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| Aufgabe | untersuchen sie ob die folgenden funktionen in allen punkten ihres definitionsbereiches total differenzierbar sind
a f: [mm] R^3 [/mm] -> R, f(x) = [mm] \bruch{1 - |x|²}{1 + |x|²} [/mm] |
ich hab jetzt mehrere sachen gefunden, wie man total diffbarkeit zeigt, aber ich blick da noch nicht durch. wie sollte man das hier machen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo problemfall86 und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> untersuchen sie ob die folgenden funktionen in allen
> punkten ihres definitionsbereiches total differenzierbar
> sind
>
> a f: [mm]R^3[/mm] -> R, f(x) = [mm]\bruch{1 - |x|²}{1 + |x|²}[/mm]
> ich hab
> jetzt mehrere sachen gefunden, wie man total diffbarkeit
> zeigt, aber ich blick da noch nicht durch. wie sollte man
> das hier machen?
Ich würde das Ding erst mal ohne Norm schreiben, es ist ja für [mm] $x=(x_1,x_2,x_3) [/mm] \ \ \ [mm] ||x||^2=x_1^2+x_2^2+x_3^2$
[/mm]
Das setze mal ein (vllt. mit $(x,y,z)$ statt [mm] $(x_1,x_2,x_3)$ [/mm] - ist einfacher zu schreiben  ) und vereinfache
Dann gibt es doch einen schönen Satz, der besagt, dass wenn die partiellen Ableitungen existieren und stetig sind, die Funktion total diffbar ist.
Untersuche, in welchen Punkten das zutrifft.
Alternativ kannst du auch die Definition der totalen Diffbarkeit hernehmen.
Wie lautet die?
Der m.E. einfachere Weg ist aber der erstere
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
LG
schachuzipus
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wenn ich die norm umschreibe, dann erhalte ich
[mm] f(x,y,z)=\bruch{1 - x² - y² - z²}{1 + x² + y² + z²}
[/mm]
f'(x) = [mm] \bruch{-2x}{2x} [/mm] = -1
f'(y) = -1
f'(z) = -1
heißt das, dass die partiellen ableitungen existieren? weil stetig wären die ja alle, da es ja einfach nur eine gerade ist.
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Hallo!
Beachte, dass du bei der Ableitung die Quotientenregel benötigst!!
Dies hat hier nichts mit l'Hospital oder ählichem zu tun.
Gruß Patrick
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achso, hab ich verwechselt
für die ableitung nach x hätte ich
[mm] \bruch{2x² + 2 y² + 2z² - 4x}{(1 + x² + y² + z²)²} [/mm] wenn ich mich nicht vertan habe
und die wäre doch stetig, oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:00 Do 14.05.2009 | | Autor: | fred97 |
> achso, hab ich verwechselt
>
> für die ableitung nach x hätte ich
>
> [mm]\bruch{2x² + 2 y² + 2z² - 4x}{(1 + x² + y² + z²)²}[/mm] wenn ich
> mich nicht vertan habe
Du hast Dich vertan ! Richtig wäre:
[mm]\bruch{- 4x}{(1 + x² + y² + z²)²}[/mm]
Rechne noch mal nach !
FRED
>
> und die wäre doch stetig, oder?
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hast recht. hatte ich auch grad gesehen, ich hab die 1 in u' und v' stehen gelassen.
wie mach ich das im [mm] r^n [/mm] mit der stetigkeit nun am besten? mit epsilon wird das wohl nichts.
kann man das mit nullfolgen machen und gegen unendlich streben lassen? weil dann würde der zähle ja durch das 4x gegen 0 streben und damit der ganze bruch.
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Hallo nochmal,
> hast recht. hatte ich auch grad gesehen, ich hab die 1 in
> u' und v' stehen gelassen.
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> wie mach ich das im [mm]r^n[/mm] mit der stetigkeit nun am besten?
> mit epsilon wird das wohl nichts.
>
> kann man das mit nullfolgen machen und gegen unendlich
> streben lassen? weil dann würde der zähle ja durch das 4x
> gegen 0 streben und damit der ganze bruch.
Das verstehe ich nicht.
Polynome im [mm] $\IR^n$ [/mm] sind doch überall stetig, die partiellen Ableitungen sind Quotienten von Polynomen, von denen das Nennerpolynom netterweise nirgends im [mm] $\IR^3$ [/mm] verschwindet.
Was weißt du über die Verkettung stetiger Funktionen? ...
LG
schachuzipus
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ja, das mit der verkettung kenne ich, aber mir war nicht bewusst, dass es schon ausreicht, dass die funktion nur im nenner vorkommt und das mit dem polynom einfach so sagen kann. wir hatten es eben bei unseren funktionen zuletzt immer so gemacht, dass wir nullfolgen für x eingesetzt haben und die funktion dann gegen unendlich haben laufen lassen.
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Hallo nochmal,
> ja, das mit der verkettung kenne ich, aber mir war nicht
> bewusst, dass es schon ausreicht, dass die funktion nur im
> nenner vorkommt ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
> und das mit dem polynom einfach so sagen
> kann.
Dass Polynome stetig sind, habt ihr doch garantiert gezeigt ...
> wir hatten es eben bei unseren funktionen zuletzt
> immer so gemacht, dass wir nullfolgen für x eingesetzt
> haben und die funktion dann gegen unendlich haben laufen
> lassen.
Dann war die Funktion bestimmt geteilt definiert, etwa [mm] $f:\IR^2\to\IR$ [/mm] mit [mm] $f(x,y)=\begin{cases} \frac{xy^2}{x^2+y^2}, & \mbox{für } (x,y)\neq (0,0) \\ 0, & \mbox{für } (x,y)=(0,0) \end{cases}$
[/mm]
Das ist hier aber nichtmal nötig, weil der Quotient, den du da (richtig) zusammengerechnet hast, auf ganz [mm] $\IR^3$ [/mm] "einheitlich" definiert ist.
Es gibt halt keine kritischen Stellen ...
LG
schachuzipus
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