrow[/mm] f ist in (0,0) part. diff'bar mit grad f(0,0) = (0,0)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Den Teil konnte ich, aber beim nächsten Teil stehe ich ein bisschen auf dem Schlauch...
Na, du wirst nicht umhin kommen, die Definition der totalen Differenzierbarkeit mal nachzuschlagen.
Ohne die geht nix ...
Schreibe die mal auf!
> LG fagottator
Gruß
schachuzipus
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Hallo schachuzipus,
Na, du wirst nicht umhin kommen, die Definition der totalen Differenzierbarkeit mal nachzuschlagen.
Ohne die geht nix ...
Schreibe die mal auf!
Gruß
schachuzipus
Also die Definition ist: [mm] \limes_{h\rightarrow\0} \bruch{f(x+h)-f(x)-L(h)}{||h||_2} [/mm] = 0
In unserem Fall also: [mm] \limes_{h\rightarrow\0} \bruch{f(x+h_1,y+h_2)-f(x,y)-L(h_1,h_2)}{||h||_2} [/mm] = 0 [mm] \gdw \limes_{h\rightarrow\0} \bruch{f(h_1,h_2)-f(0,0)-L(h_1,h_2)}{||h||_2} [/mm] = 0 [mm] \gdw \limes_{h\rightarrow\0} \bruch{\bruch{h_2^2h_1}{\wurzel{h_1^2+h_2^2}}-L(h_1,h_2)}{\wurzel{h_1^2+h_2^2}} [/mm] = 0 [mm] \gdw \limes_{h\rightarrow\0} \bruch{h_2^2h_1}{h_1^2+h_2^2}-\bruch{L(h_1,h_2)}{h_1^2+h_2^2} [/mm] = 0
Und nun?
LG fagottator
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:23 Do 12.08.2010 | | Autor: | fred97 |
Mann, was kommt denn nur in Frage für L ????
Richtig, $L(h)= gradf(0,0)*h$ und das ist hier glücklicherweise = 0.
Damit schaust Du Dir an:
[mm] \bruch{f(h_1,h_2)-f(0,0)-L(h_1,h_2)}{||h||_2}.
[/mm]
Es ist
[mm] \bruch{f(h_1,h_2)-f(0,0)-L(h_1,h_2)}{||h||_2}= \bruch{h_2^2*h_1}{h_1^2+h_2^2}
[/mm]
Geht obiges gegen 0 für h [mm] \to [/mm] 0 , so ist f in (0,0) total differenzierbar, anderenfalls nicht.
FRED
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Hallo FRED
> Mann, was kommt denn nur in Frage für L ????
>
>
> Richtig, [mm]L(h)= gradf(0,0)*h[/mm] und das ist hier
> glücklicherweise = 0.
Ist L(h) immer gradf(x,y)*h oder gibt es da bestimmte Bedingungen für? Aus meiner Vorlesung werd ich da leider nicht schlau... :-( Achja, und hier ist (x,y) = (0,0), da das der Punkt ist, den ich untersuchen will, oder?
>
> Damit schaust Du Dir an:
>
> [mm]\bruch{f(h_1,h_2)-f(0,0)-L(h_1,h_2)}{||h||_2}.[/mm]
>
> Es ist
>
> [mm]\bruch{f(h_1,h_2)-f(0,0)-L(h_1,h_2)}{||h||_2}= \bruch{h_2^2*h_1}{h_1^2+h_2^2}[/mm]
>
> Geht obiges gegen 0 für h [mm]\to[/mm] 0 , so ist f in (0,0) total
> differenzierbar, anderenfalls nicht.
Also: [mm]\bruch{f(h_1,h_2)-f(0,0)-L(h_1,h_2)}{||h||_2}= \bruch{h_2^2*h_1}{||h||_2} \le \bruch{max(|h_1|,|h_2|)^3}{||h||_2} = \bruch{||h||_\infty^3}{||h||_2} \le C \cdot \bruch{||h||_2^3}{||h||_2} = C \cdot ||h||_2^2 \to 0 [/mm] [mm] \Rightarrow [/mm] f ist in (0,0) total diff'bar.
Richtig so?
>
> FRED
LG fagottator
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:48 Do 12.08.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo FRED
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> > Mann, was kommt denn nur in Frage für L ????
> >
> >
> > Richtig, [mm]L(h)= gradf(0,0)*h[/mm] und das ist hier
> > glücklicherweise = 0.
> Ist L(h) immer gradf(x,y)*h oder gibt es da bestimmte
> Bedingungen für?
Ist f in [mm] x_0 [/mm] total differenzierbar, so ist f in [mm] x_0 [/mm] partiell differenzierbar und es gilt:
[mm] $f'(x_0)= gradf(x_0)$
[/mm]
> Aus meiner Vorlesung werd ich da leider
> nicht schlau... :-( Achja, und hier ist (x,y) = (0,0),
Ja
> da
> das der Punkt ist, den ich untersuchen will, oder?
>
> >
> > Damit schaust Du Dir an:
> >
> > [mm]\bruch{f(h_1,h_2)-f(0,0)-L(h_1,h_2)}{||h||_2}.[/mm]
> >
> > Es ist
> >
> > [mm]\bruch{f(h_1,h_2)-f(0,0)-L(h_1,h_2)}{||h||_2}= \bruch{h_2^2*h_1}{h_1^2+h_2^2}[/mm]
>
> >
> > Geht obiges gegen 0 für h [mm]\to[/mm] 0 , so ist f in (0,0) total
> > differenzierbar, anderenfalls nicht.
>
> Also: [mm]\bruch{f(h_1,h_2)-f(0,0)-L(h_1,h_2)}{||h||_2}= \bruch{h_2^2*h_1}{||h||_2} \le \bruch{max(|h_1|,|h_2|)^3}{||h||_2} = \bruch{||h||_\infty^3}{||h||_2} \le C \cdot \bruch{||h||_2^3}{||h||_2} = C \cdot ||h||_2^2 \to 0[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] f ist in (0,0) total diff'bar.
> Richtig so?
Nicht gan. Es fehlen Beträge!
[mm] $\bruch{|f(h_1,h_2)-f(0,0)-L(h_1,h_2)|}{||h||_2}= \bruch{|h_2^2*h_1|}{||h||_2} \le \bruch{max(|h_1|,|h_2|)^3}{||h||_2} [/mm] = [mm] \bruch{||h||_\infty^3}{||h||_2} \le [/mm] C [mm] \cdot \bruch{||h||_2^3}{||h||_2} [/mm] = C [mm] \cdot ||h||_2^2 \to [/mm] 0$
FRED
> [mm]\Rightarrow[/mm]
> >
> > FRED
> LG fagottator
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Hallo FRED
> > Ist L(h) immer gradf(x,y)*h oder gibt es da bestimmte
> > Bedingungen für?
>
> Ist f in [mm]x_0[/mm] total differenzierbar, so ist f in [mm]x_0[/mm]
> partiell differenzierbar und es gilt:
>
> [mm]f'(x_0)= gradf(x_0)[/mm]
Aber ich will doch erst zeigen, dass f in [mm] x_0 [/mm] total diff'bar ist. Dann kann ich das doch nicht schon vorher benutzen. Weil DAS es total diff'bar ist, folgt doch aus dem Grenzwert, oder sehe ich das falsch?
>
>
LG fagottator
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:16 Do 12.08.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo FRED
>
> > > Ist L(h) immer gradf(x,y)*h oder gibt es da bestimmte
> > > Bedingungen für?
> >
> > Ist f in [mm]x_0[/mm] total differenzierbar, so ist f in [mm]x_0[/mm]
> > partiell differenzierbar und es gilt:
> >
> > [mm]f'(x_0)= gradf(x_0)[/mm]
>
> Aber ich will doch erst zeigen, dass f in [mm]x_0[/mm] total
> diff'bar ist. Dann kann ich das doch nicht schon vorher
> benutzen.
Das hat ja auch niemand getan !
> Weil DAS es total diff'bar ist, folgt doch aus
> dem Grenzwert, oder sehe ich das falsch?
Kochrezept: eine Funktion f ist auf totale Differenzierbarkeit in einem Punkt [mm] x_0 [/mm] zu untersuchen.
1. ist f in [mm] x_0 [/mm] partiell differenzierbar ? Wenn nein: f ist in [mm] x_0 [/mm] nicht total differenzierbar.
Wenn ja: weiter mit 2:
2. Sei A die Jacobimatrix von f in [mm] x_0.
[/mm]
betrachte $g(h):= [mm] \bruch{f(x_0+h)-f(x_0)-A*h}{||h||}$
[/mm]
Gilt [mm] $\limes_{h\rightarrow 0}g(h)=0$ [/mm] ?
Wenn ja, so ist f in [mm] x_0 [/mm] total differenzierbar
Wenn nein, so ist f in [mm] x_0 [/mm] nicht total differenzierbar
FRED
> >
> >
> LG fagottator
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